ベクトル解析の恒等式一覧
Vector Calculus Identities
本ページでは3次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^3$ におけるベクトル解析の標準的な恒等式を一覧する。記号は次のとおり。$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d}$ は（場ではない）$\mathbb{R}^3$ の定ベクトル、$c$ は位置に依らない定数スカラー（太字の $\mathbf{c}$ とは別の記号）、$f, g, h$ はスカラー場、$\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}$ はベクトル場、$n$ は実数とする。
微分を含む式では、場は必要な階数だけ滑らかであると仮定する。一階微分だけの式では $C^1$ 級、二階微分される場や偏微分の順序交換を使う式（(25)–(28)、(33)–(44)）ではその場が $C^2$ 級である。恒等式そのものは座標系に依らないが、成分表示 (37)(42)–(44) は直交座標でのみ成り立つ。位置ベクトルの式（§6）では $r = 0$ の扱いが別になるので、$r \neq 0$ での古典的な等式と超関数の意味の等式を区別して書く。各式の条件の詳細は「証明」リンク先の「条件」欄にある。
1. 内積・外積の代数公式
1.1 基本性質
(1) 内積の交換法則 証明
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} \tag{1}$$(2) 外積の反交換法則 証明
$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a} \tag{2}$$(3) 外積の分配法則 証明
$$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c} \tag{3}$$(4) スカラー倍の外積（$c$ はスカラー） 証明
$$(c\,\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (c\,\mathbf{b}) = c\,(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \tag{4}$$1.2 スカラー三重積
(5) スカラー三重積の巡回対称性 証明
$$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) = \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \tag{5}$$(6) スカラー三重積の反対称性 証明
$$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = -\mathbf{a} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{b}) \tag{6}$$1.3 ベクトル三重積（BAC-CAB公式）
(7) BAC-CAB公式 証明
$$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \tag{7}$$(8) 右からの三重外積 証明
$$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{a}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) \tag{8}$$1.4 四重積
(9) ラグランジュ恒等式（Binet–Cauchy 恒等式とも呼ぶ） 証明
$$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{d}) - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{d})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) \tag{9}$$(10) 外積の大きさの二乗（(9) で $\mathbf{c} = \mathbf{a}$、$\mathbf{d} = \mathbf{b}$ とした特別な場合） 証明
$$|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 \tag{10}$$(11) ベクトル四重外積 証明
$$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) = \mathbf{c}\bigl(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{d})\bigr) - \mathbf{d}\bigl(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})\bigr) \tag{11}$$1.5 ヤコビ恒等式
(12) ヤコビ恒等式 証明
$$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{0} \tag{12}$$2. 勾配の公式
2.1 線形性
(13) 勾配の線形性 証明
$$\nabla(f + g) = \nabla f + \nabla g \tag{13}$$(14) 定数倍 証明
$$\nabla(cf) = c\,\nabla f \tag{14}$$2.2 積の公式
(15) スカラー積の勾配 証明
$$\nabla(fg) = f\,\nabla g + g\,\nabla f \tag{15}$$(16) ベクトル内積の勾配 証明
$$\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} + (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A}) + \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) \tag{16}$$2.3 合成関数
(17) 連鎖律 証明
