関数

Functions

このシリーズについて

関数は数学のもっとも基本的な概念の一つであり、解析学の土台をなす。本シリーズでは、指数関数・対数関数から始めて、初等関数の性質を体系的に学習する。

これらの関数は微分・積分、微分方程式、物理学、工学などあらゆる分野で広く使われている。

レベル別学習

関数を 4 つのレベルに分けて段階的に解説する。各レベルには、概念を丁寧に説明する「解説記事」と、肩の力を抜いて読める「読み物」を用意している。

入門 / INTRO

関数とは・指数と対数

  • 関数とは（写像・定義域・値域）
  • 指数法則・対数の性質
  • 指数関数・対数関数
  • 初等関数の用語集
 初級 / BASIC

合成・逆関数・対称性・周期

  • 合成関数
  • 逆関数
  • 偶関数と奇関数
  • 周期関数
 中級 / INTERMEDIATE

極限・連続・逆三角・関数列

  • 関数の極限と連続性
  • 逆三角関数
  • 凸関数
  • 関数列と一様収束
 上級 / ADVANCED

解析関数・近似・関数空間

  • 解析関数と滑らかさ
  • ワイエルシュトラスの近似定理
  • 関数方程式
  • 関数空間への入り口

発展：特殊関数へ

初等関数の向こう側には、ガンマ関数・ベッセル関数・楕円関数・超幾何関数といった特殊関数の世界が広がっている。上級の読み物「特殊関数への招待」から地図を眺めてから進むのがおすすめ。

個別トピック

  • ロジスティック関数 — シグモイド関数の代表例。ロジスティック回帰・ロジスティック写像とカオスまで
  • ソフトマックス関数 — 多クラス分類の確率出力。温度パラメータ・Gumbel-Softmax・統計力学との関連

よくある質問（FAQ）

Q1. 初等関数とは何か？

初等関数とは、多項式、有理関数、指数関数、対数関数、三角関数、およびそれらの逆関数から、有限回の四則演算・合成によって得られる関数の総称である。微積分や物理学で広く用いられる。

Q2. 指数関数と対数関数の関係は？

指数関数 $y = a^x$ と対数関数 $y = \log_a x$ は互いに逆関数の関係にある。すなわち $y = a^x \iff x = \log_a y$ が成り立つ。グラフは直線 $y = x$ に関して対称であり、定義域と値域が入れ替わる。

Q3. ロジスティック関数はどのような場面で使われるか？

ロジスティック関数 $\sigma(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-x}}$ は、値域が $(0, 1)$ の S 字型曲線で、確率を表すのに自然に使われる。機械学習では二値分類のロジスティック回帰の出力関数、ニューラルネットワークの活性化関数として用いられる。また、ロジスティック写像はカオス理論の標準的なモデルでもある。

Q4. ソフトマックス関数とロジスティック関数はどう繋がるか？

ソフトマックス関数 $\text{softmax}(\mathbf{z})_i = \dfrac{e^{z_i}}{\sum_j e^{z_j}}$ は、ロジスティック関数を多クラスに一般化したものである。$K = 2$ クラスのとき $\text{softmax}(z_1, z_2)_1 = \sigma(z_1 - z_2)$ となり、2クラスソフトマックスはロジスティック関数に帰着する。詳しくはソフトマックス関数の記事を参照。