ピンホールカメラモデル

ピンホールカメラとは

ピンホールカメラは、小さな穴（ピンホール）を通して光が入り、反対側のスクリーンに像を結ぶ最もシンプルなカメラモデルである。レンズを使わないため、理想的な幾何学的モデルとして広く使われる（本記事では穴を 1 点とみなし、穴の大きさによるぼけや回折は扱わない）。

透視投影の数学

3D点 $P = (X, Y, Z)$ から像平面上の点 $p = (x, y)$ への透視投影は、相似三角形の関係から導かれる：

画角（Field of View）

画角はカメラが撮影できる範囲の角度で、焦点距離とセンサーサイズから決まる。

図3 は焦点距離 $f$ を変えたときの画角の変化を直感的に示している。

FOV 計算式の導出

画角は単純な直角三角形の関係から導ける。光軸とセンサーは直交するので、ピンホール $O$・センサー中心・センサー上端を結ぶと直角三角形になる。

図4 のように、直角三角形の隣辺は焦点距離 $f$、対辺はセンサーの半幅 $w/2$（図は縦方向に描いたが、幅でも高さでも同じ式になる。縦方向なら $w$ を高さ $h$ と読み替える）。半角 $\theta/2$ について

$$\tan\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right) = \dfrac{w/2}{f} = \dfrac{w}{2f}$$

両辺 $\arctan$ を取って 2 倍すると全画角 $\theta$ が得られる。

主点とスキュー

実際のカメラでは、光軸が画像中心を通らない場合がある。

カメラモデルの統合

透視投影とピクセル座標変換を統合すると：

右辺の行列積を計算すると $(f_x X + c_x Z,\; f_y Y + c_y Z,\; Z)^\top$ になり、$1/Z$ 倍 (= 同次座標の正規化) で第 3 成分が 1 になる。これを行ごとに展開すると次のスカラー式が得られる:

コード例（Python）

import numpy as np

# カメラパラメータ
fx, fy = 800, 800  # 焦点距離（ピクセル単位）
cx, cy = 320, 240  # 主点
f = 50  # 焦点距離（mm）

# 3D点（カメラ座標系）
P = np.array([1.0, 0.5, 5.0])  # (X, Y, Z) in meters

# 透視投影
x = P[0] / P[2]  # X/Z
y = P[1] / P[2]  # Y/Z

# ピクセル座標への変換
u = fx * x + cx
v = fy * y + cy
print(f"Pixel coordinates: ({u:.1f}, {v:.1f})")

# 画角の計算
sensor_width = 36  # mm（フルサイズ。上の fx・f とは独立に置いた例の値）
fov = 2 * np.arctan(sensor_width / (2 * f))
print(f"Field of View: {np.degrees(fov):.1f}°")

# 行列形式での投影
K = np.array([
    [fx, 0, cx],
    [0, fy, cy],
    [0,  0,  1]
])

P_camera = P  # カメラ座標の 3D 点（同次座標なのは、次の行で得る 2D 像点のほう）
p_homogeneous = K @ P_camera
p = p_homogeneous[:2] / p_homogeneous[2]
print(f"Pixel (matrix): ({p[0]:.1f}, {p[1]:.1f})")

まとめ

• ピンホールカメラは透視投影の理想モデル
• 透視投影: $x = fX/Z$, $y = fY/Z$（非線形変換）
• 焦点距離が小さいほど画角が広い
• 主点は光軸と像平面の交点（画像中心からずれることがある）
• 内部パラメータ行列 $K$ で投影を表現できる