$$\nabla f(g) = f'(g)\,\nabla g \tag{17}$$ここで (17) の $f$ は1変数関数 $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$（$f'$ はその導関数）、$g$ はスカラー場である。本ページの他の式の $f$（スカラー場）とは役割が異なる。
(18) べき乗の勾配（$n$ は実数） 証明
$$\nabla f^n = n f^{n-1}\,\nabla f \tag{18}$$正整数 $n$ ではそのまま成り立つ。負・非整数の $n$ では $f \neq 0$、すなわち $f^n$ が定義され微分可能な領域でのみ用いる。
2.4 商の公式
(19) スカラー商の勾配（$g \neq 0$） 証明
$$\nabla\!\left(\dfrac{f}{g}\right) = \dfrac{g\,\nabla f - f\,\nabla g}{g^2} \tag{19}$$2.5 代表的な勾配公式
(20) クーロン型関数の勾配 証明
$$\nabla\!\left(\dfrac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right) = -\dfrac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \tag{20}$$ここで $\nabla$ は $\mathbf{r}$ についての勾配であり、$\mathbf{r}'$ は定点として扱う（$\mathbf{r}'$ について微分すると符号が逆になる）。$\mathbf{r} \neq \mathbf{r}'$ で成立する。
3. 発散の公式
3.1 線形性
(21) 発散の線形性 証明
$$\nabla \cdot (\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \nabla \cdot \mathbf{A} + \nabla \cdot \mathbf{B} \tag{21}$$(22) 定数倍 証明
$$\nabla \cdot (c\,\mathbf{A}) = c\,\nabla \cdot \mathbf{A} \tag{22}$$3.2 積の公式
(23) スカラー・ベクトル積の発散 証明
$$\nabla \cdot (f\mathbf{A}) = f(\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A} \cdot (\nabla f) \tag{23}$$(24) 外積の発散 証明
$$\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) \tag{24}$$3.3 勾配との組合せ
(25) 勾配の外積の発散 証明
$$\nabla \cdot (\nabla f \times \nabla g) = 0 \tag{25}$$(26) グリーンの第一恒等式の微分形 証明
$$\nabla \cdot (f\,\nabla g) = f\,\nabla^2 g + \nabla f \cdot \nabla g \tag{26}$$(27) グリーンの第二恒等式の微分形 証明
$$\nabla \cdot (f\,\nabla g - g\,\nabla f) = f\,\nabla^2 g - g\,\nabla^2 f \tag{27}$$(28) ベクトル積の発散（別形） 証明
$$\nabla \cdot (f\,\nabla g \times \nabla h) = \nabla f \cdot (\nabla g \times \nabla h) \tag{28}$$4. 回転の公式
4.1 線形性
(29) 回転の線形性 証明
$$\nabla \times (\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \nabla \times \mathbf{A} + \nabla \times \mathbf{B} \tag{29}$$(30) 定数倍 証明
$$\nabla \times (c\,\mathbf{A}) = c\,(\nabla \times \mathbf{A}) \tag{30}$$4.2 積の公式
(31) スカラー・ベクトル積の回転 証明
$$\nabla \times (f\mathbf{A}) = f(\nabla \times \mathbf{A}) + (\nabla f) \times \mathbf{A} \tag{31}$$(32) 外積の回転 証明
$$\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{A}(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B}(\nabla \cdot \mathbf{A}) + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} \tag{32}$$4.3 勾配との組合せ
(33) 勾配の外積の回転 証明
$$\nabla \times (\nabla f \times \nabla g) = \nabla f\,\nabla^2 g - \nabla g\,\nabla^2 f + (\nabla g \cdot \nabla)\nabla f - (\nabla f \cdot \nabla)\nabla g \tag{33}$$(34) スカラー勾配の回転（別形） 証明
$$\nabla \times (f\,\nabla g) = \nabla f \times \nabla g \tag{34}$$(35) 反対称性 証明
$$\nabla \times (f\,\nabla g) = -\nabla \times (g\,\nabla f) \tag{35}$$5. 二階微分の公式
5.1 ラプラシアン
(36) ラプラシアンの定義 証明
$$\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f = \Delta f \tag{36}$$(37) ラプラシアンの直交座標表示 証明
$$\nabla^2 f = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2} \tag{37}$$5.2 基本恒等式
