証明集 第6章: 位置ベクトルの公式

Proofs Chapter 6: Position Vector Identities

6. 位置ベクトルの公式

本章では位置ベクトル $\mathbf{r} = (x, y, z)$、$r = |\mathbf{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$、動径単位ベクトル $\hat{\mathbf{r}} = \mathbf{r}/r$ に関する恒等式 (45)-(57) を厳密に証明する。これらは静電気学の Coulomb 法則、Newton 重力、および 3 次元 Laplace 方程式の Green 関数といった物理学の基本問題で頻出する。特に式 (52), (53) では Dirac のデルタ関数 $\delta^3(\mathbf{r})$ が現れ、点電荷・点質量の数学的扱いの基礎となる。

特に注記がない限り、すべての公式は $r \neq 0$ で有効である。

本章のロードマップ

  • 6.1 一階微分（45–50）：$\nabla r$、$\nabla \cdot \mathbf{r}$、$\nabla \times \mathbf{r}$、$\nabla(1/r)$、$\nabla r^2$、$\nabla r^n$
  • 6.2 発散（51–52）：$\nabla \cdot (r^n \mathbf{r})$、Dirac デルタ関数 $\nabla \cdot (\mathbf{r}/r^3) = 4\pi \delta^3(\mathbf{r})$
  • 6.3 ラプラシアン（53–55）：$\nabla^2(1/r)$（Green 関数）、$\nabla^2 r^n$、$\nabla^2 \ln r$
  • 6.4 $(\mathbf{A} \cdot \nabla)$ と位置ベクトル（56–57）：$(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{r}$、$(\mathbf{A} \cdot \nabla)r$

6.1 一階微分

(45) 動径距離の勾配

公式：$\nabla r = \hat{\mathbf{r}} = \dfrac{\mathbf{r}}{r}$
条件：$r \neq 0$
証明

$r = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}$ を成分 $x_i$ で偏微分する。合成関数の微分を用いて

\begin{equation}\dfrac{\partial r}{\partial x_i} = \dfrac{\partial}{\partial x_i}\!\left( \displaystyle\sum_{j=1}^{3} x_j^2 \right)^{1/2} = \dfrac{1}{2r} \cdot 2 x_i = \dfrac{x_i}{r} \label{eq:6-45-1}\end{equation}

$\eqref{eq:6-45-1}$ をベクトル形式にまとめると

\begin{equation}\nabla r = \left( \dfrac{x}{r}, \dfrac{y}{r}, \dfrac{z}{r} \right) = \dfrac{\mathbf{r}}{r} = \hat{\mathbf{r}} \label{eq:6-45-2}\end{equation}

物理的意味：$\nabla r$ は等距離面（原点中心の球面）に直交する単位ベクトルで、半径方向外向きを指す。原点からの距離関数の最大増加方向は当然原点から離れる方向である。

(46) 位置ベクトルの発散

公式：$\nabla \cdot \mathbf{r} = 3$
条件：3 次元空間 $\mathbb{R}^3$
証明

発散の定義に従い、各成分の偏微分の和をとる。

\begin{equation}\nabla \cdot \mathbf{r} = \dfrac{\partial x}{\partial x} + \dfrac{\partial y}{\partial y} + \dfrac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3 \label{eq:6-46-1}\end{equation}

物理的意味：$\mathbf{r}$ は原点から放射状に広がるベクトル場であり、その発散は次元数 $n=3$ に等しい。一般の $n$ 次元では $\nabla \cdot \mathbf{r} = n$ となる。

(47) 位置ベクトルの回転

公式：$\nabla \times \mathbf{r} = \mathbf{0}$
条件：3 次元空間 $\mathbb{R}^3$
証明

Levi-Civita 記号 $\varepsilon_{ijk}$ を用いて回転の第 $i$ 成分を表す。

\begin{equation}[\nabla \times \mathbf{r}]_i = \displaystyle\sum_{j,k} \varepsilon_{ijk} \dfrac{\partial x_k}{\partial x_j} = \displaystyle\sum_{j,k} \varepsilon_{ijk} \delta_{kj} \label{eq:6-47-1}\end{equation}

