幾何学 中級

中級の概要

中級では、微分を用いて曲線・曲面の「曲がり具合」を解析する微分幾何学を学ぶ。さらに、局所座標を貼り合わせて構成する多様体の概念、そして位相幾何学（トポロジー）の初歩を扱う。

目次

平面曲線・競技幾何・立体のトピック

高校数学を一歩こえる図形トピック（媒介変数・極座標で表す曲線、競技幾何の定理、多面体・球面幾何）。

関連用語

• モーリーの定理 — モーリーの定理（Morley's trisector theorem）：任意の三角形の各内角の三等分線の隣り合う交点は正三角形をなす。定理の主張・SVG図・証明方針・数値例を解説する。
• デザルグの定理 — デザルグの定理（Desargues' theorem）：透視対応する2つの三角形について、対応頂点を結ぶ直線は1点で交わり、対応辺の交点は1直線上にある。射影幾何の基本定理を解説する。
• パップスの六角形定理 — パップスの六角形定理（Pappus's hexagon theorem）：2直線上の3点ずつから作る六角形の対辺の交点は共線となる。射影幾何の基本定理・証明方針・数値例を解説する。
• パスカルの定理（円錐曲線） — パスカルの定理（Pascal's theorem）：円錐曲線上の6点を結ぶ六角形の対辺の交点は1直線（パスカル線）上に並ぶ。ブリアンションの定理との双対関係・証明方針・数値例を解説する。
• ブリアンションの定理 — ブリアンションの定理（Brianchon's theorem）：円錐曲線に外接する六角形の3本の対角線は1点（ブリアンション点）で交わる。パスカルの定理との双対関係・証明・数値例を解説する。
• フォイエルバッハの定理 — フォイエルバッハの定理（Feuerbach's theorem）：三角形の九点円は内接円と1点で接し、3つの傍接円とそれぞれ1点で接する。定理の主張・九点円・証明方針・数値例を解説する。
• 等角共役点 — 等角共役点（Isogonal Conjugate）：三角形の各頂点での角の二等分線について対称な直線が1点で交わる点
• 垂足三角形 — 垂足三角形（pedal triangle）の定義、作図法、面積公式、シムソン線との極限関係、フォイエルバッハ点・九点円との繋がりを中級レベルで解説する。
• 中点三角形 — 中点三角形（medial triangle）の定義、元の三角形との相似比 1:2、面積が 1/4、九点円との関係、重心・四心との関連を中級レベルで解説する。
• 垂心三角形 — 垂心三角形（orthic triangle）の定義、角の公式（180度 - 2A 等）、鋭角三角形内部での周長最小性（ファニャーノ問題）、光の反射との類推を中級レベルで解説する。
• ブロカール点 — ブロカール点（Brocard points）の定義、ブロカール角 ω の公式 cot ω = cot A + cot B + cot C、存在と一意性、正三角形での特例、等角共役との関係を中級レベルで解説する。
• 等周不等式 — 等周不等式 L^2 >= 4πA の意味（同じ周長なら円が最大面積）、四角形・三角形での具体例、証明の方針（フーリエ解析・シュタイナー対称化）、等号条件を中級レベルで解説する。
• モンジュの定理 — モンジュの定理（Monge's theorem）の主張（平面上の 3 つの円の各ペアの外側相似中心は共線）、射影幾何による直感、三次元解釈による証明、数値例を中級レベルで解説する。
• シュタイナー内接楕円 — シュタイナー内接楕円（Steiner inellipse）の定義（各辺の中点で接する内接楕円）、中心が重心に一致すること、面積公式 π/(3√3)×Δ、最大内接楕円であることを中級レベルで解説する。
• ファニャーノの問題 — ファニャーノの問題（Fagnano's problem）：鋭角三角形に内接する三角形の中で周長が最小なのは垂心三角形であることの主張、シュワルツの鏡像反射法による証明、具体例を中級レベルで解説する。
• 切頂四面体 — 切頂四面体（truncated tetrahedron）の定義、面・辺・頂点の数、オイラーの多面体定理による検証、展開図と体積・表面積の公式を中級レベルで解説する。
• 切頂八面体 — 切頂八面体（truncated octahedron）の定義、面・辺・頂点の数、空間充填多面体としての性質、体積・表面積の公式を中級レベルで解説する。