(38) 勾配の回転は零（勾配場は渦なし） 証明
任意の $C^2$ 級スカラー場 $f$ に対して成立する。ポテンシャルから作った場（勾配場）は必ず渦なしである、という向きの主張であり、保存力場が渦なしであることの根拠になる。逆に $\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$ から $\mathbf{F} = \nabla f$ となるポテンシャル $f$ の存在を結論するには、領域が単連結であることが要る（ポアンカレの補題。単連結でない領域には反例がある。勾配・発散・回転 を参照）。
(39) 回転の発散は零（回転場は湧き出しなし） 証明
任意の $C^2$ 級ベクトル場 $\mathbf{A}$ に対して成立する。回転で表される場は発散をもたない、という向きの主張である。磁場がベクトルポテンシャルで $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$ と書けるときは $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ が従う（磁荷がないこと自体は Maxwell 方程式の一部であり、この恒等式から導かれるものではない）。逆に $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ からベクトルポテンシャルの存在を結論するには領域の条件が要る。
(40) 回転の回転（ベクトルラプラシアン） 証明
$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A} \tag{40}$$5.3 ラプラシアンの積の公式
(41) スカラー積のラプラシアン 証明
$$\nabla^2(fg) = f\,\nabla^2 g + 2(\nabla f \cdot \nabla g) + g\,\nabla^2 f \tag{41}$$(42) ベクトルのラプラシアン（直交座標での成分表示） 証明
$$\nabla^2 \mathbf{A} = (\nabla^2 A_x,\; \nabla^2 A_y,\; \nabla^2 A_z) \tag{42}$$直交座標でのみ成り立つ。円柱座標・球座標などの曲線座標では基底ベクトルが位置に依存するため、$\nabla^2 \mathbf{A}$ は成分ごとのスカラーラプラシアンにはならない（座標系別の公式 を参照）。一般の座標系では (40) を $\nabla^2 \mathbf{A}$ の定義として用いる。(43)(44) も直交座標での式である。
(43) スカラー・ベクトル積のラプラシアン（直交座標） 証明
$$\nabla^2(f\mathbf{A}) = (\nabla^2 f)\mathbf{A} + 2(\nabla f \cdot \nabla)\mathbf{A} + f\,\nabla^2\mathbf{A} \tag{43}$$(44) 内積のラプラシアン（直交座標） 証明
$$\nabla^2(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \mathbf{A} \cdot \nabla^2\mathbf{B} + \mathbf{B} \cdot \nabla^2\mathbf{A} + 2\displaystyle\sum_{i} (\nabla A_i \cdot \nabla B_i) \tag{44}$$6. 位置ベクトルの公式
$\mathbf{r} = (x, y, z)$、$r = |\mathbf{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$、$r \neq 0$ で $\hat{\mathbf{r}} = \mathbf{r}/r$ とする。$\hat{\mathbf{r}}$ や $1/r$ を含む式は原点では定義されない。各式の適用範囲はラベルに記す。
6.1 一階微分
(45) $r$ の勾配（$r \neq 0$） 証明
$$\nabla r = \hat{\mathbf{r}} = \dfrac{\mathbf{r}}{r} \tag{45}$$(46) $\mathbf{r}$ の発散（すべての $\mathbf{r}$ で有効） 証明
$$\nabla \cdot \mathbf{r} = 3 \tag{46}$$(47) $\mathbf{r}$ の回転（すべての $\mathbf{r}$ で有効） 証明
$$\nabla \times \mathbf{r} = \mathbf{0} \tag{47}$$(48) $1/r$ の勾配（$r \neq 0$） 証明
$$\nabla\!\left(\dfrac{1}{r}\right) = -\dfrac{\mathbf{r}}{r^3} \tag{48}$$(49) $r^2$ の勾配（すべての $\mathbf{r}$ で有効） 証明
$$\nabla r^2 = 2\mathbf{r} \tag{49}$$(50) $r^n$ の勾配（$r \neq 0$。$n \geq 2$ なら $r = 0$ でも可） 証明
$$\nabla r^n = n\,r^{n-2}\,\mathbf{r} = n\,r^{n-1}\,\hat{\mathbf{r}} \tag{50}$$6.2 発散の公式
(51) $r^n \mathbf{r}$ の発散（$r \neq 0$。$n \geq 0$ なら $r = 0$ でも可） 証明
$$\nabla \cdot (r^n \mathbf{r}) = (n + 3)\,r^n \tag{51}$$(51) で $n = -3$ とすると右辺は $0$ になるが、これは $r \neq 0$ での話である。原点を含めて超関数の意味で見ると、次のデルタ関数項が現れる。
(52) $\mathbf{r}/r^3$ の発散（デルタ関数。超関数の意味の等式） 証明
$$\nabla \cdot \!\left(\dfrac{\mathbf{r}}{r^3}\right) = 4\pi\,\delta^3(\mathbf{r}) \tag{52}$$6.3 ラプラシアン
(53) $1/r$ のラプラシアン（超関数の意味の等式） 証明