$\eqref{eq:6-47-1}$ では $\delta_{kj}$ により $k = j$ のみが残るが、$\varepsilon_{ijj} = 0$（同じ添字に対する Levi-Civita 記号は反対称性よりゼロ）であるから

\begin{equation}[\nabla \times \mathbf{r}]_i = \displaystyle\sum_{j} \varepsilon_{ijj} = 0 \label{eq:6-47-2}\end{equation}

すべての $i$ について成立するから $\nabla \times \mathbf{r} = \mathbf{0}$ である。

物理的意味：$\mathbf{r}$ は放射場（中心力場）であり、渦を形成しない。中心力ポテンシャル $\phi = r^2/2$ が存在し $\mathbf{r} = \nabla(r^2/2)$ と書けるため、勾配場の回転がゼロという一般原理（恒等式 (35)）からも従う。

(48) $1/r$ の勾配

公式：$\nabla\!\left( \dfrac{1}{r} \right) = -\dfrac{\mathbf{r}}{r^3}$
条件：$r \neq 0$
証明

$f(g) = 1/g$、$g = r$ として、合成関数の微分（恒等式 (17)）を適用する。$f'(g) = -1/g^2$ であるから

\begin{equation}\nabla\!\left( \dfrac{1}{r} \right) = -\dfrac{1}{r^2} \nabla r \label{eq:6-48-1}\end{equation}

(45) より $\nabla r = \mathbf{r}/r$ を $\eqref{eq:6-48-1}$ に代入すると

\begin{equation}\nabla\!\left( \dfrac{1}{r} \right) = -\dfrac{1}{r^2} \cdot \dfrac{\mathbf{r}}{r} = -\dfrac{\mathbf{r}}{r^3} \label{eq:6-48-2}\end{equation}

物理的意味：原点に置かれた単位点電荷の Coulomb ポテンシャル $\phi = 1/(4\pi\varepsilon_0 r)$ から電場 $\mathbf{E} = -\nabla\phi$ を導くと、逆二乗則 $\mathbf{E} \propto \mathbf{r}/r^3$ が得られる（電荷 $q$ なら $\phi = q/(4\pi\varepsilon_0 r)$、$\mathbf{E} = q\,\mathbf{r}/(4\pi\varepsilon_0 r^3)$）。これは静電気学・Newton 重力の中核公式である。

(49) $r^2$ の勾配

公式：$\nabla r^2 = 2\mathbf{r}$
条件：すべての $\mathbf{r} \in \mathbb{R}^3$ で有効
証明

$r^2 = x^2 + y^2 + z^2$ を直接展開し、各成分で偏微分する。

\begin{equation}\dfrac{\partial r^2}{\partial x_i} = \dfrac{\partial}{\partial x_i}\!\left( \displaystyle\sum_{j=1}^{3} x_j^2 \right) = 2 x_i \label{eq:6-49-1}\end{equation}

$\eqref{eq:6-49-1}$ をベクトル形式にまとめて

\begin{equation}\nabla r^2 = (2x, 2y, 2z) = 2\mathbf{r} \label{eq:6-49-2}\end{equation}

補足：本式は $r = 0$ でも特異性なく有効であり、$r^2$ がなめらかな関数（多項式）であることを反映する。連鎖律で $\nabla r^2 = 2r \cdot \nabla r = 2r \cdot \mathbf{r}/r = 2\mathbf{r}$ と導いてもよい。

(50) $r^n$ の勾配

公式：$\nabla r^n = n\,r^{n-2}\,\mathbf{r} = n\,r^{n-1}\,\hat{\mathbf{r}}$
条件：$r \neq 0$（$n \geq 2$ なら $r = 0$ でも有効）
証明

$f(r) = r^n$ に合成関数の微分（恒等式 (18)）を適用する。$f'(r) = n r^{n-1}$ より

\begin{equation}\nabla r^n = n r^{n-1} \nabla r \label{eq:6-50-1}\end{equation}

(45) で $\nabla r = \mathbf{r}/r$ を代入し、$\eqref{eq:6-50-1}$ を整理する。

\begin{equation}\nabla r^n = n r^{n-1} \cdot \dfrac{\mathbf{r}}{r} = n r^{n-2} \mathbf{r} \label{eq:6-50-2}\end{equation}

