証明集 第1章: 内積・外積の代数公式

Algebraic Identities of Dot and Cross Products — Proofs

1. 内積・外積の代数公式

本章では、$\mathbb{R}^3$ における内積（ドット積）と外積（クロス積）の代数恒等式 (1)-(12) を厳密に証明する。証明では Levi-Civita 記号 $\varepsilon_{ijk}$ と Kronecker のデルタ $\delta_{ij}$ を用いた成分計算を主な道具とする。

記号の規約
本証明集では、$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d}$ を $\mathbb{R}^3$ のベクトルとし、その成分を $a_i, b_i, c_i, d_i$（$i=1,2,3$）と書く。Einstein の総和規約により、繰り返し添字は $1$ から $3$ まで和をとるものとする。Levi-Civita 記号 $\varepsilon_{ijk}$ は完全反対称テンソルであり、$\varepsilon_{123}=+1$、奇置換で $-1$、添字が重複すれば $0$ となる。$\varepsilon$-$\delta$ 恒等式 $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ilm} = \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl}$ は本章で繰り返し使用する。

1.1 基本性質

本節では、内積の可換性と外積の反対称性・線形性という最も基本的な性質を確認する。これらは以降のすべての公式の土台となる。

(1) 内積の可換性

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} \tag{1}$$
条件：$\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3$
証明

内積を成分で書き下す。

\begin{equation}\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \displaystyle\sum_{i=1}^{3} a_i b_i \label{eq:1-1}\end{equation}

実数の積は可換であるから $a_i b_i = b_i a_i$ が各 $i$ で成り立つ。$\eqref{eq:1-1}$ に代入する。

\begin{equation}\displaystyle\sum_{i=1}^{3} a_i b_i = \displaystyle\sum_{i=1}^{3} b_i a_i = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} \label{eq:1-2}\end{equation}

$\eqref{eq:1-2}$ より $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$ が示された。

補足：内積は対称双線形形式である。一方、後述する外積は反対称双線形写像であり、両者は対照的な代数的性質を持つ。

(2) 外積の反対称性

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\,\mathbf{b} \times \mathbf{a} \tag{2}$$
条件：$\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3$
証明

外積の第 $i$ 成分を Levi-Civita 記号で表す。

\begin{equation}[\mathbf{a} \times \mathbf{b}]_i = \displaystyle\sum_{j,k} \varepsilon_{ijk}\, a_j b_k \label{eq:2-1}\end{equation}

$\varepsilon_{ijk}$ は添字 $j, k$ について反対称、すなわち $\varepsilon_{ikj} = -\varepsilon_{ijk}$ である。$\eqref{eq:2-1}$ で和の添字 $j, k$ を入れ替える。

\begin{equation}[\mathbf{a} \times \mathbf{b}]_i = \displaystyle\sum_{j,k} \varepsilon_{ijk}\, a_j b_k = \displaystyle\sum_{j,k} \varepsilon_{ikj}\, a_k b_j = -\displaystyle\sum_{j,k} \varepsilon_{ijk}\, b_j a_k \label{eq:2-2}\end{equation}

$\eqref{eq:2-2}$ の最右辺は $-[\mathbf{b} \times \mathbf{a}]_i$ に等しい。各成分で等しいから、ベクトルとして $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\,\mathbf{b} \times \mathbf{a}$ が得られる。

補足：(2) を $\mathbf{a} = \mathbf{b}$ に適用すると $\mathbf{a} \times \mathbf{a} = -\mathbf{a} \times \mathbf{a}$、すなわち $\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}$ が直ちに分かる。

(3) 外積の分配法則

$$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c} \tag{3}$$
条件：$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^3$
証明

左辺の第 $i$ 成分を Levi-Civita 記号で書く。和は実数演算であるから線形である。

\begin{equation}[\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c})]_i = \displaystyle\sum_{j,k} \varepsilon_{ijk}\, a_j (b_k + c_k) \label{eq:3-1}\end{equation}

$\eqref{eq:3-1}$ を展開する。

\begin{equation}\displaystyle\sum_{j,k} \varepsilon_{ijk}\, a_j (b_k + c_k) = \displaystyle\sum_{j,k} \varepsilon_{ijk}\, a_j b_k + \displaystyle\sum_{j,k} \varepsilon_{ijk}\, a_j c_k \label{eq:3-2}\end{equation}

$\eqref{eq:3-2}$ の右辺は $[\mathbf{a} \times \mathbf{b}]_i + [\mathbf{a} \times \mathbf{c}]_i$ に等しい。各成分で等しいから、ベクトルの等式 (3) が得られる。

