証明集 第5章: 二階微分の公式

証明

勾配の定義より、スカラ場 $f$ の勾配の第 $i$ 成分は

\begin{equation}[\nabla f]_i = \dfrac{\partial f}{\partial x_i} \label{eq:5-36-1}\end{equation}

発散の定義より、ベクトル場 $\mathbf{V}$ の発散は

\begin{equation}\nabla \cdot \mathbf{V} = \displaystyle\sum_{i} \dfrac{\partial V_i}{\partial x_i} \label{eq:5-36-2}\end{equation}

$\eqref{eq:5-36-1}$ で得たベクトル場 $\nabla f$ を $\eqref{eq:5-36-2}$ に代入する。

\begin{equation}\nabla \cdot (\nabla f) = \displaystyle\sum_{i} \dfrac{\partial}{\partial x_i}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\right) = \displaystyle\sum_{i} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} \label{eq:5-36-3}\end{equation}

右辺の作用素 $\displaystyle\sum_i \dfrac{\partial^2}{\partial x_i^2}$ をラプラシアンと呼び、$\nabla^2$ または $\Delta$ で表す。

\begin{equation}\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f = \Delta f \label{eq:5-36-4}\end{equation}

証明

(36) で得た一般次元の式

\begin{equation}\nabla^2 f = \displaystyle\sum_{i} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} \label{eq:5-37-1}\end{equation}

に、3 次元直交座標 $(x_1, x_2, x_3) = (x, y, z)$ を代入する。

\begin{equation}\nabla^2 f = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2} \label{eq:5-37-2}\end{equation}

証明

回転の第 $i$ 成分を Levi-Civita 記号 $\varepsilon_{ijk}$ を用いて書く。

\begin{equation}[\nabla \times \mathbf{V}]_i = \varepsilon_{ijk}\,\dfrac{\partial V_k}{\partial x_j} \label{eq:5-38-1}\end{equation}

$\mathbf{V} = \nabla f$、すなわち $V_k = \dfrac{\partial f}{\partial x_k}$ を $\eqref{eq:5-38-1}$ に代入する。

\begin{equation}[\nabla \times (\nabla f)]_i = \varepsilon_{ijk}\,\dfrac{\partial}{\partial x_j}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x_k}\right) = \varepsilon_{ijk}\,\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k} \label{eq:5-38-2}\end{equation}

$f \in C^2$ より、シュワルツの定理（混合偏微分の交換可能性）が成り立つ。

\begin{equation}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_k \partial x_j} \label{eq:5-38-3}\end{equation}

すなわち二階偏微分は添字 $(j, k)$ に関して対称である。一方、Levi-Civita 記号は $(j, k)$ に関して反対称である。

\begin{equation}\varepsilon_{ijk} = -\varepsilon_{ikj} \label{eq:5-38-4}\end{equation}

対称テンソル $S_{jk} = S_{kj}$ と反対称テンソル $A_{jk} = -A_{kj}$ の縮約は 0 になる。実際、和の項を $(j, k)$ と $(k, j)$ で組み合わせると

\begin{equation}\varepsilon_{ijk}\,\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k} = \dfrac{1}{2}\!\left(\varepsilon_{ijk} + \varepsilon_{ikj}\right)\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k} = 0 \label{eq:5-38-5}\end{equation}

すべての $i$ について第 $i$ 成分が 0 となるので

\begin{equation}\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0} \label{eq:5-38-6}\end{equation}

証明

回転 $\nabla \times \mathbf{A}$ の第 $i$ 成分は

\begin{equation}[\nabla \times \mathbf{A}]_i = \varepsilon_{ijk}\,\dfrac{\partial A_k}{\partial x_j} \label{eq:5-39-1}\end{equation}

これを発散の定義 $\nabla \cdot \mathbf{V} = \dfrac{\partial V_i}{\partial x_i}$（総和規約）に適用する。

\begin{equation}\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = \dfrac{\partial}{\partial x_i}\!\left(\varepsilon_{ijk}\,\dfrac{\partial A_k}{\partial x_j}\right) = \varepsilon_{ijk}\,\dfrac{\partial^2 A_k}{\partial x_i \partial x_j} \label{eq:5-39-2}\end{equation}

