ベクトル解析の恒等式一覧
Vector Calculus Identities
本ページでは3次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^3$ におけるベクトル解析の標準的な恒等式を一覧する。$f, g$ はスカラー場、$\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}$ はベクトル場とする。
1. 内積・外積の代数公式
1.1 基本性質
(1) 内積の交換法則 証明
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} \tag{1}$$(2) 外積の反交換法則 証明
$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a} \tag{2}$$(3) 外積の分配法則 証明
$$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c} \tag{3}$$(4) スカラー倍の外積 証明
$$(c\,\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (c\,\mathbf{b}) = c\,(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \tag{4}$$1.2 スカラー三重積
(5) スカラー三重積の巡回対称性 証明
$$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) = \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \tag{5}$$(6) スカラー三重積の反対称性 証明
$$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = -\mathbf{a} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{b}) \tag{6}$$1.3 ベクトル三重積（BAC-CAB公式）
(7) BAC-CAB公式 証明
$$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \tag{7}$$(8) 右からの三重外積 証明
$$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{a}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) \tag{8}$$1.4 四重積
(9) ラグランジュ恒等式 証明
$$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{d}) - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{d})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) \tag{9}$$(10) 外積の大きさの二乗 証明
$$|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 \tag{10}$$(11) ベクトル四重外積 証明
$$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) = \mathbf{c}\bigl(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{d})\bigr) - \mathbf{d}\bigl(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})\bigr) \tag{11}$$1.5 ヤコビ恒等式
(12) ヤコビ恒等式 証明
$$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{0} \tag{12}$$2. 勾配の公式
2.1 線形性
(13) 勾配の線形性 証明
$$\nabla(f + g) = \nabla f + \nabla g \tag{13}$$(14) 定数倍 証明
$$\nabla(cf) = c\,\nabla f \tag{14}$$2.2 積の公式
(15) スカラー積の勾配 証明
$$\nabla(fg) = f\,\nabla g + g\,\nabla f \tag{15}$$(16) ベクトル内積の勾配 証明
$$\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} + (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A}) + \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) \tag{16}$$2.3 合成関数
(17) 連鎖律 証明
$$\nabla f(g) = f'(g)\,\nabla g \tag{17}$$(18) べき乗の勾配 証明
$$\nabla f^n = n f^{n-1}\,\nabla f \tag{18}$$2.4 商の公式
(19) スカラー商の勾配 証明
$$\nabla\!\left(\dfrac{f}{g}\right) = \dfrac{g\,\nabla f - f\,\nabla g}{g^2} \tag{19}$$2.5 特殊な勾配
(20) クーロン型関数の勾配 証明
$$\nabla\!\left(\dfrac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right) = -\dfrac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \tag{20}$$3. 発散の公式
3.1 線形性
(21) 発散の線形性 証明
$$\nabla \cdot (\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \nabla \cdot \mathbf{A} + \nabla \cdot \mathbf{B} \tag{21}$$(22) 定数倍 証明
$$\nabla \cdot (c\,\mathbf{A}) = c\,\nabla \cdot \mathbf{A} \tag{22}$$3.2 積の公式
(23) スカラー・ベクトル積の発散 証明
