X線CTイメージング
Computed Tomography
このシリーズについて
X線CT（コンピュータ断層撮影）は、X線を用いて物体の内部構造を非破壊で可視化する技術である。医療診断、工業検査、材料科学など幅広い分野で利用されている。
本シリーズでは、X線の物理からラドン変換による数学的定式化、フィルタ補正逆投影法（FBP）による画像再構成、そして最新の反復法・深層学習アプローチまでを段階的に学習する。
X線CTの基本方程式
$$I = I_0 \exp\left(-\int_L \mu(x, y) \, dl\right)$$$\mu(x, y)$：線減弱係数、$L$：X線経路
両辺の対数をとると $-\log(I/I_0) = \int_L \mu\,dl$ となる。これは線減弱係数 $\mu$ の経路に沿った線積分、すなわちラドン変換そのものである。したがって CT 再構成は、多方向の投影データから $\mu(x, y)$ を復元する逆問題に帰着する。
レベル別学習
学習の流れ
応用分野
医療診断
頭部・胸部・腹部CTによる疾患の検出と診断。冠動脈CTや造影CTなど多彩なプロトコルが存在する。
産業検査
溶接部の非破壊検査、鋳造品の内部欠陥検出、電子基板のはんだ接合部検査。
セキュリティ
空港手荷物検査における危険物の自動検出。デュアルエナジーCTによる物質識別。
文化財・考古学
ミイラや古代遺物の内部構造解析。非破壊で内容物を調査する。
主要な概念・公式
ランベルト・ベールの法則
$$I = I_0 \exp\!\left(-\int_L \mu(x,y)\,dl\right)$$
ラドン変換
$$\mathcal{R}f(s,\theta) = \int_{-\infty}^{\infty}\!\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,\delta(x\cos\theta + y\sin\theta - s)\,dx\,dy$$
フーリエスライス定理
$$P(\omega,\theta) = F(\omega\cos\theta,\;\omega\sin\theta)$$
フィルタ補正逆投影 (FBP)
$$f(x,y) = \int_0^{\pi}\! \left[\mathcal{R}f(s,\theta) * h(s)\right]_{s=x\cos\theta+y\sin\theta} d\theta$$
歴史的背景
X線CTの原理は、1917年にヨハン・ラドンがラドン変換の数学的理論を確立したことに遡る。 実用的なCTスキャナは、1971年にゴッドフリー・ハウンズフィールド（EMI社）が開発し、 南アフリカの物理学者アラン・コーマックが独立に再構成理論を発展させた。 両者は1979年にノーベル生理学・医学賞を共同受賞している。
現在では、マルチスライスCT、デュアルエナジーCT、フォトンカウンティングCTなど、技術は急速に進化を続けている。
前提知識
- 入門：中学理科のX線知識、三角関数の基礎
- 初級：線形代数の基礎、微積分（積分）
- 中級：フーリエ変換、信号処理の基礎、線形代数（固有値・行列分解）
- 上級：最適化理論、統計的推定、深層学習の基礎
関連トピック
よくある質問
X線CTとは何か
X線CT（コンピュータ断層撮影）は、X線を多方向から照射して得られた投影データから、物体の内部断面画像を数学的に再構成する非破壊検査技術である。
CT画像再構成の主な手法は何か
代表的な手法にはフィルタ補正逆投影法（FBP）、代数的反復法（ART）、統計的再構成法（MBIR）、深層学習ベースの手法がある。FBP が最も広く使われている。
フーリエスライス定理とは何か
投影データの1次元フーリエ変換が、元の画像の2次元フーリエ変換の対応するスライス（直線）上の値と一致するという定理である。CT画像再構成の数学的基盤となっている。
なぜCTでは多方向から撮影する必要があるのか
1方向の投影だけでは、X線経路上のどこで減弱が起きたかを区別できず、内部構造を一意に決められない。多方向から投影を集めることで各点の線減弱係数を復元するのに十分な情報が得られ、断面画像を再構成できる。これは数学的にはラドン変換の逆問題を解くことに対応する。