座標系別のベクトル微分公式
Vector Calculus in Curvilinear Coordinates
1. 直交座標
座標と基底
座標: $(x,\,y,\,z)$
基底ベクトル: $\mathbf{e}_x,\;\mathbf{e}_y,\;\mathbf{e}_z$（定数ベクトル）
線素・体積要素
$$d\boldsymbol{\ell} = dx\,\mathbf{e}_x + dy\,\mathbf{e}_y + dz\,\mathbf{e}_z$$ $$dV = dx\,dy\,dz$$勾配（grad）
$$\nabla f = \dfrac{\partial f}{\partial x}\,\mathbf{e}_x + \dfrac{\partial f}{\partial y}\,\mathbf{e}_y + \dfrac{\partial f}{\partial z}\,\mathbf{e}_z$$
発散（div）
$$\nabla \cdot \mathbf{A} = \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z}$$
回転（curl）
$$\nabla \times \mathbf{A} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}$$
すなわち
$$\nabla \times \mathbf{A} = \left(\dfrac{\partial A_z}{\partial y} - \dfrac{\partial A_y}{\partial z}\right)\mathbf{e}_x + \left(\dfrac{\partial A_x}{\partial z} - \dfrac{\partial A_z}{\partial x}\right)\mathbf{e}_y + \left(\dfrac{\partial A_y}{\partial x} - \dfrac{\partial A_x}{\partial y}\right)\mathbf{e}_z$$ラプラシアン
$$\nabla^2 f = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}$$
2. 円柱座標
座標と変換
座標: $(\rho,\,\varphi,\,z)$
変換: $x = \rho\cos\varphi,\quad y = \rho\sin\varphi,\quad z = z$
スケール因子: $h_\rho = 1,\quad h_\varphi = \rho,\quad h_z = 1$
基底ベクトルの微分
円柱座標の基底ベクトル $\mathbf{e}_\rho,\;\mathbf{e}_\varphi$ は位置に依存する。重要な関係:
$$\dfrac{\partial \mathbf{e}_\rho}{\partial \varphi} = \mathbf{e}_\varphi, \qquad \dfrac{\partial \mathbf{e}_\varphi}{\partial \varphi} = -\mathbf{e}_\rho$$他のすべての組み合わせ（$\partial \mathbf{e}_\rho/\partial \rho$, $\partial \mathbf{e}_z/\partial \varphi$ 等）はゼロ。
線素・体積要素
$$d\boldsymbol{\ell} = d\rho\,\mathbf{e}_\rho + \rho\,d\varphi\,\mathbf{e}_\varphi + dz\,\mathbf{e}_z$$ $$dV = \rho\,d\rho\,d\varphi\,dz$$勾配（grad）
$$\nabla f = \dfrac{\partial f}{\partial \rho}\,\mathbf{e}_\rho + \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial f}{\partial \varphi}\,\mathbf{e}_\varphi + \dfrac{\partial f}{\partial z}\,\mathbf{e}_z$$
発散（div）
$$\nabla \cdot \mathbf{A} = \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial(\rho A_\rho)}{\partial \rho} + \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z}$$
回転（curl）
$$\nabla \times \mathbf{A} = \left(\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial A_z}{\partial \varphi} - \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial z}\right)\mathbf{e}_\rho + \left(\dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} - \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho}\right)\mathbf{e}_\varphi + \dfrac{1}{\rho}\left(\dfrac{\partial(\rho A_\varphi)}{\partial \rho} - \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \varphi}\right)\mathbf{e}_z$$
スカラーラプラシアン
$$\nabla^2 f = \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial}{\partial \rho}\!\left(\rho\,\dfrac{\partial f}{\partial \rho}\right) + \dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}$$
ベクトルラプラシアン
注意: 円柱座標では $\nabla^2\mathbf{A} \neq (\nabla^2 A_\rho,\;\nabla^2 A_\varphi,\;\nabla^2 A_z)$ である。基底ベクトルの微分項が加わるため、各成分は以下のようになる。
$$(\nabla^2\mathbf{A})_\rho = \nabla^2 A_\rho - \dfrac{A_\rho}{\rho^2} - \dfrac{2}{\rho^2}\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}$$
$$(\nabla^2\mathbf{A})_\varphi = \nabla^2 A_\varphi - \dfrac{A_\varphi}{\rho^2} + \dfrac{2}{\rho^2}\dfrac{\partial A_\rho}{\partial \varphi}$$
$$(\nabla^2\mathbf{A})_z = \nabla^2 A_z$$
3. 球座標
表記注意: 本ページでは物理学および ISO 80000-2 の慣習 $(r,\,\theta,\,\varphi)$ を採用する。すなわち $\theta$ は極角（$z$ 軸からの傾き、$0 \le \theta \le \pi$）、$\varphi$ は方位角（$xy$ 平面内の回転、$0 \le \varphi < 2\pi$）である。一部の数学書では $\theta$ と $\varphi$ の役割が逆になっているので、他文献を参照する際は定義を確認すること。
座標と変換
座標: $(r,\,\theta,\,\varphi)$