$$\nabla^2\!\left(\dfrac{1}{r}\right) = -4\pi\,\delta^3(\mathbf{r}) \tag{53}$$(52)(53) は超関数（distribution）の意味での等式である。すなわち両辺に任意の試験関数 $\varphi$ を掛けて全空間で積分した値が一致する、という主張であり、$\delta^3(\mathbf{r})$ は $\int \varphi(\mathbf{r})\,\delta^3(\mathbf{r})\,dV = \varphi(\mathbf{0})$ で定まる 3 次元のディラックのデルタ関数である。$r \neq 0$ では両辺とも $0$ であり、点ごとの等式としては $\nabla \cdot (\mathbf{r}/r^3) = 0$、$\nabla^2(1/r) = 0$ である。
(54) $r^n$ のラプラシアン（$r \neq 0$） 証明
$$\nabla^2 r^n = n(n+1)\,r^{n-2} \tag{54}$$(55) $\ln r$ のラプラシアン（$r \neq 0$） 証明
$$\nabla^2 \ln r = \dfrac{1}{r^2} \tag{55}$$6.4 (A·∇) と位置ベクトル
$(\mathbf{A} \cdot \nabla)$ は右側に置かれた対象にだけ作用する方向微分作用素であり、係数 $\mathbf{A}$ 自身は微分されない（$\mathbf{A}$ が位置に依存するベクトル場でも同じ）。
(56) 位置ベクトルへの作用（すべての $\mathbf{r}$ で有効） 証明
$$(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{r} = \mathbf{A} \tag{56}$$(57) $r$ への作用（$r \neq 0$） 証明
$$(\mathbf{A} \cdot \nabla)r = \dfrac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{r}}{r} \tag{57}$$7. $(\mathbf{A} \cdot \nabla)$ 演算子
7.1 定義
(58) $(\mathbf{A} \cdot \nabla)$ の定義 証明
$$(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} = \left(A_x \dfrac{\partial}{\partial x} + A_y \dfrac{\partial}{\partial y} + A_z \dfrac{\partial}{\partial z}\right)\mathbf{B} \tag{58}$$(59) (58) の成分表示（$i = x, y, z$） 証明
$$\bigl[(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B}\bigr]_i = A_x \dfrac{\partial B_i}{\partial x} + A_y \dfrac{\partial B_i}{\partial y} + A_z \dfrac{\partial B_i}{\partial z} \tag{59}$$7.2 基本公式
(60) スカラー場への作用 証明
$$(\mathbf{A} \cdot \nabla)f = \mathbf{A} \cdot \nabla f \tag{60}$$以下で $(\nabla \mathbf{B})$ はベクトル場 $\mathbf{B}$ のヤコビ行列（ダイアディック）を表し、本ページでは成分を $(\nabla \mathbf{B})_{ij} = \partial B_j / \partial x_i$、右からのベクトル積を $[(\nabla \mathbf{B}) \cdot \mathbf{A}]_i = \sum_j A_j\,\partial B_j / \partial x_i$ と定める。通常のヤコビ行列を $(J_{\mathbf{B}})_{ij} = \partial B_i / \partial x_j$ と書く流儀では、$(\nabla \mathbf{B})$ はその転置 $J_{\mathbf{B}}^{\top}$ に当たる。添字の規約は文献によって異なるので、(61)(62) を他書と突き合わせるときは転置に注意する。
(61) 外積と回転の関係 証明
$$\mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) = (\nabla \mathbf{B}) \cdot \mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} \tag{61}$$(62) (61) の成分表示 証明
$$\bigl[\mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B})\bigr]_i = \displaystyle\sum_j A_j \dfrac{\partial B_j}{\partial x_i} - \displaystyle\sum_j A_j \dfrac{\partial B_i}{\partial x_j} \tag{62}$$(63) 内積の勾配（式 (16) の別形） 証明
$$(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} = \nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) - \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A}) \tag{63}$$7.3 物質微分
流体力学における物質微分（流体粒子に乗って見た時間変化率）は、局所時間微分 $\partial/\partial t$ と、速度場 $\mathbf{v}$ に沿う移流項 $(\mathbf{v} \cdot \nabla)$ の和で表される。
(64) スカラー場の物質微分 証明
$$\dfrac{Df}{Dt} = \dfrac{\partial f}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)f \tag{64}$$(65) ベクトル場の物質微分 証明