$\mathbf{A} \in C^2$ より、シュワルツの定理が成り立つ。

\begin{equation}\dfrac{\partial^2 A_k}{\partial x_i \partial x_j} = \dfrac{\partial^2 A_k}{\partial x_j \partial x_i} \label{eq:5-39-3}\end{equation}

$\eqref{eq:5-39-3}$ より二階偏微分は $(i, j)$ について対称である。一方 $\varepsilon_{ijk}$ は $(i, j)$ について反対称（$\varepsilon_{ijk} = -\varepsilon_{jik}$）であるから、(38) と同じ「対称テンソルと反対称テンソルの縮約は 0」の議論により

\begin{equation}\varepsilon_{ijk}\,\dfrac{\partial^2 A_k}{\partial x_i \partial x_j} = 0 \label{eq:5-39-4}\end{equation}

ゆえに

\begin{equation}\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0 \label{eq:5-39-5}\end{equation}

証明

回転の回転の第 $i$ 成分を成分表示する。

\begin{equation}[\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})]_i = \varepsilon_{ijk}\,\dfrac{\partial}{\partial x_j}\,[\nabla \times \mathbf{A}]_k \label{eq:5-40-1}\end{equation}

内側の回転を再び Levi-Civita 記号で書く。

\begin{equation}[\nabla \times \mathbf{A}]_k = \varepsilon_{klm}\,\dfrac{\partial A_m}{\partial x_l} \label{eq:5-40-2}\end{equation}

$\eqref{eq:5-40-2}$ を $\eqref{eq:5-40-1}$ に代入する。

\begin{equation}[\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})]_i = \varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{klm}\,\dfrac{\partial^2 A_m}{\partial x_j \partial x_l} \label{eq:5-40-3}\end{equation}

Levi-Civita 記号の縮約恒等式（$\varepsilon$-$\delta$ 恒等式）を用いる。

\begin{equation}\varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{klm} = \varepsilon_{kij}\,\varepsilon_{klm} = \delta_{il}\,\delta_{jm} - \delta_{im}\,\delta_{jl} \label{eq:5-40-4}\end{equation}

$\eqref{eq:5-40-4}$ を $\eqref{eq:5-40-3}$ に代入し、Kronecker のデルタの縮約により添字を置き換える。

\begin{equation}[\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})]_i = \delta_{il}\,\delta_{jm}\,\dfrac{\partial^2 A_m}{\partial x_j \partial x_l} - \delta_{im}\,\delta_{jl}\,\dfrac{\partial^2 A_m}{\partial x_j \partial x_l} \label{eq:5-40-5}\end{equation}

第 1 項では $l = i$、$m = j$ を代入し、第 2 項では $m = i$、$l = j$ を代入する。

\begin{equation}[\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})]_i = \dfrac{\partial^2 A_j}{\partial x_j \partial x_i} - \dfrac{\partial^2 A_i}{\partial x_j \partial x_j} \label{eq:5-40-6}\end{equation}

第 1 項を整理する。シュワルツの定理により偏微分の順序を交換でき、

\begin{equation}\dfrac{\partial^2 A_j}{\partial x_j \partial x_i} = \dfrac{\partial}{\partial x_i}\!\left(\dfrac{\partial A_j}{\partial x_j}\right) = \dfrac{\partial}{\partial x_i}(\nabla \cdot \mathbf{A}) = [\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})]_i \label{eq:5-40-7}\end{equation}

第 2 項はラプラシアンの成分（直交座標）。

\begin{equation}\dfrac{\partial^2 A_i}{\partial x_j \partial x_j} = \displaystyle\sum_{j} \dfrac{\partial^2 A_i}{\partial x_j^2} = \nabla^2 A_i = [\nabla^2 \mathbf{A}]_i \label{eq:5-40-8}\end{equation}

$\eqref{eq:5-40-7}$ と $\eqref{eq:5-40-8}$ を $\eqref{eq:5-40-6}$ に代入する。

\begin{equation}[\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})]_i = [\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})]_i - [\nabla^2 \mathbf{A}]_i \label{eq:5-40-9}\end{equation}

すべての $i$ について成り立つので

\begin{equation}\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A} \label{eq:5-40-10}\end{equation}

証明

(36) より、ラプラシアンを発散と勾配の合成として書ける。

\begin{equation}\nabla^2(fg) = \nabla \cdot \bigl(\nabla(fg)\bigr) \label{eq:5-41-1}\end{equation}

