証明集 第7章: (A·∇) 演算子

解説

記号 $(\mathbf{A} \cdot \nabla)$ は内積 $\mathbf{A} \cdot \nabla$ を「演算子」として読み替えたものである。形式的に内積を取ると、ナブラを成分表示した $\nabla = (\partial/\partial x, \partial/\partial y, \partial/\partial z)$ と $\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)$ から

\begin{equation}\mathbf{A} \cdot \nabla = A_x \dfrac{\partial}{\partial x} + A_y \dfrac{\partial}{\partial y} + A_z \dfrac{\partial}{\partial z} \label{eq:7-1-1}\end{equation}

が得られる。これはスカラー値の微分演算子（1 階の偏微分の線形結合）であり、スカラー場にもベクトル場にも作用できる。

定義として well-defined であること： $\eqref{eq:7-1-1}$ の右辺は線形微分演算子の有限和なので、関数 $\mathbf{B}$ が各点で微分可能であれば値が一意に定まる。$(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B}$ はベクトル場 $\mathbf{B}$ の各成分に演算子 $\mathbf{A} \cdot \nabla$ を作用させて得られるベクトル場として定義される。

方向微分との関係： 単位ベクトル $\hat{\mathbf{n}} = \mathbf{A}/|\mathbf{A}|$ を用いると

\begin{equation}(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} = |\mathbf{A}| \, (\hat{\mathbf{n}} \cdot \nabla)\mathbf{B} \label{eq:7-1-2}\end{equation}

と書ける。$(\hat{\mathbf{n}} \cdot \nabla)\mathbf{B}$ は方向 $\hat{\mathbf{n}}$ に沿った $\mathbf{B}$ の方向微分であるから、$(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B}$ は $\mathbf{A}$ の方向に沿った方向微分を $|\mathbf{A}|$ 倍したものに等しい。

証明

前提：定義 (58)、ベクトル場の成分は独立に微分される。

定義 (58) より

\begin{equation}(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} = \left(A_x \dfrac{\partial}{\partial x} + A_y \dfrac{\partial}{\partial y} + A_z \dfrac{\partial}{\partial z}\right)\mathbf{B} \label{eq:7-2-1}\end{equation}

右辺はベクトル場 $\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)$ に作用しているので、その第 $i$ 成分は

\begin{equation}\bigl[(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B}\bigr]_i = \left(A_x \dfrac{\partial}{\partial x} + A_y \dfrac{\partial}{\partial y} + A_z \dfrac{\partial}{\partial z}\right) B_i \label{eq:7-2-2}\end{equation}

線形微分演算子は各成分に分配されるので、$\eqref{eq:7-2-2}$ を展開して

\begin{equation}\bigl[(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B}\bigr]_i = A_x \dfrac{\partial B_i}{\partial x} + A_y \dfrac{\partial B_i}{\partial y} + A_z \dfrac{\partial B_i}{\partial z} \label{eq:7-2-3}\end{equation}

を得る。総和規約を用いれば $\sum_j A_j \,\partial B_i / \partial x_j$ と簡潔に書ける。

証明

前提：定義 (58)、勾配 $\nabla f = (\partial f/\partial x, \partial f/\partial y, \partial f/\partial z)$、内積の定義。

左辺を定義 (58) を用いて展開する。

\begin{equation}(\mathbf{A} \cdot \nabla)f = \left(A_x \dfrac{\partial}{\partial x} + A_y \dfrac{\partial}{\partial y} + A_z \dfrac{\partial}{\partial z}\right) f = A_x \dfrac{\partial f}{\partial x} + A_y \dfrac{\partial f}{\partial y} + A_z \dfrac{\partial f}{\partial z} \label{eq:7-3-1}\end{equation}

右辺は $\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)$ と $\nabla f = (\partial f/\partial x, \partial f/\partial y, \partial f/\partial z)$ の内積に他ならない。

\begin{equation}A_x \dfrac{\partial f}{\partial x} + A_y \dfrac{\partial f}{\partial y} + A_z \dfrac{\partial f}{\partial z} = \mathbf{A} \cdot \nabla f \label{eq:7-3-2}\end{equation}

$\eqref{eq:7-3-1}, \eqref{eq:7-3-2}$ より $(\mathbf{A} \cdot \nabla)f = \mathbf{A} \cdot \nabla f$ が成立する。