補足：右からの分配法則 $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{c} + \mathbf{b} \times \mathbf{c}$ も同様に示せる。あるいは (2) と組み合わせて $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = -\mathbf{c} \times (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = -(\mathbf{c} \times \mathbf{a} + \mathbf{c} \times \mathbf{b}) = \mathbf{a} \times \mathbf{c} + \mathbf{b} \times \mathbf{c}$ と導いてもよい。

(4) 外積のスカラー倍

$$(c\,\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (c\,\mathbf{b}) = c\,(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \tag{4}$$
条件：$\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3$、$c \in \mathbb{R}$
証明

外積の第 $i$ 成分を Levi-Civita 記号で書き、スカラー $c$ を和の外に括り出す。

\begin{equation}[(c\,\mathbf{a}) \times \mathbf{b}]_i = \displaystyle\sum_{j,k} \varepsilon_{ijk}\, (c\, a_j)\, b_k = c \displaystyle\sum_{j,k} \varepsilon_{ijk}\, a_j b_k = c\,[\mathbf{a} \times \mathbf{b}]_i \label{eq:4-1}\end{equation}

同様に

\begin{equation}[\mathbf{a} \times (c\,\mathbf{b})]_i = \displaystyle\sum_{j,k} \varepsilon_{ijk}\, a_j (c\, b_k) = c \displaystyle\sum_{j,k} \varepsilon_{ijk}\, a_j b_k = c\,[\mathbf{a} \times \mathbf{b}]_i \label{eq:4-2}\end{equation}

$\eqref{eq:4-1}$ と $\eqref{eq:4-2}$ より、各成分で三辺が一致するから (4) が成り立つ。

補足：(3) と (4) を合わせると、外積は各引数について線形である。すなわち外積は双線形写像 $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ である。

1.2 スカラー三重積

本節では、3 つのベクトルの外積と内積を組み合わせたスカラー値、すなわちスカラー三重積（box product とも呼ばれる）の対称性を証明する。これは行列式表示と巡回置換の符号によって特徴づけられる。

(5) スカラー三重積の巡回対称性

$$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) = \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \tag{5}$$
条件：$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^3$
証明

スカラー三重積を Levi-Civita 記号で表す。

\begin{equation}\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \displaystyle\sum_{i,j,k} a_i\, \varepsilon_{ijk}\, b_j c_k = \displaystyle\sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}\, a_i b_j c_k \label{eq:5-1}\end{equation}

$\eqref{eq:5-1}$ は行列式

\begin{equation}\det[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}] = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \label{eq:5-2}\end{equation}

に等しい（行列式の Levi-Civita 展開）。$\eqref{eq:5-1}$ で添字を巡回置換 $(i,j,k) \to (j,k,i)$ で置き換える。これは偶置換であるから $\varepsilon_{ijk} = \varepsilon_{jki}$ が成り立ち、和の名前も付け替えて

\begin{equation}\displaystyle\sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}\, a_i b_j c_k = \displaystyle\sum_{i,j,k} \varepsilon_{jki}\, a_i b_j c_k = \displaystyle\sum_{i',j',k'} \varepsilon_{i'j'k'}\, b_{i'} c_{j'} a_{k'} = \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \label{eq:5-3}\end{equation}

同様に $(i,j,k) \to (k,i,j)$ という偶置換により

\begin{equation}\displaystyle\sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}\, a_i b_j c_k = \displaystyle\sum_{i,j,k} \varepsilon_{kij}\, a_i b_j c_k = \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \label{eq:5-4}\end{equation}

$\eqref{eq:5-3}$ と $\eqref{eq:5-4}$ より三辺が等しい。

補足：スカラー三重積 $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ は 3 つのベクトルが張る平行六面体の符号付き体積を表す。$[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]$ または $(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})$ と書くこともある。

(6) スカラー三重積の入れ替え反対称性

$$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = -\,\mathbf{a} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{b}) \tag{6}$$
条件：$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^3$
証明

外積の反対称性 (2) より

\begin{equation}\mathbf{b} \times \mathbf{c} = -\,\mathbf{c} \times \mathbf{b} \label{eq:6-1}\end{equation}

両辺と $\mathbf{a}$ の内積をとる。内積は線形であるから定数倍 $-1$ を外に出せる。

\begin{equation}\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot (-\,\mathbf{c} \times \mathbf{b}) = -\,\mathbf{a} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{b}) \label{eq:6-2}\end{equation}