勾配の積の公式（恒等式 (15) すなわち Leibniz 則）より

\begin{equation}\nabla(fg) = f\,\nabla g + g\,\nabla f \label{eq:5-41-2}\end{equation}

$\eqref{eq:5-41-2}$ を $\eqref{eq:5-41-1}$ に代入する。

\begin{equation}\nabla^2(fg) = \nabla \cdot (f\,\nabla g) + \nabla \cdot (g\,\nabla f) \label{eq:5-41-3}\end{equation}

発散の積の公式（恒等式 (23) $\nabla \cdot (h\mathbf{V}) = (\nabla h) \cdot \mathbf{V} + h\,(\nabla \cdot \mathbf{V})$）を各項に適用する。

\begin{equation}\nabla \cdot (f\,\nabla g) = (\nabla f) \cdot (\nabla g) + f\,\nabla \cdot (\nabla g) = \nabla f \cdot \nabla g + f\,\nabla^2 g \label{eq:5-41-4}\end{equation}

\begin{equation}\nabla \cdot (g\,\nabla f) = (\nabla g) \cdot (\nabla f) + g\,\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla f \cdot \nabla g + g\,\nabla^2 f \label{eq:5-41-5}\end{equation}

$\eqref{eq:5-41-4}$ と $\eqref{eq:5-41-5}$ を $\eqref{eq:5-41-3}$ に代入してまとめる。

\begin{equation}\nabla^2(fg) = f\,\nabla^2 g + 2(\nabla f \cdot \nabla g) + g\,\nabla^2 f \label{eq:5-41-6}\end{equation}

証明

直交座標系では基底ベクトル $\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y, \mathbf{e}_z$ が定ベクトル（位置に依らない）であるから、微分作用素は基底を素通りして成分にのみ作用する。

ベクトルラプラシアンは (40) の右辺第 2 項として現れる量であり、(40) の証明 $\eqref{eq:5-40-8}$ より

\begin{equation}[\nabla^2 \mathbf{A}]_i = \dfrac{\partial^2 A_i}{\partial x_j \partial x_j} = \displaystyle\sum_{j} \dfrac{\partial^2 A_i}{\partial x_j^2} = \nabla^2 A_i \label{eq:5-42-1}\end{equation}

$i = 1, 2, 3$ すなわち $i = x, y, z$ に対して

\begin{equation}\nabla^2 \mathbf{A} = (\nabla^2 A_x,\ \nabla^2 A_y,\ \nabla^2 A_z) \label{eq:5-42-2}\end{equation}

証明

(42) より直交座標では $\nabla^2(f\mathbf{A})$ の第 $i$ 成分は $\nabla^2(fA_i)$ である。

\begin{equation}[\nabla^2(f\mathbf{A})]_i = \nabla^2(fA_i) \label{eq:5-43-1}\end{equation}

(41) を $f$ と $A_i$（スカラ場）に適用する。

\begin{equation}\nabla^2(fA_i) = (\nabla^2 f)\,A_i + 2(\nabla f \cdot \nabla A_i) + f\,\nabla^2 A_i \label{eq:5-43-2}\end{equation}

右辺第 2 項の $\nabla f \cdot \nabla A_i$ は方向微分作用素 $(\nabla f \cdot \nabla)$ をベクトル場 $\mathbf{A}$ に作用させたものの第 $i$ 成分である。

\begin{equation}\nabla f \cdot \nabla A_i = \displaystyle\sum_{j} \dfrac{\partial f}{\partial x_j}\,\dfrac{\partial A_i}{\partial x_j} = [(\nabla f \cdot \nabla)\mathbf{A}]_i \label{eq:5-43-3}\end{equation}

$\eqref{eq:5-43-3}$ を $\eqref{eq:5-43-2}$ に代入し、各成分をベクトルにまとめる。

\begin{equation}[\nabla^2(f\mathbf{A})]_i = (\nabla^2 f)\,A_i + 2[(\nabla f \cdot \nabla)\mathbf{A}]_i + f\,[\nabla^2 \mathbf{A}]_i \label{eq:5-43-4}\end{equation}