変換: $x = r\sin\theta\cos\varphi,\quad y = r\sin\theta\sin\varphi,\quad z = r\cos\theta$
スケール因子: $h_r = 1,\quad h_\theta = r,\quad h_\varphi = r\sin\theta$
基底ベクトルの微分
球座標の基底ベクトルの非零な微分:
$$\dfrac{\partial \mathbf{e}_r}{\partial \theta} = \mathbf{e}_\theta, \qquad \dfrac{\partial \mathbf{e}_r}{\partial \varphi} = \sin\theta\,\mathbf{e}_\varphi$$ $$\dfrac{\partial \mathbf{e}_\theta}{\partial \theta} = -\mathbf{e}_r, \qquad \dfrac{\partial \mathbf{e}_\theta}{\partial \varphi} = \cos\theta\,\mathbf{e}_\varphi$$ $$\dfrac{\partial \mathbf{e}_\varphi}{\partial \varphi} = -\sin\theta\,\mathbf{e}_r - \cos\theta\,\mathbf{e}_\theta$$線素・体積要素
$$d\boldsymbol{\ell} = dr\,\mathbf{e}_r + r\,d\theta\,\mathbf{e}_\theta + r\sin\theta\,d\varphi\,\mathbf{e}_\varphi$$ $$dV = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi$$勾配（grad）
$$\nabla f = \dfrac{\partial f}{\partial r}\,\mathbf{e}_r + \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial f}{\partial \theta}\,\mathbf{e}_\theta + \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial f}{\partial \varphi}\,\mathbf{e}_\varphi$$
発散（div）
$$\nabla \cdot \mathbf{A} = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial(r^2 A_r)}{\partial r} + \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial(\sin\theta\,A_\theta)}{\partial \theta} + \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}$$
回転（curl）
$$(\nabla \times \mathbf{A})_r = \dfrac{1}{r\sin\theta}\left(\dfrac{\partial(\sin\theta\,A_\varphi)}{\partial \theta} - \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi}\right)$$
$$(\nabla \times \mathbf{A})_\theta = \dfrac{1}{r}\left(\dfrac{1}{\sin\theta}\dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi} - \dfrac{\partial(r A_\varphi)}{\partial r}\right)$$
$$(\nabla \times \mathbf{A})_\varphi = \dfrac{1}{r}\left(\dfrac{\partial(r A_\theta)}{\partial r} - \dfrac{\partial A_r}{\partial \theta}\right)$$
スカラーラプラシアン
$$\nabla^2 f = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\dfrac{\partial f}{\partial r}\right) + \dfrac{1}{r^2\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial \theta}\!\left(\sin\theta\,\dfrac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \dfrac{1}{r^2\sin^2\theta}\dfrac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}$$
4. 一般直交曲線座標
設定
座標: $(q_1,\,q_2,\,q_3)$、スケール因子: $(h_1,\,h_2,\,h_3)$
スケール因子は $h_i = \left|\dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\right|$ で定義される。線素は
$$d\boldsymbol{\ell} = h_1\,dq_1\,\mathbf{e}_1 + h_2\,dq_2\,\mathbf{e}_2 + h_3\,dq_3\,\mathbf{e}_3$$体積要素は $dV = h_1 h_2 h_3\,dq_1\,dq_2\,dq_3$
勾配（grad）
$$\nabla f = \displaystyle\sum_{i=1}^{3} \dfrac{1}{h_i}\dfrac{\partial f}{\partial q_i}\,\mathbf{e}_i = \dfrac{1}{h_1}\dfrac{\partial f}{\partial q_1}\,\mathbf{e}_1 + \dfrac{1}{h_2}\dfrac{\partial f}{\partial q_2}\,\mathbf{e}_2 + \dfrac{1}{h_3}\dfrac{\partial f}{\partial q_3}\,\mathbf{e}_3$$
発散（div）
$$\nabla \cdot \mathbf{A} = \dfrac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[\dfrac{\partial(h_2 h_3 A_1)}{\partial q_1} + \dfrac{\partial(h_1 h_3 A_2)}{\partial q_2} + \dfrac{\partial(h_1 h_2 A_3)}{\partial q_3}\right]$$
回転（curl）
$$\nabla \times \mathbf{A} = \dfrac{1}{h_1 h_2 h_3}\begin{vmatrix} h_1\,\mathbf{e}_1 & h_2\,\mathbf{e}_2 & h_3\,\mathbf{e}_3 \\ \dfrac{\partial}{\partial q_1} & \dfrac{\partial}{\partial q_2} & \dfrac{\partial}{\partial q_3} \\ h_1 A_1 & h_2 A_2 & h_3 A_3 \end{vmatrix}$$
ラプラシアン
