証明集 第4章: 回転の公式

証明

偏微分の線形性から各成分ごとに証明する。

左辺の第 $i$ 成分を Levi-Civita 記号で表す。

\begin{equation}[\nabla \times (\mathbf{A} + \mathbf{B})]_i = \varepsilon_{ijk}\,\dfrac{\partial (A_k + B_k)}{\partial x_j} \label{eq:4-29-1}\end{equation}

偏微分の線形性 $\partial(A_k + B_k)/\partial x_j = \partial A_k/\partial x_j + \partial B_k/\partial x_j$ を $\eqref{eq:4-29-1}$ に適用する。

\begin{equation}[\nabla \times (\mathbf{A} + \mathbf{B})]_i = \varepsilon_{ijk}\,\dfrac{\partial A_k}{\partial x_j} + \varepsilon_{ijk}\,\dfrac{\partial B_k}{\partial x_j} \label{eq:4-29-2}\end{equation}

$\eqref{eq:4-29-2}$ の各項は $\mathbf{A}$、$\mathbf{B}$ の回転の第 $i$ 成分そのものである。

\begin{equation}[\nabla \times (\mathbf{A} + \mathbf{B})]_i = [\nabla \times \mathbf{A}]_i + [\nabla \times \mathbf{B}]_i \label{eq:4-29-3}\end{equation}

すべての成分 $i = 1, 2, 3$ で成り立つから、ベクトル等式として成立する。

証明

偏微分の定数倍法則 $\partial(cA_k)/\partial x_j = c\,\partial A_k/\partial x_j$ を用いる。

左辺の第 $i$ 成分は

\begin{equation}[\nabla \times (c\,\mathbf{A})]_i = \varepsilon_{ijk}\,\dfrac{\partial (c A_k)}{\partial x_j} = \varepsilon_{ijk}\,c\,\dfrac{\partial A_k}{\partial x_j} \label{eq:4-30-1}\end{equation}

定数 $c$ は和の外に出せる。

\begin{equation}[\nabla \times (c\,\mathbf{A})]_i = c\,\varepsilon_{ijk}\,\dfrac{\partial A_k}{\partial x_j} = c\,[\nabla \times \mathbf{A}]_i \label{eq:4-30-2}\end{equation}

すべての成分で成り立つから、ベクトル等式として成立する。

証明

偏微分の Leibniz 則を Levi-Civita 表示に適用する。

左辺の第 $i$ 成分は

\begin{equation}[\nabla \times (f\mathbf{A})]_i = \varepsilon_{ijk}\,\dfrac{\partial (f A_k)}{\partial x_j} \label{eq:4-31-1}\end{equation}

Leibniz 則 $\partial(f A_k)/\partial x_j = f\,\partial A_k/\partial x_j + A_k\,\partial f/\partial x_j$ を $\eqref{eq:4-31-1}$ に適用する。

\begin{equation}[\nabla \times (f\mathbf{A})]_i = \varepsilon_{ijk}\left( f\,\dfrac{\partial A_k}{\partial x_j} + A_k\,\dfrac{\partial f}{\partial x_j} \right) \label{eq:4-31-2}\end{equation}

$\eqref{eq:4-31-2}$ を 2 項に分ける。

\begin{equation}[\nabla \times (f\mathbf{A})]_i = f\,\varepsilon_{ijk}\,\dfrac{\partial A_k}{\partial x_j} + \varepsilon_{ijk}\,\dfrac{\partial f}{\partial x_j}\,A_k \label{eq:4-31-3}\end{equation}

第 1 項は $f\,[\nabla \times \mathbf{A}]_i$ である。第 2 項について、$\partial f/\partial x_j = (\nabla f)_j$ と書くと

\begin{equation}\varepsilon_{ijk}\,(\nabla f)_j\,A_k = [(\nabla f) \times \mathbf{A}]_i \label{eq:4-31-4}\end{equation}

これは外積の Levi-Civita 表示 $[\mathbf{u} \times \mathbf{v}]_i = \varepsilon_{ijk} u_j v_k$ そのものである。$\eqref{eq:4-31-3}$ と $\eqref{eq:4-31-4}$ を合わせて

\begin{equation}[\nabla \times (f\mathbf{A})]_i = f\,[\nabla \times \mathbf{A}]_i + [(\nabla f) \times \mathbf{A}]_i \label{eq:4-31-5}\end{equation}

すべての成分で成立するから、ベクトル等式として成り立つ。

証明

ε-δ 恒等式 $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl}$ と Leibniz 則を用いる。

左辺の第 $i$ 成分を Levi-Civita 表示する。外積 $\mathbf{A} \times \mathbf{B}$ の第 $k$ 成分は $\varepsilon_{klm} A_l B_m$。

\begin{equation}[\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B})]_i = \varepsilon_{ijk}\,\dfrac{\partial}{\partial x_j} (\varepsilon_{klm} A_l B_m) \label{eq:4-32-1}\end{equation}

Step 1：ε-δ 恒等式の適用

$\varepsilon_{klm}$ は定数なので外に出せる。$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}$ に ε-δ 恒等式を適用する。

\begin{equation}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl} \label{eq:4-32-2}\end{equation}

$\eqref{eq:4-32-1}$ に $\eqref{eq:4-32-2}$ を代入する。

\begin{equation}[\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B})]_i = (\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl})\,\dfrac{\partial (A_l B_m)}{\partial x_j} \label{eq:4-32-3}\end{equation}

Step 2：Kronecker δ による縮約

$\delta_{il}\delta_{jm}$ により $l = i$、$m = j$ と縮約され、$\delta_{im}\delta_{jl}$ により $m = i$、$l = j$ と縮約される。

\begin{equation}[\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B})]_i = \dfrac{\partial (A_i B_j)}{\partial x_j} - \dfrac{\partial (A_j B_i)}{\partial x_j} \label{eq:4-32-4}\end{equation}