$$\dfrac{D\mathbf{A}}{Dt} = \dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{A} \tag{65}$$7.4 ラムの恒等式
ナビエ–ストークス方程式の非線形項 $(\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v}$ は次のように書き換えられる。
(66) ラムの恒等式（Lamb's identity） 証明
$$(\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} = \nabla\!\left(\dfrac{|\mathbf{v}|^2}{2}\right) - \mathbf{v} \times (\nabla \times \mathbf{v}) \tag{66}$$まとめ
本ページの恒等式のうち、特に使用頻度の高いものを以下にまとめる。$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ は定ベクトル、$f, g$ はスカラー場、$\mathbf{A}, \mathbf{B}$ はベクトル場である。
| 分類 | 恒等式 |
|---|---|
| 二重外積（BAC-CAB） | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$ |
| 積の勾配 | $\nabla(fg) = f\,\nabla g + g\,\nabla f$ |
| 積の発散 | $\nabla \cdot (f\mathbf{A}) = f(\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A} \cdot (\nabla f)$ |
| 外積の発散 | $\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B})$ |
| 外積の回転 | $\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{A}(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B}(\nabla \cdot \mathbf{A}) + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B}$ |
| 恒等的にゼロ (1) | $\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$（勾配場は渦なし） |
| 恒等的にゼロ (2) | $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0$（回転場は湧き出しなし） |
| ラプラシアン | $\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f = \Delta f$ |
| 回転の回転 | $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}$ |
| 位置ベクトル | $\nabla r = \dfrac{\mathbf{r}}{r}$、$\nabla \cdot \mathbf{r} = 3$、$\nabla \times \mathbf{r} = \mathbf{0}$、$\nabla\!\left(\dfrac{1}{r}\right) = -\dfrac{\mathbf{r}}{r^3}$ |
| ラムの恒等式 | $(\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} = \nabla\!\left(\dfrac{|\mathbf{v}|^2}{2}\right) - \mathbf{v} \times (\nabla \times \mathbf{v})$ |
押さえておきたい点
- 2つの恒等的にゼロの式は頻出である。$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$ は勾配場が渦なしであることを、$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0$ は回転で表される場が発散をもたないことを表す。後者は磁場が $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$ と書けるときに $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ が従うことに対応する。逆にゼロ条件からポテンシャルの存在を結論するには、領域が単連結であることなどの条件が要る。
- これらの二階微分の恒等式は、場が $C^2$ 級（偏微分の順序交換が可能）であれば成り立つ。$C^2$ は十分条件であって必要条件ではないが、滑らかさの仮定を落とすとこの論法では保証されなくなる（実際、混合偏微分が一致しない関数の例がある）。特異点を含む場では、$r \neq 0$ での古典的な等式か超関数の意味の等式かを区別する。
- 回転の回転の公式 $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}$ は、Maxwell 方程式から波動方程式を導く際の要となる。
- 位置ベクトルまわりの公式は、点源のポテンシャル（重力・静電場）の計算で繰り返し現れる。
よくある質問
ベクトル解析で最も重要な恒等式は？
$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$ と $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0$ の2つ。前者は勾配場が渦なしであること、後者は回転で表される場が発散をもたないことを表す。逆に回転が $\mathbf{0}$ の場からポテンシャルの存在を結論するには、領域が単連結であることなどの条件が要る（(38)(39) を参照）。
BAC-CAB公式とは？
$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$。二重外積を内積に分解する公式で、電磁気学や流体力学で頻出（(7) を参照）。