ベクトル解析の公式一覧

Vector Calculus Formulas

中級〜上級

概要

ベクトル解析は、スカラー場・ベクトル場に対する微分演算と積分定理を扱う分野である。電磁気学のマクスウェル方程式、流体力学のナビエ–ストークス方程式など、物理法則の記述に不可欠な数学的道具立てを提供する。

行列微分をお探しの方へ: ベクトル・行列を変数とする関数の微分（勾配ベクトル、ヤコビ行列、ヘッセ行列など）は行列微分（Matrix Calculus）を参照。

3次元直交座標でのベクトル微分演算子の早見表

ベクトル解析でよく使う微分演算を、まず3次元直交座標でまとめる。直交座標では、いずれもナブラ演算子 $\nabla = (\partial/\partial x,\, \partial/\partial y,\, \partial/\partial z)$ を用いて統一的に記述できる。円柱座標・球座標では、同じ記号 $\nabla$ を使っても成分公式が変わる（第3章）。

このうち grad・div・curl は 1 階の微分演算子であり、ラプラシアンは $\nabla^2 f = \nabla \cdot (\nabla f)$ のように grad と div の合成として現れる代表的な 2 階微分演算子である。

演算 記法 入力 → 出力 定義 物理的意味
勾配 (grad) $\nabla f$ スカラー場 → ベクトル場 3次元直交座標で $\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\, \dfrac{\partial f}{\partial y},\, \dfrac{\partial f}{\partial z}\right)$ 最急上昇方向と変化率
発散 (div) $\nabla \cdot \mathbf{A}$ ベクトル場 → スカラー場 3次元直交座標で $\dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z}$ 湧き出し・吸い込みを含む正味の流出率
回転 (curl) $\nabla \times \mathbf{A}$ ベクトル場 → ベクトル場 3次元直交座標で $\left(\dfrac{\partial A_z}{\partial y} - \dfrac{\partial A_y}{\partial z},\, \dfrac{\partial A_x}{\partial z} - \dfrac{\partial A_z}{\partial x},\, \dfrac{\partial A_y}{\partial x} - \dfrac{\partial A_x}{\partial y}\right)$（詳細） 渦の強さと方向
ラプラシアン $\nabla^2 f$ スカラー場 → スカラー場 3次元直交座標で $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}$ （小球面上の平均）−（中心の値）の極限に比例する局所的な量（ヘッセ行列のトレース）

※ 上の成分表示はいずれも3次元直交座標のものである。円柱座標・球座標では、スケール因子と基底ベクトルの扱いが入るため別の形の公式になる（第3章）。

※ curl を $3 \times 3$ 行列式で書く表示は記憶用の形式的記法である。成分に微分演算子を含むので、数値を成分とする通常の行列式とは意味が違う。

※ ラプラシアンはベクトル場にも作用する（ベクトルラプラシアン $\nabla^2 \mathbf{A}$）。直交座標では各成分に $\nabla^2$ を作用させた形になるが、曲線座標ではこの形にならない（第3章）。

※ 本連載の座標記号は第3章に従う。円柱座標 $(\rho,\varphi,z)$、球座標 $(r,\theta,\varphi)$（物理学および ISO 80000-2 の慣習）。

重要な恒等式

  • $\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$ — スカラー場の勾配として得られるベクトル場の回転は常に $\mathbf{0}$（非回転、irrotational）
  • $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0$ — あるベクトル場の回転として得られる場の発散は常に $0$（ソレノイダル、湧き出しなし）

※ いずれも必要な 2 階偏導関数が存在して連続であること（混合偏微分の交換可能性）を仮定する。ベクトル代数だけから従うわけではない。

目次

  1. 第1章 勾配・発散・回転・ラプラシアン

    ナブラ演算子 $\nabla$ と4つの基本演算、および方向微分の定義・性質・物理的意味

  2. 第2章 ベクトル解析の恒等式一覧

    内積・外積の代数公式、$\nabla$ の積の公式、二階微分の公式、位置ベクトルの公式、$(\mathbf{A} \cdot \nabla)$ 演算子までの全66式