$\hat{\mathbf{r}} = \mathbf{r}/r$ を用いれば $\eqref{eq:6-50-2}$ はさらに

\begin{equation}\nabla r^n = n r^{n-1} \hat{\mathbf{r}} \label{eq:6-50-3}\end{equation}

とも書ける。

確認：$n=1$ で (45)、$n=2$ で (49)、$n=-1$ で (48) を再現する。本公式は (45)–(49) を統一する一般化である。

6.2 発散

(51) $r^n \mathbf{r}$ の発散

公式：$\nabla \cdot (r^n \mathbf{r}) = (n + 3)\,r^n$
条件：$r \neq 0$（$n \geq 0$ なら $r = 0$ でも有効）
証明

スカラー関数 $r^n$ とベクトル場 $\mathbf{r}$ の積に対し、発散の積の公式（恒等式 (23)）

\begin{equation}\nabla \cdot (\phi \mathbf{A}) = \phi (\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A} \cdot \nabla \phi \label{eq:6-51-1}\end{equation}

を $\phi = r^n$、$\mathbf{A} = \mathbf{r}$ に適用する。

\begin{equation}\nabla \cdot (r^n \mathbf{r}) = r^n (\nabla \cdot \mathbf{r}) + \mathbf{r} \cdot \nabla r^n \label{eq:6-51-2}\end{equation}

(46) より $\nabla \cdot \mathbf{r} = 3$、(50) より $\nabla r^n = n r^{n-2} \mathbf{r}$ を $\eqref{eq:6-51-2}$ に代入する。

\begin{equation}\nabla \cdot (r^n \mathbf{r}) = 3 r^n + \mathbf{r} \cdot (n r^{n-2} \mathbf{r}) = 3 r^n + n r^{n-2} (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}) \label{eq:6-51-3}\end{equation}

$\mathbf{r} \cdot \mathbf{r} = r^2$ を用いて $\eqref{eq:6-51-3}$ を整理する。

\begin{equation}\nabla \cdot (r^n \mathbf{r}) = 3 r^n + n r^{n-2} \cdot r^2 = (3 + n) r^n = (n + 3) r^n \label{eq:6-51-4}\end{equation}

特殊例：$n = 0$ で (46)。$n = -3$ では $(n+3) r^n = 0$ となるが、これは古典的な意味では $r \neq 0$ でのみ成立し、原点では $\delta^3$ 関数による補正が必要になる（(52) 参照）。

(52) Dirac デルタ関数を含む発散

公式：$\nabla \cdot \!\left( \dfrac{\mathbf{r}}{r^3} \right) = 4\pi\,\delta^3(\mathbf{r})$
条件：超関数（distribution）の意味で成立
証明

本公式は三段階で示す。$\mathbf{r}/r^3$ は原点で定義されないため、原点を含む領域にそのまま発散定理を適用することはできない。原点を避けた領域で計算し、最後に超関数として結論する。

段階 1（$r \neq 0$ で発散がゼロ）：

(51) で $n = -3$ とすると、$r \neq 0$ において

\begin{equation}\nabla \cdot \!\left( \dfrac{\mathbf{r}}{r^3} \right) = \nabla \cdot (r^{-3} \mathbf{r}) = (-3 + 3) r^{-3} = 0 \label{eq:6-52-1}\end{equation}

すなわち原点を除く全空間で発散はゼロである。

段階 2（フラックスの計算 ― 特異点を避けて発散定理を使う）：

$\mathbf{r}/r^3$ は原点で定義されないため、原点を含む球にそのまま発散定理を適用することはできない。そこで $0 < \varepsilon < R$ をとり、原点を小球で抜いた球殻 $\Omega_\varepsilon = B_R \setminus \overline{B_\varepsilon}$ を考える。$\Omega_\varepsilon$ 上で場は $C^1$ であり、$\eqref{eq:6-52-1}$ より発散は恒等的にゼロであるから、発散定理より

\begin{equation}0 = \displaystyle\int_{\Omega_\varepsilon} \nabla \cdot \!\left( \dfrac{\mathbf{r}}{r^3} \right) dV = \displaystyle\oint_{\partial B_R} \dfrac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot d\mathbf{S} - \displaystyle\oint_{\partial B_\varepsilon} \dfrac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot d\mathbf{S} \label{eq:6-52-2}\end{equation}