証明

前提：レビ・チビタ記号 $\varepsilon_{ijk}$、$\varepsilon$-$\delta$ 恒等式 $\displaystyle\sum_k \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl}$、外積の成分表示 $[\mathbf{a} \times \mathbf{b}]_i = \varepsilon_{ijk} a_j b_k$、回転の成分表示 $[\nabla \times \mathbf{B}]_k = \varepsilon_{klm} \,\partial B_m/\partial x_l$。総和規約を用いる。

(i) 左辺の成分展開： 外積を 2 段階で書き下す。

\begin{equation}[\mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B})]_i = \varepsilon_{ijk} A_j \, [\nabla \times \mathbf{B}]_k = \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{klm} A_j \dfrac{\partial B_m}{\partial x_l} \label{eq:7-4-1}\end{equation}

(ii) $\varepsilon$-$\delta$ 恒等式の適用： $\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{klm} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl}$ を $\eqref{eq:7-4-1}$ に代入する。

\begin{equation}[\mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B})]_i = (\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl}) A_j \dfrac{\partial B_m}{\partial x_l} \label{eq:7-4-2}\end{equation}

(iii) クロネッカー・デルタの縮約： $\delta_{il}$ は $l = i$ で生き残り、$\delta_{jm}$ は $m = j$ で生き残る。第 1 項は

\begin{equation}\delta_{il}\delta_{jm} A_j \dfrac{\partial B_m}{\partial x_l} = A_j \dfrac{\partial B_j}{\partial x_i} \label{eq:7-4-3}\end{equation}

同様に $\delta_{im}\delta_{jl}$ では $m = i$, $l = j$ で生き残り、第 2 項は

\begin{equation}\delta_{im}\delta_{jl} A_j \dfrac{\partial B_m}{\partial x_l} = A_j \dfrac{\partial B_i}{\partial x_j} \label{eq:7-4-4}\end{equation}

(iv) 結合： $\eqref{eq:7-4-2}, \eqref{eq:7-4-3}, \eqref{eq:7-4-4}$ より

\begin{equation}[\mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B})]_i = A_j \dfrac{\partial B_j}{\partial x_i} - A_j \dfrac{\partial B_i}{\partial x_j} \label{eq:7-4-5}\end{equation}

(v) 各項の同定： 第 1 項 $\displaystyle\sum_j A_j \,\partial B_j/\partial x_i$ は条件文の定義により $[(\nabla \mathbf{B}) \cdot \mathbf{A}]_i$ そのものである。第 2 項 $\displaystyle\sum_j A_j \,\partial B_i/\partial x_j$ は (59) より $[(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B}]_i$ に等しい。よって

\begin{equation}[\mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B})]_i = [(\nabla \mathbf{B}) \cdot \mathbf{A}]_i - [(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B}]_i \label{eq:7-4-6}\end{equation}

これは任意の成分 $i$ で成立するので、ベクトルとして $\mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) = (\nabla \mathbf{B}) \cdot \mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B}$ が示された。

証明

前提：(61) の証明過程の式 $\eqref{eq:7-4-5}$。

(61) の証明 (i)–(iv) で示した式 $\eqref{eq:7-4-5}$

\begin{equation}[\mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B})]_i = \displaystyle\sum_j A_j \dfrac{\partial B_j}{\partial x_i} - \displaystyle\sum_j A_j \dfrac{\partial B_i}{\partial x_j} \label{eq:7-5-1}\end{equation}

がそのまま (62) の主張である。本式は (61) のベクトル等式の第 $i$ 成分にあたる。

証明

前提：内積の勾配公式 (16)：$\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} + (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A}) + \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B})$ が既に証明されているとする。

(16) を出発点として整理する。

\begin{equation}\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} + (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A}) + \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) \label{eq:7-6-1}\end{equation}

$\eqref{eq:7-6-1}$ の両辺から $\mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A})$ を引くと

\begin{equation}\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) - \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A}) = (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} \label{eq:7-6-2}\end{equation}

これが示すべき (63) である。

証明

前提：流体粒子の軌跡 $\mathbf{x}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ は $d\mathbf{x}/dt = \mathbf{v}(\mathbf{x}(t), t)$ を満たす。多変数連鎖律。(60)。

