ベクトル解析の基本演算子にはどのようなものがありますか？

基本演算子は4つある。勾配(grad, ∇f)はスカラー場から方向と大きさを持つベクトル場を生成し、発散(div, ∇·A)はベクトル場の湧き出しをスカラーで表し、回転(curl/rot, ∇×A)はベクトル場の渦をベクトルで表し、ラプラシアン(∇²)はスカラー場の二階微分を表す。

ベクトル解析と行列微分の違いは何ですか？

ベクトル解析は3次元空間のベクトル場に対する微分演算(grad, div, curl)と積分定理を扱い、電磁気学・流体力学で使われる。行列微分(Matrix Calculus)は任意次元のベクトル・行列を変数とする関数の微分(勾配・ヤコビアン・ヘッセ行列)を扱い、機械学習・統計学で使われる。

電磁気学(マクスウェル方程式)、流体力学(ナビエ–ストークス方程式)、熱力学(熱伝導方程式)、連続体力学、気象学、地球物理学など、物理現象を記述する分野で広く使われる。

主要な公式は4つある。勾配∇f(スカラー→ベクトル)、発散∇·A(ベクトル→スカラー)、回転∇×A(ベクトル→ベクトル)、ラプラシアン∇²f(スカラー→スカラー)。さらに∇×(∇f)=0(勾配の回転はゼロ)、∇·(∇×A)=0(回転の発散はゼロ)という重要な恒等式がある。

直交座標(x,y,z)、円柱座標(r,φ,z)、球座標(r,θ,φ)の3つが主に使われる。問題の対称性に応じた座標系を選ぶことで、grad・div・curl・ラプラシアンの計算が簡潔になる。

Vector Calculus Formulas

入門〜中級

ベクトル解析は、スカラー場・ベクトル場に対する微分演算と積分定理を扱う分野である。電磁気学のマクスウェル方程式、流体力学のナビエ–ストークス方程式など、物理法則の記述に不可欠な数学的道具立てを提供する。

行列微分をお探しの方へ: ベクトル・行列を変数とする関数の微分（勾配ベクトル、ヤコビ行列、ヘッセ行列など）は行列微分（Matrix Calculus）を参照。

ベクトル解析の4つの基本演算を以下にまとめる。いずれもナブラ演算子 $\nabla = (\partial/\partial x,\, \partial/\partial y,\, \partial/\partial z)$ を用いて統一的に記述できる。

演算	記法	入力 → 出力	定義	物理的意味
勾配 (grad)	$\nabla f$	スカラー場 → ベクトル場	$\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\, \dfrac{\partial f}{\partial y},\, \dfrac{\partial f}{\partial z}\right)$	最急上昇方向と変化率
発散 (div)	$\nabla \cdot \mathbf{A}$	ベクトル場 → スカラー場	$\dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z}$	湧き出しの強さ
回転 (curl)	$\nabla \times \mathbf{A}$	ベクトル場 → ベクトル場	行列式形式（詳細）	渦の強さと方向
ラプラシアン	$\nabla^2 f$	スカラー場 → スカラー場	$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}$	周囲の平均値との差