証明集 第3章: 発散の公式

Proofs Chapter 3: Divergence Formulas

3. 発散の公式

本章ではベクトル場の発散 $\nabla \cdot \mathbf{A} = \displaystyle\sum_{i} \dfrac{\partial A_i}{\partial x_i}$ に関する公式 (21)-(28) を証明する。証明は基本的に成分表示と偏微分の線形性・積の公式を組み合わせるものであり、第2章で確立した勾配の公式およびスカラー三重積の循環性 (5) を随時利用する。

本章のロードマップ

本章は以下の構成で発散の公式を導出する。

  • 3.1 線形性(21-22): 和・スカラー倍に対する分配性
  • 3.2 積の公式(23-24): スカラー・ベクトル積、外積に対する Leibniz 則
  • 3.3 勾配との組合せ(25-28): 勾配の外積、Green の第一・第二恒等式の微分形
発散の幾何学的意味：微小直方体の各面を出入りするフラックスの差し引きが ∇·A dV 流入 A·n dS 流出 A·n dS x z y 正味の外向きフラックス ÷ dV → ∇·A（湧き出しの強さ）
図1. 発散の幾何学的意味。微小直方体 $dV$ の各面を出入りするフラックス $\mathbf{A}\cdot\mathbf{n}\,dS$ について、流出（青）が流入（橙）を上回る分が正味の湧き出しであり、それを体積で割った極限が発散 $\nabla\cdot\mathbf{A}$ に等しい。逆に流入が流出を上回れば $\nabla\cdot\mathbf{A}<0$（吸い込み）、釣り合えば $\nabla\cdot\mathbf{A}=0$（非圧縮）となる。本章の公式 (21)-(28) はこの量に関する恒等式である。

3.1 線形性

発散は偏微分の線形結合であるから、関数の和とスカラー倍に対して分配する。

(21) 発散の線形性（和）

公式：$\nabla \cdot (\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \nabla \cdot \mathbf{A} + \nabla \cdot \mathbf{B}$
条件：$\mathbf{A}, \mathbf{B}$ は $C^1$ 級ベクトル場
証明

発散の定義より、成分表示で展開する。

\begin{equation}\nabla \cdot (\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \displaystyle\sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial (A_i + B_i)}{\partial x_i} \label{eq:3-21-1}\end{equation}

偏微分の線形性により、和の偏微分は偏微分の和に等しい。

\begin{equation}\displaystyle\sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial (A_i + B_i)}{\partial x_i} = \displaystyle\sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial A_i}{\partial x_i} + \displaystyle\sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial B_i}{\partial x_i} \label{eq:3-21-2}\end{equation}

右辺の各和はそれぞれ $\nabla \cdot \mathbf{A}$、$\nabla \cdot \mathbf{B}$ に他ならない。

\begin{equation}\nabla \cdot (\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \nabla \cdot \mathbf{A} + \nabla \cdot \mathbf{B} \label{eq:3-21-3}\end{equation}

補足：偏微分の線形性は $1$ 変数微分の線形性 (1.24) を成分ごとに適用したものである。

(22) 発散の定数倍

公式：$\nabla \cdot (c\,\mathbf{A}) = c\,\nabla \cdot \mathbf{A}$
条件：$c$ は定数（位置に依存しないスカラー）、$\mathbf{A}$ は $C^1$ 級ベクトル場
証明

発散の定義に代入する。

\begin{equation}\nabla \cdot (c\,\mathbf{A}) = \displaystyle\sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial (c\,A_i)}{\partial x_i} \label{eq:3-22-1}\end{equation}

$c$ は定数なので偏微分の外に出る。

\begin{equation}\displaystyle\sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial (c\,A_i)}{\partial x_i} = \displaystyle\sum_{i=1}^{3} c\,\dfrac{\partial A_i}{\partial x_i} = c \displaystyle\sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial A_i}{\partial x_i} = c\,\nabla \cdot \mathbf{A} \label{eq:3-22-2}\end{equation}

補足：$c$ が位置 $\mathbf{x}$ の関数であれば公式 (23) を適用すべきで、本公式は使えない。

3.2 積の公式

スカラー場とベクトル場の積、および 2 つのベクトル場の外積に対する発散は、Leibniz 則の形で展開される。

(23) スカラー・ベクトル積の発散

公式：$\nabla \cdot (f\mathbf{A}) = f(\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A} \cdot (\nabla f)$
条件：$f$ は $C^1$ 級スカラー場、$\mathbf{A}$ は $C^1$ 級ベクトル場
証明