• 斜方立方八面体 — 斜方立方八面体（rhombicuboctahedron）の定義、面・辺・頂点の数、体積と表面積の公式、ルフィーニのランタンとの関係を中級レベルで解説する。
• 切頂立方八面体 — 切頂立方八面体（truncated cuboctahedron）の定義、面・辺・頂点の数、最大のアルキメデスの立体（立方体系）としての性質、体積と表面積の公式を中級レベルで解説する。
• 変形立方体 — 変形立方体（snub cube）の定義、カイラル性（鏡像体が存在）、面・辺・頂点の数、体積と表面積の公式を中級レベルで解説する。
• 二十・十二面体 — 二十・十二面体（icosidodecahedron）の定義、準正多面体としての性質、面・辺・頂点の数、体積と表面積の公式を中級レベルで解説する。
• 立方八面体 — 立方八面体（cuboctahedron）の定義、面・辺・頂点の数、体積・表面積の公式、準正多面体としての性質を中級レベルで解説する。
• 切頂立方体 — 切頂立方体（truncated cube）の定義、面・辺・頂点の数、体積・表面積の公式をアルキメデスの立体として中級レベルで解説する。
• 菱形十二面体 — 菱形十二面体（rhombic dodecahedron）の定義・性質・体積・表面積の公式、立方八面体の双対・空間充填多面体としての性質を中級レベルで解説する。
• 帯面体 — 帯面体（zonohedron）の定義・性質・構成方法、点対称な面を持つ凸多面体としての特徴を中級レベルで解説する。
• 切頂十二面体 — 切頂十二面体（truncated dodecahedron）の定義、正十角形・正三角形面の構成、面・辺・頂点の数、黄金比との関係、体積と表面積の公式を中級レベルで解説する。
• 切頂二十面体 — 切頂二十面体（truncated icosahedron）の定義・面構成・頂点数・辺数・体積・表面積の公式、サッカーボールやフラーレンC60との関係、数値例を中級レベルで解説する。
• 斜方二十・十二面体 — 斜方二十・十二面体（rhombicosidodecahedron）の定義・面構成・頂点数・辺数・体積・表面積の公式、頂点配列 3.4.5.4、アルキメデス立体としての位置づけを中級レベルで解説する。
• 変形十二面体 — 変形十二面体（snub dodecahedron）の定義・面構成・頂点数・辺数・体積・表面積の公式、カイラリティ（鏡像非同型）、頂点配列 3.3.3.3.5 を中級レベルで解説する。
• 三角化四面体 — 三角化四面体（triakis tetrahedron）の定義・面構成・頂点数・辺数・体積・表面積の公式、カタラン立体・切頂四面体の双対多面体としての位置づけを中級レベルで解説する。
• 四角錐化六面体 — 四角錐化六面体（tetrakis hexahedron）の定義・面構成・頂点数・辺数・体積・表面積の公式、カタラン立体・切頂八面体の双対多面体としての位置づけを中級レベルで解説する。
• 菱形三十面体 — 菱形三十面体（rhombic triacontahedron）の定義・面構成・頂点数・辺数・体積・表面積の公式、黄金比との関係、カタラン立体・二十・十二面体の双対多面体としての位置づけを中級レベルで解説する。
• 五角錐化十二面体 — 五角錐化十二面体（pentakis dodecahedron）の定義・面構成・頂点数・辺数・体積・表面積の公式、カタラン立体・切頂二十面体の双対多面体としての位置づけを中級レベルで解説する。
• 凧形二十四面体 — 凧形二十四面体（deltoidal icositetrahedron）の定義・面の形状・頂点構成・双対多面体・面の数え方と性質を中級レベルで解説する。
• 六二四面体 — 六二四面体（disdyakis dodecahedron）の定義・面の形状・頂点構成・双対多面体である切頂立方八面体との関係・性質を中級レベルで解説する。
• 三角化八面体 — 三角化八面体（triakis octahedron）の定義・面の形状・頂点構成・切頂立方体との双対関係・性質を中級レベルで解説する。
• 小星型十二面体 — 小星型十二面体（small stellated dodecahedron）の定義・星型多面体の概念・面の形状・ケプラー・ポアンソ立体としての性質を中級レベルで解説する。
• 大星型十二面体 — 大星型十二面体（great stellated dodecahedron）の定義・シュレーフリ記号・面の形状・ケプラー・ポアンソ立体としての性質・黄金比との関係を中級レベルで解説する。