$\eqref{eq:6-2}$ より (6) が示された。

補足：(5) と (6) を合わせると、$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ は $(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})$ の偶置換で不変、奇置換で符号反転する。すなわち行列式の置換符号則と一致する。

1.3 ベクトル三重積（BAC-CAB 公式）

本節では、外積を二重に施したベクトル三重積を、内積と元のベクトルの線形結合に書き換える BAC-CAB 公式を証明する。証明の鍵は $\varepsilon$-$\delta$ 恒等式である。

(7) BAC-CAB 公式

$$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}\,(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}\,(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \tag{7}$$
条件：$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^3$
証明

左辺の第 $i$ 成分を Levi-Civita 記号で書く。$\mathbf{u} = \mathbf{b} \times \mathbf{c}$ とおくと $u_k = \displaystyle\sum_{l,m} \varepsilon_{klm}\, b_l c_m$ である。

\begin{equation}[\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})]_i = \displaystyle\sum_{j,k} \varepsilon_{ijk}\, a_j u_k = \displaystyle\sum_{j,k,l,m} \varepsilon_{ijk}\, \varepsilon_{klm}\, a_j b_l c_m \label{eq:7-1}\end{equation}

Levi-Civita 記号の巡回性 $\varepsilon_{ijk} = \varepsilon_{kij}$ により $\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{klm} = \varepsilon_{kij} \varepsilon_{klm}$ である。$\varepsilon$-$\delta$ 恒等式

\begin{equation}\displaystyle\sum_{k} \varepsilon_{kij}\, \varepsilon_{klm} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl} \label{eq:7-2}\end{equation}

を $\eqref{eq:7-1}$ に適用する。

\begin{equation}[\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})]_i = \displaystyle\sum_{j,l,m} (\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl})\, a_j b_l c_m \label{eq:7-3}\end{equation}

$\eqref{eq:7-3}$ の二項を分けて、デルタによる和を縮約する。第一項は $l=i, m=j$、第二項は $m=i, l=j$。

\begin{equation}\displaystyle\sum_{j,l,m} \delta_{il}\delta_{jm}\, a_j b_l c_m = \displaystyle\sum_{j} a_j b_i c_j = b_i \displaystyle\sum_{j} a_j c_j = b_i\,(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \label{eq:7-4}\end{equation}

\begin{equation}\displaystyle\sum_{j,l,m} \delta_{im}\delta_{jl}\, a_j b_l c_m = \displaystyle\sum_{j} a_j b_j c_i = c_i \displaystyle\sum_{j} a_j b_j = c_i\,(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \label{eq:7-5}\end{equation}

$\eqref{eq:7-4}$ と $\eqref{eq:7-5}$ を $\eqref{eq:7-3}$ に代入する。

\begin{equation}[\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})]_i = b_i\,(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - c_i\,(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \label{eq:7-6}\end{equation}

$\eqref{eq:7-6}$ は各成分でベクトル等式 $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$ を意味する。

補足：右辺の頭文字を取ると "BAC minus CAB" となるため、英語圏では BAC-CAB 公式（または "BAC-CAB rule"）と呼ばれる。記憶しやすい有名な恒等式である。

(8) ベクトル三重積（外側の括弧）

$$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \mathbf{b}\,(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{a}\,(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) \tag{8}$$
条件：$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^3$
証明

外積の反対称性 (2) を左辺に適用する。

\begin{equation}(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = -\,\mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \label{eq:8-1}\end{equation}

$\eqref{eq:8-1}$ の右辺に BAC-CAB 公式 (7) を $\mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$ の形で適用する。すなわち (7) において $\mathbf{a} \to \mathbf{c}$, $\mathbf{b} \to \mathbf{a}$, $\mathbf{c} \to \mathbf{b}$ と置き換える。

\begin{equation}\mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{a}\,(\mathbf{c} \cdot \mathbf{b}) - \mathbf{b}\,(\mathbf{c} \cdot \mathbf{a}) \label{eq:8-2}\end{equation}

$\eqref{eq:8-2}$ を $\eqref{eq:8-1}$ に代入し、内積の可換性 (1) を用いる。

\begin{equation}(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = -[\mathbf{a}\,(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{b}\,(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})] = \mathbf{b}\,(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{a}\,(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) \label{eq:8-3}\end{equation}

$\eqref{eq:8-3}$ より (8) が示された。

補足：(7) と (8) を比較すると、外積は結合的でないことが分かる。すなわち一般に $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \ne (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c}$ である。両者の差はヤコビ恒等式 (12) によって特徴づけられる。