発散の定義より、成分表示で展開する。

\begin{equation}\nabla \cdot (f\mathbf{A}) = \displaystyle\sum_{i=1}^{3} \dfrac{\partial (f\,A_i)}{\partial x_i} \label{eq:3-23-1}\end{equation}

$1$ 変数の積の微分法則 (1.25) を成分ごとに適用する。

\begin{equation}\dfrac{\partial (f\,A_i)}{\partial x_i} = f\,\dfrac{\partial A_i}{\partial x_i} + A_i\,\dfrac{\partial f}{\partial x_i} \label{eq:3-23-2}\end{equation}

これを $i$ について和をとる。

\begin{equation}\nabla \cdot (f\mathbf{A}) = \displaystyle\sum_{i=1}^{3} f\,\dfrac{\partial A_i}{\partial x_i} + \displaystyle\sum_{i=1}^{3} A_i\,\dfrac{\partial f}{\partial x_i} \label{eq:3-23-3}\end{equation}

第 1 項の $f$ は $i$ に無関係なので和の外に出せて $f\,\nabla \cdot \mathbf{A}$、第 2 項は $\mathbf{A}$ と $\nabla f$ の内積に他ならない。

\begin{equation}\nabla \cdot (f\mathbf{A}) = f\,(\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A} \cdot (\nabla f) \label{eq:3-23-4}\end{equation}

補足：本公式は発散の Leibniz 則であり、Green の第一恒等式 (公式 26) や Helmholtz 分解の導出に頻出する。

(24) 外積の発散

公式：$\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B})$
条件：$\mathbf{A}, \mathbf{B}$ は $C^1$ 級ベクトル場
証明

外積の成分表示は Levi-Civita 記号 $\varepsilon_{ijk}$（定義は第1章参照）を用いて

\begin{equation}(\mathbf{A} \times \mathbf{B})_i = \displaystyle\sum_{j,k} \varepsilon_{ijk}\,A_j\,B_k \label{eq:3-24-1}\end{equation}

と書ける。発散の定義に代入する。

\begin{equation}\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \displaystyle\sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}\,\dfrac{\partial (A_j\,B_k)}{\partial x_i} \label{eq:3-24-2}\end{equation}

積の微分法則を適用する。

\begin{equation}\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \displaystyle\sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}\!\left( B_k\,\dfrac{\partial A_j}{\partial x_i} + A_j\,\dfrac{\partial B_k}{\partial x_i} \right) \label{eq:3-24-3}\end{equation}

第 1 項の整理：和の順序を入れ替えて $B_k$ を外に出す。

\begin{equation}\displaystyle\sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}\,B_k\,\dfrac{\partial A_j}{\partial x_i} = \displaystyle\sum_{k} B_k \displaystyle\sum_{i,j} \varepsilon_{ijk}\,\dfrac{\partial A_j}{\partial x_i} \label{eq:3-24-4}\end{equation}

$\varepsilon_{ijk} = \varepsilon_{kij}$（循環置換で符号不変）であり、$\displaystyle\sum_{i,j} \varepsilon_{kij}\,\partial A_j / \partial x_i$ は回転 $\nabla \times \mathbf{A}$ の第 $k$ 成分に等しい。

\begin{equation}\displaystyle\sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}\,B_k\,\dfrac{\partial A_j}{\partial x_i} = \displaystyle\sum_{k} B_k\,(\nabla \times \mathbf{A})_k = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) \label{eq:3-24-5}\end{equation}

第 2 項の整理：同様に $A_j$ を外に出す。

\begin{equation}\displaystyle\sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}\,A_j\,\dfrac{\partial B_k}{\partial x_i} = \displaystyle\sum_{j} A_j \displaystyle\sum_{i,k} \varepsilon_{ijk}\,\dfrac{\partial B_k}{\partial x_i} \label{eq:3-24-6}\end{equation}

$\varepsilon_{ijk} = -\varepsilon_{ikj}$ であるから、添字を $i,k \to k,i$ と読み替えると

\begin{equation}\displaystyle\sum_{i,k} \varepsilon_{ijk}\,\dfrac{\partial B_k}{\partial x_i} = -\displaystyle\sum_{i,k} \varepsilon_{jik}\,\dfrac{\partial B_k}{\partial x_i}\,\Bigg|_{\text{置換 } i \leftrightarrow k} = -(\nabla \times \mathbf{B})_j \label{eq:3-24-7}\end{equation}