Step 3：Leibniz 則と各項の意味づけ

各項に Leibniz 則を適用する。

\begin{equation}\dfrac{\partial (A_i B_j)}{\partial x_j} = A_i\,\dfrac{\partial B_j}{\partial x_j} + B_j\,\dfrac{\partial A_i}{\partial x_j} \label{eq:4-32-5}\end{equation}

\begin{equation}\dfrac{\partial (A_j B_i)}{\partial x_j} = A_j\,\dfrac{\partial B_i}{\partial x_j} + B_i\,\dfrac{\partial A_j}{\partial x_j} \label{eq:4-32-6}\end{equation}

$\eqref{eq:4-32-4}$ に $\eqref{eq:4-32-5}$、$\eqref{eq:4-32-6}$ を代入する。

\begin{equation}[\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B})]_i = A_i\,\dfrac{\partial B_j}{\partial x_j} + B_j\,\dfrac{\partial A_i}{\partial x_j} - A_j\,\dfrac{\partial B_i}{\partial x_j} - B_i\,\dfrac{\partial A_j}{\partial x_j} \label{eq:4-32-7}\end{equation}

各項を意味づける。$\partial B_j/\partial x_j = \nabla \cdot \mathbf{B}$、$\partial A_j/\partial x_j = \nabla \cdot \mathbf{A}$ である。また方向微分作用素 $\mathbf{B} \cdot \nabla = B_j\,\partial/\partial x_j$ と $\mathbf{A} \cdot \nabla = A_j\,\partial/\partial x_j$ により

\begin{equation}B_j\,\dfrac{\partial A_i}{\partial x_j} = [(\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A}]_i, \quad A_j\,\dfrac{\partial B_i}{\partial x_j} = [(\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B}]_i \label{eq:4-32-8}\end{equation}

$\eqref{eq:4-32-7}$ にこれらを代入する。

\begin{equation}[\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B})]_i = A_i\,(\nabla \cdot \mathbf{B}) - B_i\,(\nabla \cdot \mathbf{A}) + [(\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A}]_i - [(\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B}]_i \label{eq:4-32-9}\end{equation}

すべての成分で成り立つから、ベクトル等式として成立する。

\begin{equation}\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{A}(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B}(\nabla \cdot \mathbf{A}) + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} \label{eq:4-32-10}\end{equation}

証明

(32) を $\mathbf{A} = \nabla f$、$\mathbf{B} = \nabla g$ に適用する。

(32) の右辺は

\begin{equation}\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{A}(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B}(\nabla \cdot \mathbf{A}) + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} \label{eq:4-33-1}\end{equation}

$\mathbf{A} = \nabla f$、$\mathbf{B} = \nabla g$ を代入すると

\begin{equation}\nabla \times (\nabla f \times \nabla g) = \nabla f\,(\nabla \cdot \nabla g) - \nabla g\,(\nabla \cdot \nabla f) + (\nabla g \cdot \nabla)\nabla f - (\nabla f \cdot \nabla)\nabla g \label{eq:4-33-2}\end{equation}

ラプラシアンの定義 $\nabla^2 = \nabla \cdot \nabla$ より $\nabla \cdot \nabla f = \nabla^2 f$、$\nabla \cdot \nabla g = \nabla^2 g$。これを $\eqref{eq:4-33-2}$ に代入する。

\begin{equation}\nabla \times (\nabla f \times \nabla g) = \nabla f\,\nabla^2 g - \nabla g\,\nabla^2 f + (\nabla g \cdot \nabla)\nabla f - (\nabla f \cdot \nabla)\nabla g \label{eq:4-33-3}\end{equation}

証明

(31) を $\mathbf{A} = \nabla g$ に適用し、勾配の回転がゼロであること（公式 (38)：$\nabla \times \nabla g = \mathbf{0}$、第 5 章で証明）を用いる。

(31) より

\begin{equation}\nabla \times (f\,\nabla g) = f\,(\nabla \times \nabla g) + (\nabla f) \times \nabla g \label{eq:4-34-1}\end{equation}

勾配の回転は恒等的にゼロである。

\begin{equation}\nabla \times \nabla g = \mathbf{0} \label{eq:4-34-2}\end{equation}

$\eqref{eq:4-34-2}$ を $\eqref{eq:4-34-1}$ に代入すると、第 1 項は消える。

\begin{equation}\nabla \times (f\,\nabla g) = \nabla f \times \nabla g \label{eq:4-34-3}\end{equation}

証明

(34) と外積の反対称性から導く。

(34) より左辺は

\begin{equation}\nabla \times (f\,\nabla g) = \nabla f \times \nabla g \label{eq:4-35-1}\end{equation}

同じ (34) を $f$ と $g$ を入れ替えて適用する。

\begin{equation}\nabla \times (g\,\nabla f) = \nabla g \times \nabla f \label{eq:4-35-2}\end{equation}

外積の反対称性（公式 (2)：$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = -\mathbf{v} \times \mathbf{u}$）より

\begin{equation}\nabla g \times \nabla f = -(\nabla f \times \nabla g) \label{eq:4-35-3}\end{equation}

$\eqref{eq:4-35-2}$ に $\eqref{eq:4-35-3}$ を代入する。

\begin{equation}\nabla \times (g\,\nabla f) = -(\nabla f \times \nabla g) \label{eq:4-35-4}\end{equation}

$\eqref{eq:4-35-1}$ と $\eqref{eq:4-35-4}$ を比較すると

\begin{equation}\nabla \times (f\,\nabla g) = -\nabla \times (g\,\nabla f) \label{eq:4-35-5}\end{equation}