1.4 四重積

本節では、4 つのベクトルから構成される積、特に外積どうしの内積（Lagrange 恒等式）と外積どうしの外積を取り扱う。これらは球面三角法、運動学、結晶構造論など幅広く現れる。

(9) Lagrange の恒等式

$$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{d}) - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{d})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) \tag{9}$$
条件：$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d} \in \mathbb{R}^3$
証明

$\mathbf{u} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$ とおく。スカラー三重積の巡回対称性 (5) を $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{d})$ に適用する。

\begin{equation}\mathbf{u} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) = \mathbf{d} \cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{c}) \label{eq:9-1}\end{equation}

$\mathbf{u} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$ を戻すと

\begin{equation}\mathbf{d} \cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{c}) = \mathbf{d} \cdot ((\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c}) \label{eq:9-2}\end{equation}

$\eqref{eq:9-2}$ の右辺に (8) を適用する。

\begin{equation}(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \mathbf{b}\,(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{a}\,(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) \label{eq:9-3}\end{equation}

$\eqref{eq:9-3}$ と $\mathbf{d}$ の内積をとる。内積は線形であるからスカラー係数を外に出せる。

\begin{equation}\mathbf{d} \cdot [\mathbf{b}\,(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{a}\,(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})] = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{d}) - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})(\mathbf{a} \cdot \mathbf{d}) \label{eq:9-4}\end{equation}

$\eqref{eq:9-1}$, $\eqref{eq:9-2}$, $\eqref{eq:9-4}$ を結合する。

\begin{equation}(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{d}) - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{d})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) \label{eq:9-5}\end{equation}

$\eqref{eq:9-5}$ より (9) が成り立つ。

補足：(9) は $\varepsilon$-$\delta$ 恒等式から直接導くこともできる。すなわち $[(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{d})] = \displaystyle\sum_{i,j,k,l,m} \varepsilon_{ijk} a_j b_k\, \varepsilon_{ilm} c_l d_m$ に $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ilm} = \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl}$ を使えばよい。

(10) Lagrange 恒等式の特殊化

$$|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2\,|\mathbf{b}|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 \tag{10}$$
条件：$\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3$
証明

Lagrange 恒等式 (9) において $\mathbf{c} = \mathbf{a}$, $\mathbf{d} = \mathbf{b}$ と置く。

\begin{equation}(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{a})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}) - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}) \label{eq:10-1}\end{equation}

左辺は $|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2$ である。右辺で $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2$, $\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{b}|^2$, さらに内積の可換性 (1) より $\mathbf{b} \cdot \mathbf{a} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ を用いる。

\begin{equation}|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2\,|\mathbf{b}|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 \label{eq:10-2}\end{equation}

$\eqref{eq:10-2}$ より (10) が示された。

内積 a·b は射影 |b|cosθ ×|a|、外積 |a×b| は a,b が張る平行四辺形の面積、a×b は面に垂直 面積 = |a×b| = |a||b|sinθ 射影 |b|cosθ a b a × b （面に垂直・右手系） θ O 内積 a·b = |a|×（射影 |b|cosθ） 外積の大きさ |a×b| = 平行四辺形の面積
図1. 内積と外積の幾何学的意味。内積 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$ は $\mathbf{b}$ の $\mathbf{a}$ 方向への射影の長さに $|\mathbf{a}|$ を掛けた量、外積の大きさ $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta$ は $\mathbf{a},\mathbf{b}$ が張る平行四辺形の面積を表す。$\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ はこの面に垂直で、右手系の向きをもつ。
補足：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}| \cos\theta$ を $\eqref{eq:10-2}$ に代入すると $|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 (1 - \cos^2\theta) = |\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 \sin^2\theta$ となり、$|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\,\sin\theta$（$0 \le \theta \le \pi$）が得られる。これは外積の幾何学的解釈（平行四辺形の面積）の代数的根拠である。

(11) 外積どうしの外積

$$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) = \mathbf{c}\,(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{d})) - \mathbf{d}\,(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})) \tag{11}$$
条件：$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d} \in \mathbb{R}^3$
証明

$\mathbf{u} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$ とおき、$\mathbf{u} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{d})$ に BAC-CAB 公式 (7) を適用する。すなわち (7) において $\mathbf{a} \to \mathbf{u}$, $\mathbf{b} \to \mathbf{c}$, $\mathbf{c} \to \mathbf{d}$ と置き換える。

\begin{equation}\mathbf{u} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) = \mathbf{c}\,(\mathbf{u} \cdot \mathbf{d}) - \mathbf{d}\,(\mathbf{u} \cdot \mathbf{c}) \label{eq:11-1}\end{equation}