したがって

\begin{equation}\displaystyle\sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}\,A_j\,\dfrac{\partial B_k}{\partial x_i} = -\displaystyle\sum_{j} A_j\,(\nabla \times \mathbf{B})_j = -\,\mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) \label{eq:3-24-8}\end{equation}

$\eqref{eq:3-24-5}$ と $\eqref{eq:3-24-8}$ を $\eqref{eq:3-24-3}$ に代入する。

\begin{equation}\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) \label{eq:3-24-9}\end{equation}

補足：第 1 項と第 2 項の符号差は Levi-Civita 記号の反対称性 $\varepsilon_{ijk} = -\varepsilon_{ikj}$ に由来する。Poynting ベクトル $\mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H}$ の発散を計算する際にこの公式が用いられる。

3.3 勾配との組合せ

勾配と発散を組み合わせた公式は、Laplacian の登場や Green の恒等式の導出など、偏微分方程式論で中心的な役割を果たす。

(25) 勾配の外積の発散

公式：$\nabla \cdot (\nabla f \times \nabla g) = 0$
条件：$f, g$ は $C^2$ 級スカラー場
証明

公式 (24) を $\mathbf{A} = \nabla f$、$\mathbf{B} = \nabla g$ に適用する。

\begin{equation}\nabla \cdot (\nabla f \times \nabla g) = \nabla g \cdot (\nabla \times \nabla f) - \nabla f \cdot (\nabla \times \nabla g) \label{eq:3-25-1}\end{equation}

勾配の回転は零（公式 (38)）：任意の $C^2$ 級スカラー場について $\nabla \times \nabla f = \mathbf{0}$ かつ $\nabla \times \nabla g = \mathbf{0}$。

\begin{equation}\nabla \cdot (\nabla f \times \nabla g) = \nabla g \cdot \mathbf{0} - \nabla f \cdot \mathbf{0} = 0 \label{eq:3-25-2}\end{equation}

補足：本公式は $\nabla f \times \nabla g$ がソレノイダル（無発散）であることを意味する。等位面 $f = \text{const}$ と $g = \text{const}$ の交線方向の場が湧き出しを持たない、という幾何学的解釈を与える。

(26) Green の第一恒等式の微分形

公式：$\nabla \cdot (f\,\nabla g) = f\,\nabla^2 g + \nabla f \cdot \nabla g$
条件：$f$ は $C^1$ 級、$g$ は $C^2$ 級スカラー場
証明

公式 (23) で $\mathbf{A} = \nabla g$ とおく。

\begin{equation}\nabla \cdot (f\,\nabla g) = f\,(\nabla \cdot \nabla g) + (\nabla g) \cdot (\nabla f) \label{eq:3-26-1}\end{equation}

$\nabla \cdot \nabla g = \nabla^2 g$（Laplacian の定義、公式 (36)）であり、内積の対称性 $(\nabla g) \cdot (\nabla f) = \nabla f \cdot \nabla g$ を用いる。

\begin{equation}\nabla \cdot (f\,\nabla g) = f\,\nabla^2 g + \nabla f \cdot \nabla g \label{eq:3-26-2}\end{equation}

補足：本恒等式を領域 $\Omega$ 上で積分し発散定理を適用すると Green の第一恒等式 $\displaystyle\int_{\Omega}\!\bigl( f\,\nabla^2 g + \nabla f \cdot \nabla g \bigr)\,dV = \displaystyle\oint_{\partial \Omega} f\,(\nabla g \cdot \mathbf{n})\,dS$ が得られる。

(27) Green の第二恒等式の微分形

公式：$\nabla \cdot (f\,\nabla g - g\,\nabla f) = f\,\nabla^2 g - g\,\nabla^2 f$
条件：$f, g$ は $C^2$ 級スカラー場
証明

発散の線形性 (21) により左辺を分割する。

\begin{equation}\nabla \cdot (f\,\nabla g - g\,\nabla f) = \nabla \cdot (f\,\nabla g) - \nabla \cdot (g\,\nabla f) \label{eq:3-27-1}\end{equation}

各項に公式 (26) を適用する。

\begin{equation}\nabla \cdot (f\,\nabla g) = f\,\nabla^2 g + \nabla f \cdot \nabla g \label{eq:3-27-2}\end{equation}

\begin{equation}\nabla \cdot (g\,\nabla f) = g\,\nabla^2 f + \nabla g \cdot \nabla f \label{eq:3-27-3}\end{equation}

