積分

積分は量の累積を表す操作であり、微分積分学の基本定理を通じて微分と深く結び付いている。幾何学的には曲線と軸で囲まれた面積や立体の体積として理解できるが、より一般には質量や確率などさまざまな量の累積を表す。不定積分は原始関数を求める操作、定積分は区間上の累積量を数値として求める操作である。

リーマン積分は定義域（$x$ 軸）を分割して面積を近似するが、ルベーグ積分は値域（$y$ 軸）を分割して測度で重み付けする。ルベーグ積分はより広いクラスの関数に適用でき、収束定理（単調収束定理、優収束定理）が強力である。確率論や関数解析ではルベーグ積分が標準的に用いられる。

線積分は曲線（1次元の経路）に沿ってスカラー場やベクトル場を積分する操作で、仕事の計算などに使われる。面積分は曲面（2次元）上で積分する操作で、流束の計算に使われる。両者はグリーンの定理やストークスの定理で関連付けられる。

積分領域の形状によっては直交座標での計算が困難な場合がある。例えば円形領域では極座標、球形領域では球座標に変換すると積分が大幅に簡単になる。変数変換ではヤコビアン（ヤコビ行列式）を掛ける必要がある。

積分は物理学（運動、エネルギー、電磁気学）、工学（信号処理、制御理論）、経済学（消費者余剰、期待値）、確率論（確率密度関数、期待値）、統計学（分布関数）など、ほぼすべての科学技術分野で不可欠なツールである。