$\Omega_\varepsilon$ の境界は外側の球面 $\partial B_R$ と内側の球面 $\partial B_\varepsilon$ からなる。内側の球面では $\Omega_\varepsilon$ に対する外向き法線が $-\hat{\mathbf{r}}$ になるため符号が反転し、$\eqref{eq:6-52-2}$ の第 2 項の形になる。すなわち内外のフラックスは等しい。

そこで半径 $a$ の球面上でフラックスを計算する。$\mathbf{r} = a \hat{\mathbf{r}}$、外向きの面要素は $d\mathbf{S} = a^2 \hat{\mathbf{r}}\, d\Omega$（$d\Omega$ は立体角要素）であるから

\begin{equation}\dfrac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot d\mathbf{S} = \dfrac{a \hat{\mathbf{r}}}{a^3} \cdot (a^2 \hat{\mathbf{r}}\, d\Omega) = \hat{\mathbf{r}} \cdot \hat{\mathbf{r}}\, d\Omega = d\Omega \label{eq:6-52-3}\end{equation}

球面全体で積分すると

\begin{equation}\displaystyle\oint_{\partial B_a} \dfrac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot d\mathbf{S} = \displaystyle\oint_{\partial B_a} d\Omega = 4\pi \qquad (a > 0) \label{eq:6-52-4}\end{equation}

すなわち外向き法線をとったときのフラックスは全立体角に等しく、半径 $a$ に依らず一定値 $4\pi$ をとる（$\eqref{eq:6-52-2}$ の内外一致とも整合する）。内向き法線をとれば符号が反転して $-4\pi$ になる点に注意する。

原点の点源から広がる逆二乗の場 r/r³ を、直交する 3 方向の両矢印で示した 3D 図。半透明な半径 R の球面が原点を囲み、球面上の面要素 dS（円形の小片）と、原点から dS を見込む立体角 dΩ の楔、dS の外向き法線を描いている。
原点
$\mathbf{r}/r^3$
$d\mathbf{S}$
$d\Omega$
球面 $\partial B_R$（半径 $R$）
球面上では $\left(\mathbf{r}/r^3\right)\cdot d\mathbf{S} = d\Omega$ となり、全球面で集めると $\oint_{\partial B_R} d\Omega = 4\pi$（$R$ に依らない）。
図1. 式 $(52)$ の幾何。原点の点源から放射状に広がる逆二乗の場 $\mathbf{r}/r^3$ を、半径 $R$ の球面 $\partial B_R$（半透明）で囲む。球面上の面要素 $d\mathbf{S}$（青）は外向き法線をもち、原点から $d\mathbf{S}$ を見込む楔が立体角要素 $d\Omega$（橙）である。$d\Omega = dS/R^2$ は面積だけで決まるので $d\mathbf{S}$ の形は円でも曲面四角形（$dS = R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi$）でもよく、図では楔の断面（円錐）と揃えて円形にしてある。$\mathbf{r}/r^3$ は球面に垂直に貫くので $(\mathbf{r}/r^3)\cdot d\mathbf{S} = d\Omega$ となり、フラックスは全立体角 $\oint d\Omega = 4\pi$ に等しく、半径 $R$ に依らない。場の大きさは $1/R^2$ で減るが面積は $R^2$ で増えるため相殺する、というのが $R$ 非依存の理由である。これが発散定理を通じて $\nabla\cdot(\mathbf{r}/r^3) = 4\pi\,\delta^3(\mathbf{r})$ を与える。

