勾配・発散・回転・ラプラシアン
Gradient, Divergence, Curl, and Laplacian
この章の内容
1. ナブラ演算子
定義: ナブラ演算子 $\nabla$
3次元直交座標系において、ナブラ演算子（nabla operator）は次のように定義されるベクトル微分演算子である。
$$\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x},\; \frac{\partial}{\partial y},\; \frac{\partial}{\partial z} \right)$$$\nabla$ はそれ自体はベクトルではないが、形式的にベクトルとして扱うことで、勾配・発散・回転を統一的に記述できる。スカラー場に作用させればベクトル場（勾配）を、ベクトル場との内積をとれば発散を、ベクトル場との外積をとれば回転を与える。
$\nabla$ は演算子であり、右側にある関数に作用する。$\nabla f$ と $f \nabla$ は意味が異なるため、順序に注意する。
2. 勾配 grad
定義: 勾配（gradient）
スカラー場 $f(x, y, z)$ の勾配は次のベクトル場である。
$$\operatorname{grad} f = \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x},\; \frac{\partial f}{\partial y},\; \frac{\partial f}{\partial z} \right)$$物理的意味
- 方向: スカラー場 $f$ が最も急に増加する方向を指す。
- 大きさ: その方向における変化率の最大値 $|\nabla f|$ を表す。
- 等高面 $f = \text{const}$ に対して $\nabla f$ は常に法線方向を向く。
全微分との関係
スカラー場 $f$ の全微分は勾配と微小変位ベクトル $d\mathbf{r} = (dx, dy, dz)$ の内積で表される。
$$df = \nabla f \cdot d\mathbf{r} = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz$$例: 重力ポテンシャル
質量 $M$ の質点が原点にあるとき、重力ポテンシャルは
$$\varphi = -\frac{GM}{r}, \quad r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$重力は $\mathbf{F} = -\nabla \varphi$ で与えられる。これはポテンシャルが減少する方向（質点に引き寄せられる方向）を指す。
$$\mathbf{F} = -\nabla \varphi = -\frac{GM}{r^3} \mathbf{r}$$性質: 勾配の回転はゼロ
任意の $C^2$ 級スカラー場 $f$ に対して
$$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$$すなわち、勾配場は常に渦なし（非回転場, irrotational）である。
証明
$\nabla f = \left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\, \dfrac{\partial f}{\partial y},\, \dfrac{\partial f}{\partial z}\right)$ の回転の各成分を計算する。
$x$ 成分:
$$\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right) - \frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial z} - \frac{\partial^2 f}{\partial z\,\partial y}$$$f$ は $C^2$ 級であるから、シュワルツの定理（偏微分の交換可能性）により
$$\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial z} = \frac{\partial^2 f}{\partial z\,\partial y}$$したがって $x$ 成分は $0$ である。$y$ 成分、$z$ 成分も同様に
$$y\text{ 成分}: \quad \frac{\partial^2 f}{\partial z\,\partial x} - \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial z} = 0$$ $$z\text{ 成分}: \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} - \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} = 0$$よって $\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$。$\blacksquare$
3. 発散 div
定義: 発散（divergence）
ベクトル場 $\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)$ の発散は次のスカラー場である。
$$\operatorname{div} \mathbf{A} = \nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$$物理的意味
- $\nabla \cdot \mathbf{A} > 0$: その点は「湧き出し」（source）である。
- $\nabla \cdot \mathbf{A} < 0$: その点は「吸い込み」（sink）である。
- $\nabla \cdot \mathbf{A} = 0$: ソレノイダル場（非圧縮性）。流入量と流出量が釣り合う。
例: 位置ベクトルの発散
位置ベクトル $\mathbf{r} = (x, y, z)$ の発散は
$$\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 3$$また、$r \neq 0$ において
$$\nabla \cdot \left( \frac{\mathbf{r}}{r^3} \right) = 0$$これは逆二乗法則に従う場（重力場や静電場）が原点以外で湧き出しを持たないことを意味する。
例: 連続の方程式
密度 $\rho$ と流束密度 $\mathbf{j}$ に対する保存則は
$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0$$これは電荷保存則や質量保存則として物理の至る所に現れる。
性質: 回転の発散はゼロ
任意の $C^2$ 級ベクトル場 $\mathbf{A}$ に対して
$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0$$すなわち、回転場は常にソレノイダル（湧き出しなし）である。
証明
$\nabla \times \mathbf{A}$ の各成分は
$$\nabla \times \mathbf{A} = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z},\;\; \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x},\;\; \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right)$$この発散を計算する。
$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right)$$展開すると 6 項になる。
$$= \frac{\partial^2 A_z}{\partial x\,\partial y} - \frac{\partial^2 A_y}{\partial x\,\partial z} + \frac{\partial^2 A_x}{\partial y\,\partial z} - \frac{\partial^2 A_z}{\partial y\,\partial x} + \frac{\partial^2 A_y}{\partial z\,\partial x} - \frac{\partial^2 A_x}{\partial z\,\partial y}$$$\mathbf{A}$ の各成分は $C^2$ 級であるから、シュワルツの定理により偏微分の順序を交換できる。同じ成分の項をペアにすると