すべての $i$ についてまとめると

\begin{equation}\nabla^2(f\mathbf{A}) = (\nabla^2 f)\mathbf{A} + 2(\nabla f \cdot \nabla)\mathbf{A} + f\,\nabla^2\mathbf{A} \label{eq:5-43-5}\end{equation}

証明

内積の定義より

\begin{equation}\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \displaystyle\sum_{i} A_i\,B_i \label{eq:5-44-1}\end{equation}

ラプラシアンの線形性より

\begin{equation}\nabla^2(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \displaystyle\sum_{i} \nabla^2(A_i\,B_i) \label{eq:5-44-2}\end{equation}

各 $i$ について、(41) をスカラ場 $A_i$ と $B_i$ に適用する。

\begin{equation}\nabla^2(A_i\,B_i) = A_i\,\nabla^2 B_i + 2\,(\nabla A_i \cdot \nabla B_i) + B_i\,\nabla^2 A_i \label{eq:5-44-3}\end{equation}

$i$ について和を取る。

\begin{equation}\nabla^2(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \displaystyle\sum_{i} A_i\,\nabla^2 B_i + 2\,\displaystyle\sum_{i} (\nabla A_i \cdot \nabla B_i) + \displaystyle\sum_{i} B_i\,\nabla^2 A_i \label{eq:5-44-4}\end{equation}

(42) より直交座標では $[\nabla^2 \mathbf{B}]_i = \nabla^2 B_i$、$[\nabla^2 \mathbf{A}]_i = \nabla^2 A_i$ であるから、第 1 項と第 3 項は内積の形にまとめられる。

\begin{equation}\displaystyle\sum_{i} A_i\,\nabla^2 B_i = \mathbf{A} \cdot \nabla^2 \mathbf{B},\quad \displaystyle\sum_{i} B_i\,\nabla^2 A_i = \mathbf{B} \cdot \nabla^2 \mathbf{A} \label{eq:5-44-5}\end{equation}

$\eqref{eq:5-44-5}$ を $\eqref{eq:5-44-4}$ に代入する。

\begin{equation}\nabla^2(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \mathbf{A} \cdot \nabla^2 \mathbf{B} + \mathbf{B} \cdot \nabla^2 \mathbf{A} + 2\,\displaystyle\sum_{i} (\nabla A_i \cdot \nabla B_i) \label{eq:5-44-6}\end{equation}

証明

発散の積の公式（恒等式 (23)）をベクトル場 $f\,\nabla g$ に適用する。

\begin{equation}\nabla \cdot (f\,\nabla g) = \nabla f \cdot \nabla g + f\,\nabla \cdot (\nabla g) = \nabla f \cdot \nabla g + f\,\nabla^2 g \label{eq:5-45-1}\end{equation}

ここで最後の等号に (36) $\nabla \cdot (\nabla g) = \nabla^2 g$ を用いた。$\eqref{eq:5-45-1}$ を $V$ 上で積分し、左辺に発散定理を適用する。

\begin{equation}\iiint_V \nabla \cdot (f\,\nabla g)\,dV = \oiint_S (f\,\nabla g) \cdot \mathbf{n}\,dS = \oiint_S f\,\dfrac{\partial g}{\partial n}\,dS \label{eq:5-45-2}\end{equation}

ここで $\dfrac{\partial g}{\partial n} = \nabla g \cdot \mathbf{n}$ は外向き法線方向の方向微分である。$\eqref{eq:5-45-1}$ の右辺の積分と等置して整理すると第1グリーン恒等式を得る。

\begin{equation}\iiint_V f\,\nabla^2 g\,dV = -\iiint_V \nabla f \cdot \nabla g\,dV + \oiint_S f\,\dfrac{\partial g}{\partial n}\,dS \label{eq:5-45-3}\end{equation}

ここからは $f \in C^2(\overline{V})$ も仮定する。$\eqref{eq:5-45-3}$ で $f$ と $g$ を入れ替えた式を作り、元の式から引く。右辺第 1 項は $\nabla f \cdot \nabla g$ が対称なので相殺し、第2グリーン恒等式が残る。

\begin{equation}\iiint_V \left(f\,\nabla^2 g - g\,\nabla^2 f\right)dV = \oiint_S \left(f\,\dfrac{\partial g}{\partial n} - g\,\dfrac{\partial f}{\partial n}\right)dS \label{eq:5-45-4}\end{equation}