段階 3（超関数としての結論）：

原点を除けば発散はゼロなのに、原点を囲む球面の外向きフラックスはどの半径でも $4\pi$ である。「$r \neq 0$ でゼロ、原点にだけ寄与」というこの振る舞いはデルタ関数そのものである。厳密には、任意のテスト関数 $\varphi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^3)$ に対して超関数の微分の定義から

\begin{equation}\left\langle \nabla \cdot \dfrac{\mathbf{r}}{r^3},\ \varphi \right\rangle = -\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3} \dfrac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \nabla\varphi\, dV = -\lim_{\varepsilon \to 0} \displaystyle\int_{r > \varepsilon} \dfrac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \nabla\varphi\, dV = 4\pi\,\varphi(\mathbf{0}) \label{eq:6-52-5}\end{equation}

が示される（$r > \varepsilon$ の領域では場が $C^1$ なので部分積分でき、体積項は $\eqref{eq:6-52-1}$ より消え、境界項が $\eqref{eq:6-52-4}$ により $4\pi\varphi(\mathbf{0})$ を与える）。右辺は $4\pi\,\delta^3$ をテスト関数に作用させたものそのものであるから

\begin{equation}\nabla \cdot \!\left( \dfrac{\mathbf{r}}{r^3} \right) = 4\pi\,\delta^3(\mathbf{r}) \label{eq:6-52-6}\end{equation}

を得る。なお、区分的に滑らかな境界をもつ有界領域 $V$ については、原点が $V$ の内部にあれば外向きフラックスは $4\pi$、原点が $\overline{V}$ の外にあれば $0$ である（原点が境界上にある場合は別扱いとなる）。

物理的意味：本公式は原点に置かれた単位点電荷から放出される電場 $\mathbf{E} = \mathbf{r}/(4\pi\varepsilon_0 r^3)$ の発散がガウスの法則 $\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ を満たすこと（点電荷の電荷密度が $\rho = \delta^3(\mathbf{r})$）を示す。Coulomb の逆二乗則と Gauss の法則の整合性の根拠である。

6.3 ラプラシアン

(53) $1/r$ のラプラシアン（Laplace 方程式の Green 関数）

公式：$\nabla^2\!\left( \dfrac{1}{r} \right) = -4\pi\,\delta^3(\mathbf{r})$
条件：超関数の意味で成立
証明

ラプラシアンを勾配の発散と書き、(48), (52) を順に適用する。

\begin{equation}\nabla^2\!\left( \dfrac{1}{r} \right) = \nabla \cdot \nabla\!\left( \dfrac{1}{r} \right) \label{eq:6-53-1}\end{equation}

(48) より $\nabla(1/r) = -\mathbf{r}/r^3$ を $\eqref{eq:6-53-1}$ に代入する。

\begin{equation}\nabla^2\!\left( \dfrac{1}{r} \right) = \nabla \cdot \!\left( -\dfrac{\mathbf{r}}{r^3} \right) = -\nabla \cdot \!\left( \dfrac{\mathbf{r}}{r^3} \right) \label{eq:6-53-2}\end{equation}

(52) より $\nabla \cdot (\mathbf{r}/r^3) = 4\pi \delta^3(\mathbf{r})$ を $\eqref{eq:6-53-2}$ に代入すると

\begin{equation}\nabla^2\!\left( \dfrac{1}{r} \right) = -4\pi\,\delta^3(\mathbf{r}) \label{eq:6-53-3}\end{equation}

物理的意味：本式は 3 次元 Laplace 演算子の Green 関数 $G(\mathbf{r}) = -1/(4\pi r)$ を与え、$\nabla^2 G = \delta^3(\mathbf{r})$ を満たす。Poisson 方程式 $\nabla^2 \phi = -\rho/\varepsilon_0$ の解は $\phi(\mathbf{r}) = (1/4\pi\varepsilon_0)\int \rho(\mathbf{r}')/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\, d^3 r'$ で書かれ、これは Coulomb・Newton ポテンシャルの数学的基礎となる。