$$= \underbrace{\left(\frac{\partial^2 A_z}{\partial x\,\partial y} - \frac{\partial^2 A_z}{\partial y\,\partial x}\right)}_{=\,0} + \underbrace{\left(\frac{\partial^2 A_x}{\partial y\,\partial z} - \frac{\partial^2 A_x}{\partial z\,\partial y}\right)}_{=\,0} + \underbrace{\left(\frac{\partial^2 A_y}{\partial z\,\partial x} - \frac{\partial^2 A_y}{\partial x\,\partial z}\right)}_{=\,0}$$よって $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0$。$\blacksquare$
4. 回転 curl (rot)
定義: 回転（curl / rot）
ベクトル場 $\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)$ の回転は次のベクトル場である。
$$\operatorname{curl} \mathbf{A} = \nabla \times \mathbf{A} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}$$成分表示
行列式を展開すると、各成分は次のようになる。
$$\nabla \times \mathbf{A} = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z},\; \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x},\; \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right)$$物理的意味
- $\nabla \times \mathbf{A}$ はベクトル場の「循環密度」（vorticity）を表す。
- 方向: 渦の回転軸の方向（右ねじの法則）。
- 大きさ: 渦の強さを表す。
例: 剛体回転
角速度ベクトル $\boldsymbol{\Omega}$ で回転する剛体の速度場は
$$\mathbf{A} = \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{r}$$この場の回転を計算すると
$$\nabla \times \mathbf{A} = 2\boldsymbol{\Omega}$$すなわち、渦度は角速度の2倍になる。
性質: 勾配の回転はゼロ（再掲）
任意の $C^2$ 級スカラー場 $f$ に対して
$$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$$逆に、単連結領域において $\nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{0}$ ならば、$\mathbf{A} = \nabla f$ となるスカラーポテンシャル $f$ が存在する。
5. ラプラシアン
定義: スカラーラプラシアン
スカラー場 $f$ のラプラシアンは発散と勾配の合成で定義される。
$$\nabla^2 f = \operatorname{div}(\operatorname{grad} f) = \nabla \cdot (\nabla f) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$$定義: ベクトルラプラシアン
ベクトル場 $\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)$ のラプラシアンは各成分にスカラーラプラシアンを適用したものである。
$$\nabla^2 \mathbf{A} = (\nabla^2 A_x,\; \nabla^2 A_y,\; \nabla^2 A_z)$$関係: $\nabla^2 = \nabla \cdot \nabla = \operatorname{div} \circ \operatorname{grad}$。ラプラシアンは「発散の勾配」ではなく「勾配の発散」である点に注意する。
物理に現れるラプラシアン
ラプラス方程式
ラプラシアンがゼロとなる関数を調和関数（harmonic function）という。
$$\nabla^2 f = 0$$電荷のない領域の静電ポテンシャル、定常温度分布などが満たす。
熱伝導方程式
温度 $u$ の時間変化は熱拡散率 $\alpha$ を用いて
$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u$$ラプラシアンは「周囲の平均値との差」を表し、温度が周囲より低い点では $\nabla^2 u > 0$ で温度が上昇する。
波動方程式
波の伝播速度 $c$ を用いて
$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u$$音波、電磁波、弦の振動など広範な波動現象を記述する。
6. 方向微分
定義: 方向微分（directional derivative）
スカラー場 $f$ の単位ベクトル $\hat{\mathbf{n}}$ 方向への方向微分は
$$D_{\hat{\mathbf{n}}} f = \nabla f \cdot \hat{\mathbf{n}} = |\nabla f| \cos\theta$$ここで $\theta$ は $\nabla f$ と $\hat{\mathbf{n}}$ のなす角である。
方向微分の値は $\hat{\mathbf{n}}$ が $\nabla f$ と同じ方向のとき最大値 $|\nabla f|$ をとり、逆方向のとき最小値 $-|\nabla f|$ をとる。$\nabla f$ に直交する方向では $0$ となる（等高面に沿った方向）。
ベクトル場への $(\mathbf{A} \cdot \nabla)$ 演算子
ベクトル場 $\mathbf{B}$ に対する $(\mathbf{A} \cdot \nabla)$ 演算子は、$\mathbf{B}$ の各成分を $\mathbf{A}$ 方向に微分する。
$$(\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B} = \left( \mathbf{A} \cdot \nabla B_x,\; \mathbf{A} \cdot \nabla B_y,\; \mathbf{A} \cdot \nabla B_z \right)$$これは流体力学の移流項 $(\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v}$ やナビエ-ストークス方程式で重要な役割を果たす。
まとめ
ベクトル解析の4つの基本演算を以下にまとめる。
| 演算 | 記法 | 入力 → 出力 | 物理的意味 |
|---|---|---|---|
| 勾配 (grad) | $\nabla f$ | スカラー → ベクトル | 最急上昇方向 |
| 発散 (div) | $\nabla \cdot \mathbf{A}$ | ベクトル → スカラー | 湧き出しの強さ |
| 回転 (curl) | $\nabla \times \mathbf{A}$ | ベクトル → ベクトル | 渦の強さと方向 |
| ラプラシアン | $\nabla^2 f$ | スカラー → スカラー | 周囲の平均値との差 |
基本恒等式
- $\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$（勾配場は非回転）
- $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0$（回転場はソレノイダル）
- $\nabla^2 f = \nabla \cdot (\nabla f)$（ラプラシアン = 勾配の発散）