$\eqref{eq:3-27-2}$ から $\eqref{eq:3-27-3}$ を差し引くと、内積の対称性 $\nabla f \cdot \nabla g = \nabla g \cdot \nabla f$ により交差項が相殺する。

\begin{equation}\nabla \cdot (f\,\nabla g - g\,\nabla f) = f\,\nabla^2 g - g\,\nabla^2 f + \underbrace{\nabla f \cdot \nabla g - \nabla g \cdot \nabla f}_{= 0} \label{eq:3-27-4}\end{equation}

\begin{equation}\nabla \cdot (f\,\nabla g - g\,\nabla f) = f\,\nabla^2 g - g\,\nabla^2 f \label{eq:3-27-5}\end{equation}

補足：本恒等式を領域 $\Omega$ 上で積分すると Green の第二恒等式 $\displaystyle\int_{\Omega}\!\bigl( f\,\nabla^2 g - g\,\nabla^2 f \bigr)\,dV = \displaystyle\oint_{\partial \Omega}\!\bigl( f\,\nabla g - g\,\nabla f \bigr) \cdot \mathbf{n}\,dS$ が得られる。Poisson 方程式の Green 関数法はこの恒等式に基づく。

(28) スカラー三重積の発散

公式：$\nabla \cdot (f\,\nabla g \times \nabla h) = \nabla f \cdot (\nabla g \times \nabla h)$
条件：$f$ は $C^1$ 級、$g, h$ は $C^2$ 級スカラー場
証明

$\mathbf{A} = \nabla g \times \nabla h$ とおき、公式 (23) を適用する。

\begin{equation}\nabla \cdot (f\,\mathbf{A}) = f\,(\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A} \cdot (\nabla f) \label{eq:3-28-1}\end{equation}

第 1 項：公式 (25) より $\nabla \cdot (\nabla g \times \nabla h) = 0$。

\begin{equation}f\,(\nabla \cdot \mathbf{A}) = f\,(\nabla \cdot (\nabla g \times \nabla h)) = 0 \label{eq:3-28-2}\end{equation}

第 2 項：スカラー三重積の循環性（公式 (5)）$\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \mathbf{B} \cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{A}) = \mathbf{C} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})$ を用いる。

\begin{equation}\mathbf{A} \cdot (\nabla f) = (\nabla g \times \nabla h) \cdot (\nabla f) = \nabla f \cdot (\nabla g \times \nabla h) \label{eq:3-28-3}\end{equation}

$\eqref{eq:3-28-2}$ と $\eqref{eq:3-28-3}$ を $\eqref{eq:3-28-1}$ に代入する。

\begin{equation}\nabla \cdot (f\,\nabla g \times \nabla h) = 0 + \nabla f \cdot (\nabla g \times \nabla h) = \nabla f \cdot (\nabla g \times \nabla h) \label{eq:3-28-4}\end{equation}

補足：右辺は Jacobian $\dfrac{\partial(f, g, h)}{\partial(x, y, z)}$ に等しく、3 つのスカラー場が互いに関数独立であるための条件 $\nabla f \cdot (\nabla g \times \nabla h) \neq 0$ と関係する。

参考文献

  • Schey, H. M. (2005). Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus (4th ed.). W. W. Norton.
  • Marsden, J. E., & Tromba, A. J. (2011). Vector Calculus (6th ed.). W. H. Freeman.
  • Vector calculus identities - Wikipedia

よくある質問

発散の積の公式はどう表されるか

主な公式として $\nabla\cdot(f\mathbf{F})=f(\nabla\cdot\mathbf{F})+(\nabla f)\cdot\mathbf{F}$（スカラー・ベクトルの積）、$\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G})=\mathbf{G}\cdot(\nabla\times\mathbf{F})-\mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G})$ などがある。これらはガウスの発散定理の応用で積分の変形に使われる。

発散がゼロのベクトル場（非圧縮場）はどのような性質を持つか

$\nabla\cdot\mathbf{F}=0$ を満たすベクトル場を非圧縮場（ソレノイダル場）という。連続の方程式において非圧縮流体では $\nabla\cdot\mathbf{v}=0$ が成り立つ。ガウスの定理より、非圧縮場のフラックスは任意の閉曲面を通じてゼロである。任意のベクトル場の回転 $\nabla\times\mathbf{A}$ は非圧縮である（$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0$）。

ガウスの発散定理とはどのような定理か

$\oiint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_V (\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV$ が成り立つ。閉曲面を通る全フラックスが内部での発散の体積積分に等しいという定理で、電磁気学のガウスの法則（$\oiint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=Q/\varepsilon_0$）の根拠である。物理・工学での積分変換の基礎として広く使われる。