• 大十二面体 — 大十二面体（great dodecahedron）の定義・シュレーフリ記号 {5,5/2}・面の形状・ケプラー・ポアンソ多面体の中での位置づけ・双対多面体との関係を中級レベルで解説する。
• 大二十面体 — 大二十面体（great icosahedron）の定義・シュレーフリ記号 {3,5/2}・面の形状・ケプラー・ポアンソ多面体としての性質・大星型十二面体との双対関係・頂点座標を中級レベルで解説する。
• 星型八面体（Stella Octangula） — 星型八面体（ステラ・オクタングラ）の定義、2つの正四面体の複合としての構造、頂点・辺・面の数、体積・表面積の公式、デュアル多面体との関係を解説する。
• デルタ多面体（Deltahedron） — デルタ多面体の定義、8種類の凸デルタ多面体（正四面体・双三角錐・三角反柱・三角両錐・変形双五角錐・変形双六角錐・五角両錐・正二十面体）、辺・面・頂点の性質を解説する。
• 変形双五角錐（Snub Disphenoid） — 変形双五角錐（snub disphenoid）の定義、12枚の正三角形面・8頂点・18辺の構造、頂点座標、ジョンソン多面体としての分類、デルタ多面体としての位置づけを解説する。
• シラッシ多面体（Szilassi Polyhedron） — シラッシ多面体の定義、7枚の六角形面・14頂点・21辺の構造、すべての面が互いに隣接するという特性、七色定理・トーラスとの関係、チャーサール多面体との双対関係を解説する。
• チャーサール多面体（Csaszar Polyhedron） — チャーサール多面体の定義、7頂点・21辺・14三角形面の構造、すべての頂点が互いに辺でつながる特性、トーラス位相・シラッシ多面体との双対関係、頂点座標を解説する。
• スクートイド（Scutoid） — スクートイドの定義、2018年の発見経緯、五角柱と六角柱の間に三角形面を持つ幾何学的特徴、上皮細胞の充填に現れる生物学的役割、頂点・辺・面の数を解説する。
• 測地多面体（Geodesic Polyhedron） — 測地多面体の定義、球面三角分割（frequency・class I/II/III）、頂点数・辺数・面数の公式、フラーの測地ドームとの関係、デュアルとしての Goldberg 多面体を解説する。
• 正四角錐（Square Pyramid） — 正四角錐の定義、頂点・辺・面の構成、体積公式 V=sh/3、表面積、斜辺の長さ、オイラーの多面体公式への適用、ジョンソン立体としての分類を解説する。
• 三角クポラ（Triangular Cupola） — 三角クポラ（ジョンソン立体J3）の定義、頂点・辺・面の構成、体積公式、表面積、対称性、アルキメデス立体との関係を解説する。
• コッホ雪片（Koch Snowflake） — コッホ雪片の定義、構成手順、周長の発散、面積の収束、ハウスドルフ次元 log4/log3、自己相似性、コッホ曲線との関係を解説する。
• シェルピンスキーの三角形（Sierpinski Triangle） — シェルピンスキーの三角形の定義、構成手順、面積の収束（0への収束）、ハウスドルフ次元 log3/log2、カオスゲームによる構成、2項係数との関係を解説する。
• シェルピンスキーのカーペット（Sierpinski Carpet） — シェルピンスキーのカーペットの定義、構成手順、面積のゼロへの収束、ハウスドルフ次元 log8/log3、ユニバーサル平面曲線としての性質を解説する。
• メンガーのスポンジ（Menger Sponge） — メンガーのスポンジの定義、構成手順、体積のゼロへの収束、表面積の無限大への発散、ハウスドルフ次元 log20/log3、ユニバーサル曲線としての性質を解説する。
• ドラゴン曲線（Dragon Curve） — ドラゴン曲線（ハートル–ホイートン曲線）の定義、紙折り手順、LシステムとL-system記述、フラクタル次元2、平面タイリング性、数学的性質を解説する。
• ヒルベルト曲線（Hilbert Curve） — ヒルベルト曲線の定義、再帰的構成法、フラクタル次元が2であること、空間充填曲線としての性質、数値例、応用（画像処理・空間インデックス）を解説する。
• ペアノ曲線（Peano Curve） — ペアノ曲線の定義、3進再帰的構成法、空間充填曲線として単位正方形を覆うこと、フラクタル次元が2であること、歴史的意義と応用を解説する。