$$\nabla^2 f = \dfrac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[\dfrac{\partial}{\partial q_1}\!\left(\dfrac{h_2 h_3}{h_1}\dfrac{\partial f}{\partial q_1}\right) + \dfrac{\partial}{\partial q_2}\!\left(\dfrac{h_1 h_3}{h_2}\dfrac{\partial f}{\partial q_2}\right) + \dfrac{\partial}{\partial q_3}\!\left(\dfrac{h_1 h_2}{h_3}\dfrac{\partial f}{\partial q_3}\right)\right]$$
検証: 直交座標は $h_1 = h_2 = h_3 = 1$、円柱座標は $(h_1,h_2,h_3) = (1,\rho,1)$、球座標は $(h_1,h_2,h_3) = (1,r,r\sin\theta)$ を代入すると各座標系の公式が復元される。
5. 公式比較表
| 演算 | 直交座標 $(x,y,z)$ | 円柱座標 $(\rho,\varphi,z)$ | 球座標 $(r,\theta,\varphi)$ |
|---|---|---|---|
| $\nabla f$ | $\dfrac{\partial f}{\partial x}\,\mathbf{e}_x + \dfrac{\partial f}{\partial y}\,\mathbf{e}_y + \dfrac{\partial f}{\partial z}\,\mathbf{e}_z$ | $\dfrac{\partial f}{\partial \rho}\,\mathbf{e}_\rho + \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial f}{\partial \varphi}\,\mathbf{e}_\varphi + \dfrac{\partial f}{\partial z}\,\mathbf{e}_z$ | $\dfrac{\partial f}{\partial r}\,\mathbf{e}_r + \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial f}{\partial \theta}\,\mathbf{e}_\theta + \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial f}{\partial \varphi}\,\mathbf{e}_\varphi$ |
| $\nabla\cdot\mathbf{A}$ | $\dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z}$ | $\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial(\rho A_\rho)}{\partial \rho} + \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z}$ | $\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial(r^2 A_r)}{\partial r} + \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial(\sin\theta\,A_\theta)}{\partial \theta} + \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}$ |
| $\nabla\times\mathbf{A}$ | $\begin{pmatrix} \dfrac{\partial A_z}{\partial y} - \dfrac{\partial A_y}{\partial z} \\[0.3em] \dfrac{\partial A_x}{\partial z} - \dfrac{\partial A_z}{\partial x} \\[0.3em] \dfrac{\partial A_y}{\partial x} - \dfrac{\partial A_x}{\partial y} \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial A_z}{\partial \varphi} - \dfrac{\partial A_\varphi}{\partial z} \\[0.3em] \dfrac{\partial A_\rho}{\partial z} - \dfrac{\partial A_z}{\partial \rho} \\[0.3em] \dfrac{1}{\rho}\!\left(\dfrac{\partial(\rho A_\varphi)}{\partial \rho} - \dfrac{\partial A_\rho}{\partial \varphi}\right) \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} \dfrac{1}{r\sin\theta}\!\left(\dfrac{\partial(\sin\theta\,A_\varphi)}{\partial \theta} - \dfrac{\partial A_\theta}{\partial \varphi}\right) \\[0.3em] \dfrac{1}{r}\!\left(\dfrac{1}{\sin\theta}\dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi} - \dfrac{\partial(r A_\varphi)}{\partial r}\right) \\[0.3em] \dfrac{1}{r}\!\left(\dfrac{\partial(r A_\theta)}{\partial r} - \dfrac{\partial A_r}{\partial \theta}\right) \end{pmatrix}$ |
| $\nabla^2 f$ | $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}$ | $\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial}{\partial \rho}\!\left(\rho\dfrac{\partial f}{\partial \rho}\right) + \dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}$ | $\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\dfrac{\partial f}{\partial r}\right) + \dfrac{1}{r^2\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial \theta}\!\left(\sin\theta\dfrac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \dfrac{1}{r^2\sin^2\theta}\dfrac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}$ |
ベクトルラプラシアンの注意: 曲線座標系では $\nabla^2\mathbf{A}$ は各成分にスカラーラプラシアンを適用するだけでは得られない。直交座標では基底ベクトルが定数なので $\nabla^2\mathbf{A} = (\nabla^2 A_x,\;\nabla^2 A_y,\;\nabla^2 A_z)$ が成り立つが、円柱座標・球座標では基底ベクトルが位置に依存するため、微分すると基底ベクトルの微分項が追加で現れる。具体的な補正項は円柱座標のベクトルラプラシアンを参照。