Z変換
Z-Transform
このシリーズについて
Z変換は、離散時間信号を複素数領域（$z$平面）の関数に変換する手法である。ラプラス変換が連続時間システムで果たす役割と同様に、Z変換は離散時間システムの解析と設計の基礎となる。
本シリーズでは、Z変換の定義から始め、基本性質、逆変換、離散時間システムの解析、そして複素解析的手法による発展的理論までを段階的に学習する。
Z変換の定義（両側）
$$\mathcal{Z}\{x[n]\} = X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$$入門・初級では、$n \geq 0$ の範囲だけを和にとる片側Z変換を主に用いる。差分方程式の初期値問題を扱うのに便利で、因果信号（$n < 0$ で $x[n] = 0$）に対しては両側Z変換と一致する：
$$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}$$レベル別学習
学習の流れ
ラプラス変換との関係
Z変換は、連続時間のラプラス変換の離散時間版と見なすことができる。サンプリング周期 $T$ で連続信号をサンプリングすると、 $$z = e^{sT}$$ という関係がある。この写像により、連続時間システムの極と対応する離散時間システムの極の関係が分かり、両者の設計手法を対応づける基礎となる。ただし $s \mapsto e^{sT}$ は虚軸方向に周期的な多対一写像なので、連続時間の設計手法がそのまま移せるわけではない。詳しくは中級 第6章で扱う。
信号処理への応用を学びたい方へ
Z変換を信号処理の観点から学びたい場合は、信号処理 → Z変換の応用 を参照されたい。
- 中級: ブロック図、フィルタ構造、周波数選択フィルタ、量子化
- 上級: IIR/FIRディジタルフィルタ設計、多レート信号処理、適応フィルタ
関連トピック
- ラプラス変換 - 連続時間系の類似手法
- フーリエ解析 - 周波数領域解析の基盤
- 複素解析 - $z$平面の理論的基盤
- Z変換の応用（信号処理） - ディジタルフィルタ設計