ノート

集合論

集合と写像の基礎、公理的集合論、ZFC公理系、順序数・基数。

証明

証明の書き方を学ぶ。直接証明、背理法、数学的帰納法など証明の技法。

数理論理学

「証明とは何か」を形式的に。形式体系、証明論、型理論、Curry–Howard 対応、不完全性定理、証明アシスタントの基礎。

関数

関数の基本概念、合成・逆関数、初等関数。

数列

等差・等比数列、漸化式、級数の収束。

代数

群・環・体の基礎から、ガロア理論、ホモロジー代数まで。

線形代数

ベクトル空間、行列式、固有値・対角化から関数空間まで。

リー代数

リー群とリー代数の基礎から表現論まで。

数論

整数論の基礎、素数、合同式、暗号理論への応用。

組合せ論

順列・組合せ、母関数、グラフ彩色、Ramsey理論。

グラフ理論

グラフの基礎、木、ネットワークフロー、マッチング。

幾何学

三角比・座標幾何から射影幾何、計算幾何まで。

微分幾何学

曲線・曲面の微分幾何、リーマン幾何学、接続と曲率。

代数幾何学

多項式と図形の対応から、代数多様体・スキームまで。

微分

微分の基礎から応用まで。極限、導関数、偏微分。

行列微分

行列やベクトルによる微分。機械学習や最適化で必須の技法。

積分

不定積分・定積分の基礎から重積分・線積分まで。

実解析

ルベーグ測度と積分、L^p 空間、フーリエ解析の基礎。

複素解析

複素関数論の基礎から等角写像・留数定理まで。

関数解析

バナッハ空間、ヒルベルト空間、作用素論。

常微分方程式

1階・高階 ODE、解の存在と一意性、力学系。

偏微分方程式

波動・熱・ラプラス方程式、ソボレフ空間。

最適化

凸最適化、ラグランジュ乗数法、数値最適化。

フーリエ解析

フーリエ級数・フーリエ変換の基礎から応用まで。

ラプラス変換

ラプラス変換の定義、逆変換、微分方程式への応用。

Z変換

離散信号の Z 変換、逆変換、差分方程式への応用。

ラドン変換

ラドン変換の理論、CT 画像再構成への応用。

確率論

確率の基礎から確率過程まで。

統計学

記述統計から推測統計、ベイズ統計まで。

数式処理と多倍長演算

記号計算（多項式 GCD、因数分解、グレブナー基底、記号積分）と多倍長演算（高速乗算、浮動小数点、根の抽出、定数計算）全29章。

数値解析

補間・近似、数値積分、連立方程式、固有値問題、ODE/PDE の数値解法。

精度保証と区間演算

区間演算、精度保証付き数値計算、乱数生成。

フィルタ設計

アナログ・ディジタルフィルタの設計手法。チェビシェフ、バターワース、楕円フィルタなど。

Wienerフィルタ

最小平均二乗誤差（MMSE）の最適線形フィルタ。周波数領域・時間領域の導出とWirtinger微分。

Kalmanフィルタ

状態空間モデルに基づく逐次最適推定。Wienerフィルタとの比較、前提条件と拡張手法。

状態空間表現

現代制御の基盤。伝達関数との変換、可制御/可観測正準形、ZOH 離散化まで。

LQR (線形二次レギュレータ)

二次形式コストを最小化する最適状態フィードバック。Riccati 方程式、Bryson の法則。

PID 制御

産業用制御ループの定番。Ziegler-Nichols 調整、アンチワインドアップ、実装の落とし穴。

入門

機械学習の全体像。教師あり・教師なし・強化学習の3大分類から深層学習・生成AIまで、種類と選び方を俯瞰する。

初級

線形回帰、ロジスティック回帰、決定木、k-NN など古典的手法の理論と実装。

中級

ニューラルネットワーク、CNN、RNN の仕組みと実装。勾配降下法、正則化、最適化手法。

上級

Attention、Transformer、ViT、VAE、GAN、拡散モデルなど最先端の手法を数理的に解説。

電子楽器の歴史

装置の系譜ではなく、楽器音をどのように数学的に表すかの系譜。Fourier 級数から微分可能合成までを一枚の図にまとめる。

加法合成

正弦波の和として近似する。鋸歯波の係数、Gibbs 現象の行き過ぎ量、Telharmonium から ANS までの実装。

FM 合成

正弦波の周波数変調で近似する。Jacobi–Anger 展開から側波帯振幅が Bessel 関数になることを導く。

読書の森

数式(LaTeX)対応の読書管理アプリ。専門書の重要な公式や要点をメモしながら、読書の進捗を管理できる。