• レヴィのC曲線（Levy C Curve） — レヴィのC曲線の定義、再帰的構成法（等辺三角形の置き換え）、フラクタル次元、自己相似タイル充填性、IFSによる記述、数値例を解説する。
• ゴスパー曲線（Gosper Curve） — ゴスパー曲線（フロースネークまたはペアノ曲線の六角形版）の定義、L-システムによる構成法、フラクタル次元、ゴスパーアイランド（六角形の自己相似タイル）の性質を解説する。
• アポロニウスのガスケット（Apollonian Gasket） — アポロニウスのガスケットの定義、デカルトの円定理（ソディの公式）、曲率の再帰的計算、フラクタル次元、整数曲率ガスケット、シェルピンスキーガスケットとの比較を解説する。
• ピタゴラスの木（Pythagoras Tree） — ピタゴラスの木の定義、ピタゴラスの定理に基づく再帰的構成法、フラクタル次元、対称・非対称の変形バリエーション、数値例、応用を解説する。
• ヴィチェックフラクタル（Vicsek Fractal） — ヴィチェックフラクタルの定義、十字型・斜め十字型の再帰的構成法、フラクタル次元（log5/log3）の計算、IFSによる記述、シェルピンスキーカーペットとの比較、物理学への応用を解説する。
• ペンローズ・タイル（Penrose Tiling） — ペンローズ・タイルの定義・2種類のタイルセット（P2・P3）・インフレーション則・5回対称性・準結晶との関係を解説する。
• 壁紙群（Wallpaper Group） — 壁紙群の定義・17種類の分類・回転・鏡映・グライド反射による分類法・結晶学的制限定理・具体的なパターン例を解説する
• 帯模様群（Frieze Group） — 帯模様群の定義・7種類の分類・国際記号・対称要素（平行移動・鏡映・グライド反射・180度回転）・具体的なパターン例を解説する。
• 風車タイル（Pinwheel Tiling） — 風車タイルの定義・1:2:√5直角三角形タイル・辺の向きが稠密に回転する性質・置換則・統計的等方性を解説する
• 正五角錐（Pentagonal Pyramid） — 正五角錐の定義・頂点5+1・辺10・面6のオイラー標数検証・体積・表面積の公式・ジョンソン立体としての分類・内接・外接球を解説する。
• 三角両錐（Triangular Bipyramid） — 三角両錐の定義・頂点5・辺9・面6のオイラー標数検証・体積・表面積の公式・ジョンソン立体J12としての分類・デルタ多面体を解説する。
• 五角両錐（Pentagonal Bipyramid） — 五角両錐の定義・頂点7・辺15・面10の基本要素・体積・表面積の公式・ジョンソン立体J13・デルタ多面体・正二十面体との関係を解説する。
• 四角クポラ（Square Cupola） — 四角クポラの定義、面・辺・頂点の数、対称性、展開図、ジョンソン立体としての分類、双対多面体、応用を解説する
• 五角クポラ（Pentagonal Cupola） — 五角クポラの定義、面・辺・頂点の数、座標と体積の公式、対称性、斜方二十・十二面体との関係、ジョンソン立体J5としての性質を解説する。
• 五角ロタンダ（Pentagonal Rotunda） — 五角ロタンダの定義、面・辺・頂点の数、体積の公式、対称性、斜方二十・十二面体や二十面体との関係、ジョンソン立体J6としての性質を解説する。
• ねじれ双三角柱（Gyrobifastigium） — ねじれ双三角柱（Gyrobifastigium）の定義、面・辺・頂点の数、体積の公式、対称性、空間充填多面体としての性質、ジョンソン立体J26としての位置づけを解説する。
• ゴールドバーグ多面体（Goldberg Polyhedron） — ゴールドバーグ多面体の定義、GP(h,k)記法、面・辺・頂点の数え方、サッカーボールとの関係、ウイルス殻やフラーレンへの応用を解説する。
• 5つの立方体の複合（Compound of Five Cubes） — 5つの立方体の複合の定義、正十二面体との関係、正二十面体対称群 I_h、面・辺・頂点の数、凸包、双対多面体を解説する
• 5つの四面体の複合（Compound of Five Tetrahedra） — 5つの四面体の複合の定義、正十二面体・正二十面体との関係、カイラル性と正二十面体回転対称群 I、面・辺・頂点の数、双対多面体（5つの逆四面体の複合）を解説する。
• 一様多面体（Uniform Polyhedron） — 一様多面体の定義（頂点推移性と正多角形面）、プラトン立体・アルキメデス立体・プリズム・反プリズムの分類、シュレーフリ記号、双対多面体との関係を解説する。