$$\nabla \cdot (f\mathbf{A}) = f(\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A} \cdot (\nabla f) \tag{23}$$(24) 外積の発散 証明
$$\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) \tag{24}$$3.3 勾配との組合せ
(25) 勾配の外積の発散 証明
$$\nabla \cdot (\nabla f \times \nabla g) = 0 \tag{25}$$(26) グリーンの第一恒等式の微分形 証明
$$\nabla \cdot (f\,\nabla g) = f\,\nabla^2 g + \nabla f \cdot \nabla g \tag{26}$$(27) グリーンの第二恒等式の微分形 証明
$$\nabla \cdot (f\,\nabla g - g\,\nabla f) = f\,\nabla^2 g - g\,\nabla^2 f \tag{27}$$(28) ベクトル積の発散（別形） 証明
$$\nabla \cdot (f\,\nabla g \times \nabla h) = \nabla f \cdot (\nabla g \times \nabla h) \tag{28}$$4. 回転の公式
4.1 線形性
(29) 回転の線形性 証明
$$\nabla \times (\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \nabla \times \mathbf{A} + \nabla \times \mathbf{B} \tag{29}$$(30) 定数倍 証明
$$\nabla \times (c\,\mathbf{A}) = c\,(\nabla \times \mathbf{A}) \tag{30}$$4.2 積の公式
(31) スカラー・ベクトル積の回転 証明
$$\nabla \times (f\mathbf{A}) = f(\nabla \times \mathbf{A}) + (\nabla f) \times \mathbf{A} \tag{31}$$(32) 外積の回転 証明
$$\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{A}(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B}(\nabla \cdot \mathbf{A}) + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} \tag{32}$$4.3 勾配との組合せ
(33) 勾配の外積の回転 証明
$$\nabla \times (\nabla f \times \nabla g) = \nabla f\,\nabla^2 g - \nabla g\,\nabla^2 f + (\nabla g \cdot \nabla)\nabla f - (\nabla f \cdot \nabla)\nabla g \tag{33}$$(34) スカラー勾配の回転（別形） 証明
$$\nabla \times (f\,\nabla g) = \nabla f \times \nabla g \tag{34}$$(35) 対称性 証明
$$\nabla \times (f\,\nabla g) = -\nabla \times (g\,\nabla f) \tag{35}$$5. 二階微分の公式
5.1 ラプラシアン
(36) ラプラシアンの定義 証明
$$\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f = \Delta f \tag{36}$$(37) ラプラシアンの直交座標表示 証明
$$\nabla^2 f = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2} \tag{37}$$5.2 基本恒等式
(38) 勾配の回転は零（保存場の条件） 証明
任意の $C^2$ 級スカラー場 $f$ に対して成立。保存力場にポテンシャルが存在するための数学的根拠。
(39) 回転の発散は零 証明
任意の $C^2$ 級ベクトル場 $\mathbf{A}$ に対して成立。磁場に磁荷がない条件 $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ の数学的根拠。
(40) 回転の回転（ベクトルラプラシアン） 証明
$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A} \tag{40}$$5.3 ラプラシアンの積の公式
(41) スカラー積のラプラシアン 証明
$$\nabla^2(fg) = f\,\nabla^2 g + 2(\nabla f \cdot \nabla g) + g\,\nabla^2 f \tag{41}$$(42) ベクトルのラプラシアン（成分表示） 証明
$$\nabla^2 \mathbf{A} = (\nabla^2 A_x,\; \nabla^2 A_y,\; \nabla^2 A_z) \tag{42}$$(43) スカラー・ベクトル積のラプラシアン 証明
$$\nabla^2(f\mathbf{A}) = (\nabla^2 f)\mathbf{A} + 2(\nabla f \cdot \nabla)\mathbf{A} + f\,\nabla^2\mathbf{A} \tag{43}$$(44) 内積のラプラシアン 証明
$$\nabla^2(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \mathbf{A} \cdot \nabla^2\mathbf{B} + \mathbf{B} \cdot \nabla^2\mathbf{A} + 2\displaystyle\sum_{i} (\nabla A_i \cdot \nabla B_i) \tag{44}$$6. 位置ベクトルの公式
$\mathbf{r} = (x, y, z)$、$r = |\mathbf{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$、$\hat{\mathbf{r}} = \mathbf{r}/r$ とする。
6.1 一階微分
(45) $r$ の勾配 証明
$$\nabla r = \hat{\mathbf{r}} = \dfrac{\mathbf{r}}{r} \tag{45}$$(46) $\mathbf{r}$ の発散 証明
$$\nabla \cdot \mathbf{r} = 3 \tag{46}$$(47) $\mathbf{r}$ の回転 証明
