関数

Functions

このシリーズについて

関数論は数学解析の基礎である。本シリーズでは、指数関数・対数関数から始めて、初等関数の性質を体系的に学習する。

これらの関数は微分・積分、微分方程式、物理学、工学などあらゆる分野で広く使われている。

レベル別学習

入門

高校数学レベル

  • 指数法則
  • 対数の性質
  • 指数関数
  • 対数関数

中級

大学学部レベル

  • 双曲線関数
  • 逆三角関数
  • 関数の極限と連続性

上級

大学院レベル

  • 特殊関数
  • ガンマ関数・ベータ関数
  • 楕円関数

個別トピック

  • ロジスティック関数 — シグモイド関数の代表例。ロジスティック回帰・ロジスティック写像とカオスまで
  • ソフトマックス関数 — 多クラス分類の確率出力。温度パラメータ・Gumbel-Softmax・統計力学との関連

よくある質問（FAQ）

Q1. 初等関数とは何か？

初等関数とは、多項式、有理関数、指数関数、対数関数、三角関数、およびそれらの逆関数と四則演算・合成によって得られる関数の総称である。微積分や物理学で広く用いられる。

Q2. 指数関数と対数関数の関係は？

指数関数 $y = a^x$ と対数関数 $y = \log_a x$ は互いに逆関数の関係にある。すなわち $y = a^x \iff x = \log_a y$ が成り立つ。グラフは直線 $y = x$ に関して対称であり、定義域と値域が入れ替わる。

Q3. ロジスティック関数はどのような場面で使われるか？

ロジスティック関数 $\sigma(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-x}}$ は、値域が $(0, 1)$ の S 字型曲線で、確率を表すのに自然に使われる。機械学習では二値分類のロジスティック回帰の出力関数、ニューラルネットワークの活性化関数として用いられる。また、ロジスティック写像はカオス理論の標準的なモデルでもある。

Q4. ソフトマックス関数とロジスティック関数はどう繋がるか？

ソフトマックス関数 $\text{softmax}(\mathbf{z})_i = \dfrac{e^{z_i}}{\sum_j e^{z_j}}$ は、ロジスティック関数を多クラスに一般化したものである。$K = 2$ クラスのとき $\text{softmax}(z_1, z_2)_1 = \sigma(z_1 - z_2)$ となり、2クラスソフトマックスはロジスティック関数に帰着する。詳しくはソフトマックス関数の記事を参照。