$\mathbf{u} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$ を戻す。

\begin{equation}(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) = \mathbf{c}\,((\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{d}) - \mathbf{d}\,((\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}) \label{eq:11-2}\end{equation}

スカラー三重積の巡回対称性 (5) より $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{d} = \mathbf{d} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{d})$、同様に $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ である。

\begin{equation}(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) = \mathbf{c}\,(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{d})) - \mathbf{d}\,(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})) \label{eq:11-3}\end{equation}

$\eqref{eq:11-3}$ より (11) が示された。

補足：別表現として、$\mathbf{v} = \mathbf{c} \times \mathbf{d}$ とおき (8) を $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{v}$ に適用すると $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) = \mathbf{b}\,(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{d})) - \mathbf{a}\,(\mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{d}))$ も得られる。両式の整合性は (12) ヤコビ恒等式と関連する。

1.5 ヤコビ恒等式

本節では、外積に関するヤコビ恒等式を証明する。これは $\mathbb{R}^3$ がベクトル外積を Lie 括弧として Lie 代数となることを示す本質的な関係式である。

(12) ヤコビ恒等式

$$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{0} \tag{12}$$
条件：$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^3$
証明

BAC-CAB 公式 (7) を 3 つの項それぞれに適用する。

\begin{equation}\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}\,(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}\,(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \label{eq:12-1}\end{equation}

第 2 項では $\mathbf{a} \to \mathbf{b}$, $\mathbf{b} \to \mathbf{c}$, $\mathbf{c} \to \mathbf{a}$ と置き換える。

\begin{equation}\mathbf{b} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) = \mathbf{c}\,(\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}) - \mathbf{a}\,(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) \label{eq:12-2}\end{equation}

第 3 項では $\mathbf{a} \to \mathbf{c}$, $\mathbf{b} \to \mathbf{a}$, $\mathbf{c} \to \mathbf{b}$ と置き換える。

\begin{equation}\mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{a}\,(\mathbf{c} \cdot \mathbf{b}) - \mathbf{b}\,(\mathbf{c} \cdot \mathbf{a}) \label{eq:12-3}\end{equation}

$\eqref{eq:12-1}$, $\eqref{eq:12-2}$, $\eqref{eq:12-3}$ の和をとる。内積の可換性 (1) により $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \mathbf{b}\cdot\mathbf{a}$, $\mathbf{b}\cdot\mathbf{c} = \mathbf{c}\cdot\mathbf{b}$, $\mathbf{c}\cdot\mathbf{a} = \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$ である。

\begin{equation}\begin{aligned}&\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \\ &\quad= \mathbf{b}\,(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}\,(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) + \mathbf{c}\,(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) - \mathbf{a}\,(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) + \mathbf{a}\,(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{b}\,(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\end{aligned} \label{eq:12-4}\end{equation}

$\eqref{eq:12-4}$ の右辺で、$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ を係数にもつ各項がペアで打ち消し合う。

\begin{equation}\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{0} \label{eq:12-5}\end{equation}

$\eqref{eq:12-5}$ より (12) が示された。

補足：(12) は $\mathbb{R}^3$ が外積 $[\mathbf{a},\mathbf{b}] := \mathbf{a} \times \mathbf{b}$ を Lie 括弧とする 3 次元 Lie 代数 $\mathfrak{so}(3)$（または $\mathfrak{su}(2)$ と同型）であることを意味する。Lie 代数の定義は反対称性 (2) と本恒等式 (12) の 2 つだけからなる。

参考文献

よくある質問

内積（スカラー積）の代数公式にはどのようなものがあるか

主な公式として、交換則 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}$、分配則 $\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$、コーシー＝シュワルツ不等式 $|\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}|\leq|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$、ラグランジュ恒等式 $(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{d})=(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{d})-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{d})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})$ などがある。

外積（ベクトル積）の主な代数公式は何か

反交換則 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-\mathbf{b}\times\mathbf{a}$、bac-cab 公式 $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})$、スカラー三重積 $\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\det[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]$ などがある。

これらの代数公式を証明する上での基本的なアプローチは何か

直交基底 $\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\}$ を使って成分表示に落とし込む方法（インデックス表示）と、行列式・レビ＝チビタ記号（$\varepsilon_{ijk}$）を用いた抽象的な証明の 2 つのアプローチがある。レビ＝チビタ記号を使うと $\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\varepsilon_{ijk}a_j b_k\mathbf{e}_i$ と書けて複雑な恒等式も系統的に証明できる。