$$\nabla \times \mathbf{r} = \mathbf{0} \tag{47}$$(48) $1/r$ の勾配 証明
$$\nabla\!\left(\dfrac{1}{r}\right) = -\dfrac{\mathbf{r}}{r^3} \tag{48}$$(49) $r^2$ の勾配 証明
$$\nabla r^2 = 2\mathbf{r} \tag{49}$$(50) $r^n$ の勾配 証明
$$\nabla r^n = n\,r^{n-2}\,\mathbf{r} = n\,r^{n-1}\,\hat{\mathbf{r}} \tag{50}$$6.2 発散の公式
(51) $r^n \mathbf{r}$ の発散 証明
$$\nabla \cdot (r^n \mathbf{r}) = (n + 3)\,r^n \tag{51}$$(52) $\mathbf{r}/r^3$ の発散（デルタ関数） 証明
$$\nabla \cdot \!\left(\dfrac{\mathbf{r}}{r^3}\right) = 4\pi\,\delta^3(\mathbf{r}) \tag{52}$$6.3 ラプラシアン
(53) $1/r$ のラプラシアン 証明
$$\nabla^2\!\left(\dfrac{1}{r}\right) = -4\pi\,\delta^3(\mathbf{r}) \tag{53}$$(54) $r^n$ のラプラシアン（$r \neq 0$） 証明
$$\nabla^2 r^n = n(n+1)\,r^{n-2} \tag{54}$$(55) $\ln r$ のラプラシアン（$r \neq 0$） 証明
$$\nabla^2 \ln r = \dfrac{1}{r^2} \tag{55}$$6.4 (A·∇) と位置ベクトル
(56) 証明
$$(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{r} = \mathbf{A} \tag{56}$$(57) 証明
$$(\mathbf{A} \cdot \nabla)r = \dfrac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{r}}{r} \tag{57}$$7. $(\mathbf{A} \cdot \nabla)$ 演算子
7.1 定義
(58) $(\mathbf{A} \cdot \nabla)$ の定義 証明
$$(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} = \left(A_x \dfrac{\partial}{\partial x} + A_y \dfrac{\partial}{\partial y} + A_z \dfrac{\partial}{\partial z}\right)\mathbf{B} \tag{58}$$すなわち各成分について (59) の証明
$$\bigl[(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B}\bigr]_i = A_x \dfrac{\partial B_i}{\partial x} + A_y \dfrac{\partial B_i}{\partial y} + A_z \dfrac{\partial B_i}{\partial z} \tag{59}$$7.2 基本公式
(60) スカラー場への作用 証明
$$(\mathbf{A} \cdot \nabla)f = \mathbf{A} \cdot \nabla f \tag{60}$$(61) 外積と回転の関係 証明
$$\mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) = (\nabla \mathbf{B}) \cdot \mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} \tag{61}$$ここで $(\nabla \mathbf{B})$ はベクトル場 $\mathbf{B}$ のヤコビ行列（ダイアディック）であり、$(\nabla \mathbf{B})_{ij} = \partial B_j / \partial x_i$ である。成分表示すると (62) の証明
$$\bigl[\mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B})\bigr]_i = \displaystyle\sum_j A_j \dfrac{\partial B_j}{\partial x_i} - \displaystyle\sum_j A_j \dfrac{\partial B_i}{\partial x_j} \tag{62}$$(63) 内積の勾配（式 (16) の別形） 証明
$$(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} = \nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) - \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A}) \tag{63}$$7.3 物質微分
流体力学において、速度場 $\mathbf{v}$ に沿った物質微分は $(\mathbf{v} \cdot \nabla)$ 演算子を用いて表される。
(64) スカラー場の物質微分 証明
$$\dfrac{Df}{Dt} = \dfrac{\partial f}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)f \tag{64}$$(65) ベクトル場の物質微分 証明
$$\dfrac{D\mathbf{A}}{Dt} = \dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{A} \tag{65}$$7.4 ラムの恒等式
ナビエ–ストークス方程式の非線形項 $(\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v}$ は次のように書き換えられる。
(66) ラムの恒等式（Lamb's identity） 証明
$$(\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} = \nabla\!\left(\dfrac{|\mathbf{v}|^2}{2}\right) - \mathbf{v} \times (\nabla \times \mathbf{v}) \tag{66}$$