(54) $r^n$ のラプラシアン

公式：$\nabla^2 r^n = n(n+1)\,r^{n-2}$
条件：$r \neq 0$
証明

ラプラシアンを勾配の発散として展開し、(50), (51) を順に適用する。

\begin{equation}\nabla^2 r^n = \nabla \cdot \nabla r^n \label{eq:6-54-1}\end{equation}

(50) より $\nabla r^n = n r^{n-2} \mathbf{r}$ を $\eqref{eq:6-54-1}$ に代入する。

\begin{equation}\nabla^2 r^n = \nabla \cdot (n r^{n-2} \mathbf{r}) = n\, \nabla \cdot (r^{n-2} \mathbf{r}) \label{eq:6-54-2}\end{equation}

(51) を指数 $n - 2$ で適用する。$\nabla \cdot (r^{n-2} \mathbf{r}) = ((n - 2) + 3) r^{n-2} = (n + 1) r^{n-2}$ より

\begin{equation}\nabla^2 r^n = n \cdot (n + 1) r^{n-2} = n(n+1) r^{n-2} \label{eq:6-54-3}\end{equation}

特殊例：$n = -1$ で $\nabla^2(1/r) = (-1)(0) r^{-3} = 0$（$r \neq 0$ で）となり、(53) の古典的部分と整合する。$n = 2$ で $\nabla^2 r^2 = 2 \cdot 3 = 6$、$n = 1$ で $\nabla^2 r = 2/r$ など。

(55) $\ln r$ のラプラシアン

公式：$\nabla^2 \ln r = \dfrac{1}{r^2}$
条件：$r \neq 0$、3 次元空間
証明

合成関数の微分により $\nabla \ln r$ を求める。

\begin{equation}\nabla \ln r = \dfrac{1}{r} \nabla r = \dfrac{1}{r} \cdot \dfrac{\mathbf{r}}{r} = \dfrac{\mathbf{r}}{r^2} \label{eq:6-55-1}\end{equation}

$\eqref{eq:6-55-1}$ の発散を (51) で計算する。$\mathbf{r}/r^2 = r^{-2} \mathbf{r}$ と書き直し、指数 $n = -2$ を適用すると

\begin{equation}\nabla^2 \ln r = \nabla \cdot \!\left( \dfrac{\mathbf{r}}{r^2} \right) = ((-2) + 3) r^{-2} = \dfrac{1}{r^2} \label{eq:6-55-2}\end{equation}

注意：本式は 3 次元での結果であり、2 次元では $\nabla^2 \ln r = 2\pi \delta^2(\mathbf{r})$ となる。したがって規約 $\Delta G = \delta^2$ のもとでの 2 次元の基本解（Green 関数）は $G(\mathbf{r}) = (1/2\pi)\ln r$ であり、3 次元の $G = -1/(4\pi r)$ と同じ規約に揃う。作用素を $-\Delta$ にとる文献では符号が逆になる。次元によって $\ln r$ の役割が異なる点に注意。

6.4 $(\mathbf{A} \cdot \nabla)$ と位置ベクトル

(56) $(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{r} = \mathbf{A}$

公式：$(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{r} = \mathbf{A}$
条件：$\mathbf{A}$ は任意の定ベクトルまたはベクトル場
証明

$(\mathbf{A} \cdot \nabla) = \displaystyle\sum_j A_j \dfrac{\partial}{\partial x_j}$ を $\mathbf{r}$ の第 $i$ 成分 $x_i$ に作用させる。

\begin{equation}[(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{r}]_i = \displaystyle\sum_j A_j \dfrac{\partial x_i}{\partial x_j} = \displaystyle\sum_j A_j \delta_{ij} = A_i \label{eq:6-56-1}\end{equation}

$\eqref{eq:6-56-1}$ がすべての成分で成立するから

\begin{equation}(\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{r} = \mathbf{A} \label{eq:6-56-2}\end{equation}

幾何学的意味：$(\mathbf{A} \cdot \nabla)$ は $\mathbf{A}$ に沿う正規化していない方向微分演算子である（単位ベクトル $\hat{\mathbf{A}}$ に沿う通常の方向微分の $\lVert\mathbf{A}\rVert$ 倍）。位置ベクトル $\mathbf{r}$ は恒等写像（identity map）であり、その方向微分はその方向ベクトル $\mathbf{A}$ そのものになる。流体力学では、移流項 $(\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{r}$ が流速場 $\mathbf{v}$ に等しいことを意味する。