(i) 物質微分の定義： 物質微分 $Df/Dt$ は、流体粒子の軌跡 $\mathbf{x}(t)$ に沿った合成関数 $f(\mathbf{x}(t), t)$ の全微分として定義される。

\begin{equation}\dfrac{Df}{Dt} = \dfrac{d}{dt} f(\mathbf{x}(t), t) \label{eq:7-7-1}\end{equation}

(ii) 多変数連鎖律： $f$ は $x, y, z, t$ の 4 変数関数であり、$x = x(t)$, $y = y(t)$, $z = z(t)$ は $t$ の関数だから、連鎖律より

\begin{equation}\dfrac{d}{dt} f(\mathbf{x}(t), t) = \dfrac{\partial f}{\partial t} + \dfrac{\partial f}{\partial x} \dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \dfrac{dy}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial z} \dfrac{dz}{dt} \label{eq:7-7-2}\end{equation}

(iii) 速度場の代入： 軌跡の定義より $dx/dt = v_x$, $dy/dt = v_y$, $dz/dt = v_z$ であるから

\begin{equation}\dfrac{d}{dt} f(\mathbf{x}(t), t) = \dfrac{\partial f}{\partial t} + v_x \dfrac{\partial f}{\partial x} + v_y \dfrac{\partial f}{\partial y} + v_z \dfrac{\partial f}{\partial z} \label{eq:7-7-3}\end{equation}

(iv) 移流項の同定： $\eqref{eq:7-7-3}$ の右辺第 2 項以降は内積 $\mathbf{v} \cdot \nabla f$ そのものであり、(60) より $(\mathbf{v} \cdot \nabla)f$ に等しい。よって

\begin{equation}\dfrac{Df}{Dt} = \dfrac{\partial f}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)f \label{eq:7-7-4}\end{equation}

が成立する。

証明

前提：スカラー場の物質微分 (64)、ベクトル場の物質微分は各成分独立、(58)。

$\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)$ の各成分 $A_i$ は時空間のスカラー場であるから、(64) を各成分に適用できる。

\begin{equation}\dfrac{DA_i}{Dt} = \dfrac{\partial A_i}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) A_i \quad (i = x, y, z) \label{eq:7-8-1}\end{equation}

3 個の式 $\eqref{eq:7-8-1}$ をベクトルとしてまとめると

\begin{equation}\dfrac{D\mathbf{A}}{Dt} = \begin{pmatrix} DA_x/Dt \\ DA_y/Dt \\ DA_z/Dt \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \partial A_x/\partial t \\ \partial A_y/\partial t \\ \partial A_z/\partial t \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} (\mathbf{v} \cdot \nabla) A_x \\ (\mathbf{v} \cdot \nabla) A_y \\ (\mathbf{v} \cdot \nabla) A_z \end{pmatrix} \label{eq:7-8-2}\end{equation}

右辺第 1 項のベクトルは $\partial \mathbf{A}/\partial t$ そのもの。第 2 項は (58) の定義により $(\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{A}$ に等しい。よって

\begin{equation}\dfrac{D\mathbf{A}}{Dt} = \dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{A} \label{eq:7-8-3}\end{equation}

が示された。

証明

前提：内積の勾配の別形 (63)、$\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{v}|^2$。

(i) (63) で $\mathbf{A} = \mathbf{B} = \mathbf{v}$ と置く：

\begin{equation}(\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} = \nabla(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) - \mathbf{v} \times (\nabla \times \mathbf{v}) - \mathbf{v} \times (\nabla \times \mathbf{v}) \label{eq:7-9-1}\end{equation}

(ii) 整理： $\eqref{eq:7-9-1}$ をまとめる。

\begin{equation}2 (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} = \nabla(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) - 2 \, \mathbf{v} \times (\nabla \times \mathbf{v}) \label{eq:7-9-2}\end{equation}

(iii) 両辺を 2 で割る：

\begin{equation}(\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} = \dfrac{1}{2} \nabla(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) - \mathbf{v} \times (\nabla \times \mathbf{v}) \label{eq:7-9-3}\end{equation}

(iv) $\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{v}|^2$ の代入： 勾配の線形性より $\dfrac{1}{2} \nabla(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) = \nabla\!\left(\dfrac{|\mathbf{v}|^2}{2}\right)$ なので

\begin{equation}(\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} = \nabla\!\left(\dfrac{|\mathbf{v}|^2}{2}\right) - \mathbf{v} \times (\nabla \times \mathbf{v}) \label{eq:7-9-4}\end{equation}

が示された。