    全66式の個別証明: 内積・外積の代数公式・勾配の公式・発散の公式・回転の公式・二階微分の公式・位置ベクトルの公式・$(\mathbf{A} \cdot \nabla)$ 演算子

  3. 第3章 座標系別のベクトル微分公式

    直交座標・円柱座標・球座標・一般直交曲線座標での grad, div, curl, ラプラシアンと、座標系ごとの比較表

  4. 第4章 積分定理

    発散定理（ガウス）、ストークスの定理、グリーンの定理と、定理どうしの関係

    証明: 積分定理の証明

前提知識

  • 多変数関数の偏微分
  • ベクトルの内積・外積
  • $3 \times 3$ 行列式の展開（curl の行列式表示を読むために使う）
  • 多変数関数の積分の基礎（重積分。線積分・面積分は第4章の冒頭で復習する）

読み物

  • ナブラ ∇ の物語 ［読み物］ — 勾配・発散・回転を一文字で束ねる ∇。ハミルトンからギブズ、マクスウェルへと続く記号の物語。
  • 流れの湧き出しと渦 ［読み物］ — 膨らむか縮むか、回るか回らないか。発散と回転が流れの何を測るのかを、水と風のイメージで語る。
  • 形を変えても保たれるもの ［読み物］ — 袋の口さえ同じなら形は問わない。発散定理とストークスの定理が語る「中身は縁が知っている」という思想。
  • 坂道のある世界 ［読み物］ — どの道を選んでも高さの差だけで決まる。勾配場・ポテンシャル・保存場が指す「経路によらない」世界。

よくある質問

ベクトル解析の基本演算子にはどのようなものがありますか？

このページでは、grad・div・curl と、代表的な二階演算子であるラプラシアンを基本項目として扱う。勾配(grad, ∇f)はスカラー場から、最急上昇の方向と変化率を表すベクトル場を生成し、発散(div, ∇·A)はベクトル場の正味の流出率(正なら湧き出し、負なら吸い込み)をスカラーで表し、回転(curl/rot, ∇×A)はベクトル場の渦をベクトルで表し、ラプラシアン(∇²f)は、スカラー場では二階偏導関数の和(ヘッセ行列のトレース)を表す。

ベクトル解析と行列微分の違いは何ですか？

ベクトル解析は、主として2次元・3次元のスカラー場・ベクトル場に対する微分演算(grad, div, curl)と積分定理を扱い、電磁気学・流体力学で使われる。行列微分(Matrix Calculus)は任意次元のベクトル・行列を変数とする関数の微分(勾配・ヤコビアン・ヘッセ行列)を扱い、機械学習・統計学で使われる。

ベクトル解析はどのような分野で使われますか？

電磁気学(マクスウェル方程式)、流体力学(ナビエ–ストークス方程式)、熱伝導(熱伝導方程式)、連続体力学、気象学、地球物理学など、物理現象を記述する分野で広く使われる。

ベクトル微分の公式にはどのようなものがありますか？

主要な公式は4つある。勾配∇f(スカラー→ベクトル)、発散∇·A(ベクトル→スカラー)、回転∇×A(ベクトル→ベクトル)、ラプラシアン∇²f(スカラー→スカラー)。さらに∇×(∇f)=0(勾配の回転はゼロ)、∇·(∇×A)=0(回転の発散はゼロ)という重要な恒等式がある。

ベクトル解析で使われる座標系にはどのようなものがありますか？

直交座標(x,y,z)、円柱座標(ρ,φ,z)、球座標(r,θ,φ)の3つが主に使われる(角度記号には流儀があるため、本連載では第3章の表記に従う)。問題の対称性に応じた座標系を選ぶことで、grad・div・curl・ラプラシアンの計算が簡潔になる。