(57) $(\mathbf{A} \cdot \nabla)r$

公式：$(\mathbf{A} \cdot \nabla)r = \dfrac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{r}}{r}$
条件：$r \neq 0$
証明

$(\mathbf{A} \cdot \nabla)r$ を成分表示する。

\begin{equation}(\mathbf{A} \cdot \nabla)r = \displaystyle\sum_j A_j \dfrac{\partial r}{\partial x_j} \label{eq:6-57-1}\end{equation}

(45) の証明 $\eqref{eq:6-45-1}$ より $\partial r / \partial x_j = x_j / r$ を $\eqref{eq:6-57-1}$ に代入する。

\begin{equation}(\mathbf{A} \cdot \nabla)r = \displaystyle\sum_j A_j \cdot \dfrac{x_j}{r} = \dfrac{1}{r} \displaystyle\sum_j A_j x_j = \dfrac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{r}}{r} \label{eq:6-57-2}\end{equation}

幾何学的意味：$\mathbf{A} \cdot \mathbf{r}/r = \mathbf{A} \cdot \hat{\mathbf{r}}$ は $\mathbf{A}$ の動径方向成分であり、距離関数 $r$ の $\mathbf{A}$ 方向の変化率は $\mathbf{A}$ の動径方向射影に等しい。$\mathbf{A} \perp \mathbf{r}$（接線方向）なら結果はゼロ、$\mathbf{A} \parallel \mathbf{r}$ なら $\pm |\mathbf{A}|$ となる。

参考文献

  • Jackson, J. D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. (1.4 章: Dirac デルタ関数とポアソン方程式)
  • Griffiths, D. J. (2017). Introduction to Electrodynamics (4th ed.). Cambridge University Press. (1.5 章: ベクトル微分の公式と Coulomb 法則)
  • Arfken, G. B., Weber, H. J., & Harris, F. E. (2013). Mathematical Methods for Physicists (7th ed.). Academic Press. (3 章: ベクトル解析、9 章: Green 関数)
  • Vector calculus identities - Wikipedia
  • Laplace operator - Wikipedia

よくある質問

なぜ ∇·(r/r³) はゼロではなく 4πδ³(r) になるのか

$r \neq 0$ では確かにゼロだが、原点に特異点がある。半径 $R$ の球面上で外向き法線をとってフラックスを計算すると、面積分は半径 $R$ によらず $4\pi$（全立体角）になる。したがって発散は原点に集中したデルタ関数 $4\pi\delta^3(\mathbf{r})$ でなければならない。これは Coulomb の法則・Newton 重力の数学的な核心である。

ラプラシアン ∇²(1/r) と Green 関数はどう関係するか

$\nabla^2(1/r) = -4\pi\delta^3(\mathbf{r})$ が成り立つので、規約 $\Delta G = \delta^3$ のもとで $G(\mathbf{r}) = -1/(4\pi r)$ が 3 次元ラプラス作用素の基本解（Green 関数）である。これが Poisson 方程式 $\nabla^2\varphi = -\rho/\varepsilon_0$ の解 $\varphi(\mathbf{r}) = (1/4\pi\varepsilon_0)\int \rho(\mathbf{r}')/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\,d^3r'$ の根拠になる。

(A·∇)r = A（位置ベクトルに作用させる式）はどう解釈すればよいか

$\mathbf{A}$ に沿う方向微分を位置ベクトル $\mathbf{r}$（太字）に作用させると $\mathbf{A}$ 自身が返る、という意味である。$\mathbf{r}$ は各点にその点自身を対応させる恒等写像なので、どの方向へ動かしても変化量はその方向ベクトルそのものになる。動径距離 $r$（細字）に作用させた $(\mathbf{A}\cdot\nabla)r = (\mathbf{A}\cdot\mathbf{r})/r$ とは別の式なので混同しないこと。