• 空間充填多面体（Space-Filling Polyhedron） — 空間充填多面体の定義、充填条件（面対面接触・隙間なし・重なりなし）、立方体・切頂八面体・菱形十二面体などの主要例、ケルビン問題とワイア・フェラン構造を解説する。
• バーンスリーのシダ（Barnsley Fern） — バーンスリーのシダの定義、4つのアフィン収縮写像によるIFS（反復関数系）の構成、アトラクタとしての自己相似性、カオスゲームによる描画法、フラクタル次元を解説する。
• コッホ曲線（Koch Curve） — コッホ曲線の構成手順、自己相似性、フラクタル次元（log4/log3）、長さが無限大になる理由、コッホ雪片との関係を解説する。
• T正方形フラクタル（T-Square Fractal） — T正方形フラクタル（T-Square fractal）の構成手順、自己相似性、フラクタル次元が2になる理由、面積収束の計算、関連するフラクタルとの比較を解説する。
• H木フラクタル（H Tree） — H木フラクタルの構成手順、H字形分岐の繰り返しによる自己相似構造、フラクタル次元が2になる理由、集積回路・VLSI設計での応用を解説する。
• ボックスカウント次元（Box-Counting Dimension） — ボックスカウント次元（ミンコフスキー次元）の定義、格子被覆法による計算手順、コッホ曲線・シェルピンスキーの三角形などへの具体的な適用、ハウスドルフ次元との関係を解説する。
• Lシステム（L-System） — Lシステム（Lindenmayer system）の定義、アルファベット・公理・書き換え規則、タートルグラフィクスによる幾何図形生成、コッホ曲線・シェルピンスキー三角形・植物モデルへの応用を解説する。
• 反復関数系（Iterated Function System） — 反復関数系（IFS）の定義、縮小写像・バナッハの不動点定理による吸引子の存在、コラージュ定理、バーンスリーのシダ・シェルピンスキー三角形への応用、フラクタル圧縮との関係を解説する。
• カオスゲーム（Chaos Game） — カオスゲーム（Chaos Game）の定義、確率的アルゴリズム、シェルピンスキー三角形・ペンタゴンフラクタルへの応用、反復関数系との関係、収束の証明を解説する。
• 非周期タイル張り（Aperiodic Tiling） — 非周期タイル張りの定義、準周期性、ペンローズタイル・アインシュタイン・タイルなどの代表例、強制性（forcing）の概念、準結晶との関係を解説する。
• トルシェタイル（Truchet Tiles） — トルシェタイル（Truchet Tiles）の定義、正方タイルの2方向配置による接続パターン生成、Smith弧タイルへの拡張、ランダム生成・パーコレーション・コンピュータグラフィクスへの応用を解説する。
• アインシュタイン・タイル（Einstein Tile） — アインシュタイン・タイル（Einstein tile）の定義、2023年発見の帽子タイル（hat）と亀タイル（turtle）、鏡映を除く場合のスペクター（spectre）タイル、非周期タイル集合との違いを解説する。
• シュワルツの三角形（Schwarz Triangle） — シュワルツの三角形（Schwarz triangle）の定義、球面・平面・双曲面上の三角分割、シュワルツの三角形記号(p q r)、反射群との対応、シュワルツ・クリストッフェル写像への応用を解説する。
• 五芒星（Pentagram） — 五芒星（ペンタグラム）の定義・正確な作図法・内角の和・黄金比との関係・星型多角形としての分類・歴史的応用を解説する
• 六芒星（Hexagram） — 六芒星（ヘキサグラム）の定義・シュレーフリ記号・内角の和・正三角形2つの重ね合わせ・面積比・幾何学的性質を解説する
• 星型多角形（Star Polygon） — 星型多角形の定義・シュレーフリ記号 {n/k} による分類・先端角の公式・正則性の条件・五芒星や六芒星との関係を解説する。
• 台形多面体（Trapezohedron） — 台形多面体（トラペゾヘドロン）の定義・双対多面体（反角柱との関係）・面の形状・頂点数・辺数・面数（オイラーの公式）・具体例を解説する。

読み物

前提知識

• 幾何学 初級の内容
• 多変数微積分（偏微分、重積分、ベクトル解析）
• 線形代数（固有値、双線形形式）
• 位相空間の基礎概念

曲率の概念