正弦螺旋

Q: 正弦螺旋とは何か

極座標で rⁿ = aⁿ sin(nθ) と表される曲線族の総称である。指数 n の値によってレムニスケート（n=2）、円（n=1）、直線（n=-1）、直角双曲線（n=-2）などの古典的曲線が特殊形として現れる。

Q: n=2 のとき正弦螺旋はどのような曲線か

r² = a² sin(2θ) はベルヌーイのレムニスケートに一致する。この曲線は8の字形で、2つの焦点からの距離の積が一定という性質をもつ。

Q: 正弦螺旋の曲率半径はどう表されるか

正弦螺旋 rⁿ = aⁿ sin(nθ) の曲率半径は ρ = aⁿ / ((n+1)·rⁿ⁻¹) で表される。特に n=1（円）のとき曲率半径は一定値 a/2 になる。

Sinusoidal Spiral

中級（高校数学〜学部初年）

このページの目標

正弦螺旋の極座標方程式 $r^n = a^n \sin(n\theta)$ を理解し、指数 $n$ によって現れる古典的曲線の特殊形を把握する。

1. 定義と極座標方程式

正弦螺旋の定義

定数 $a > 0$、実数 $n \neq 0$ に対して極座標 $(r, \theta)$ で

$$r^n = a^n \sin(n\theta) \tag{1}\label{eq:def}$$

と表される曲線を正弦螺旋という。$\sin$ を $\cos$ に置き換えた $r^n = a^n \cos(n\theta)$ も同族の曲線で、$\theta$ を $\pi/(2n)$ だけ回転した形になる。

スコットランドの数学者 Colin Maclaurin（1698–1746）が研究したことから「マクローリンの螺旋」とも呼ばれる。

名称に「螺旋」とあるが、$n$ の値によっては円・直線・双曲線などになり、一般には螺旋状の曲線とは限らない。

図1: 正弦螺旋の一例。正の整数 $n$ では曲線は $n$ 枚の花弁をもつ（図は $n=3$）。指数 $n$ を変えると、円・放物線・双曲線などの古典曲線が次々に現れる。

2. 特殊形の一覧

指数 $n$ を変えると、古典的な曲線が次々に現れる。代表的な $n$ について、極座標方程式 $\eqref{eq:def}$ がどの曲線に帰着するかを、式の導出とグラフとともに見ていく。

以下の導出では、極座標 $(r,\theta)$ と直交座標 $(x,y)$ を結ぶ次の関係を繰り返し用いる（図2）。

$$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta \tag{2}\label{eq:xy}$$

これは、原点からの距離 $r$ と $x$ 軸から測った角 $\theta$ で点の位置を表す極座標を、直交座標へ翻訳する基本式である。

図2: 極座標 $(r,\theta)$ と直交座標 $(x,y)$ の関係。点 P は原点 O から距離 $r$、$x$ 軸となす角 $\theta$ の位置にあり、直角三角形 OQP から $x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$ が得られる。

$n = -2$：直角双曲線

式 $\eqref{eq:def}$ で $n=-2$ とおくと $r^{-2} = a^{-2}\sin(-2\theta)$。奇関数の性質 $\sin(-2\theta) = -\sin 2\theta$ から $r^{-2} = -a^{-2}\sin 2\theta$、すなわち $\dfrac{1}{r^2} = -\dfrac{\sin 2\theta}{a^2}$。両辺に $a^2 r^2$ を掛けて整理すると、左辺の $r^{-2}$ が右辺へ移って $r^2\sin 2\theta = -a^2$ となる。さらに倍角公式 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ と関係式 $\eqref{eq:xy}$ を使うと

$$r^2\sin 2\theta = r^2\cdot 2\sin\theta\cos\theta = 2(r\cos\theta)(r\sin\theta) = 2xy$$

となるので $2xy = -a^2$、すなわち $xy = -\dfrac{a^2}{2}$。これは「$xy=$ 一定」の形で、座標軸を漸近線とする直角双曲線（漸近線が直交する双曲線）である。曲線は第2・第4象限に現れる。

図3: $n=-2$ は直角双曲線 $xy = -a^2/2$。座標軸を漸近線とする。

$n = -1$：直線

式 $\eqref{eq:def}$ で $n=-1$ とおくと $r^{-1} = a^{-1}\sin(-\theta) = -a^{-1}\sin\theta$。よって $r\sin\theta = -a$、関係式 $\eqref{eq:xy}$ より $y = -a$。原点から一定の距離にある直線である（$\cos$ 版では $x = a$ の鉛直線）。曲率が恒等的にゼロになる特別な場合である。

図4: $n=-1$ は直線 $y = -a$。

$n = -1/2$：放物線

式 $\eqref{eq:def}$ で $n=-1/2$ とおくと $r^{-1/2} = a^{-1/2}\sin(-\theta/2)$。両辺を2乗して整理すると $r = \dfrac{a}{\sin^2(\theta/2)} = \dfrac{2a}{1-\cos\theta}$。これは焦点を原点にもつ離心率 $e = 1$ の円錐曲線、すなわち放物線の極方程式である。

図5: $n=-1/2$ は放物線 $r = 2a/(1-\cos\theta)$（焦点が原点）。

$n = 1/2$：カージオイド

式 $\eqref{eq:def}$ で $n=1/2$ とおくと $r^{1/2} = a^{1/2}\sin(\theta/2)$。両辺を2乗して $r = a\sin^2(\theta/2) = \dfrac{a}{2}(1-\cos\theta)$。1つの尖点をもつ心臓形＝カージオイドになる。固定円に外接して同じ半径の円を転がしたとき、円周上の点が描く軌跡でもある。

図6: $n=1/2$ はカージオイド $r = \frac{a}{2}(1-\cos\theta)$。尖点が原点にある。

$n = 1$：円

式 $\eqref{eq:def}$ で $n=1$ とおくと $r = a\sin\theta$。両辺に $r$ をかけると $r^2 = a r\sin\theta$。$r^2 = x^2+y^2$ と関係式 $\eqref{eq:xy}$（$y = r\sin\theta$）より $x^2 + y^2 = a y$、すなわち $x^2 + \left(y - \dfrac{a}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2$。中心 $\left(0, \dfrac{a}{2}\right)$、半径 $\dfrac{a}{2}$ で原点を通る円である。

図7: $n=1$ は原点を通る円 $x^2 + (y-a/2)^2 = (a/2)^2$。

$n = 2$：ベルヌーイのレムニスケート

式 $\eqref{eq:def}$ で $n=2$ とおくと $r^2 = a^2\sin 2\theta$。$r^2 = x^2 + y^2$ と、関係式 $\eqref{eq:xy}$ から得られる $r^2\sin 2\theta = 2xy$ より $(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 xy$。8 の字形のベルヌーイのレムニスケートで、2 定点（焦点）からの距離の積が一定という性質をもつ。

図8: $n=2$ はベルヌーイのレムニスケート $(x^2+y^2)^2 = 2a^2xy$。

このように、$n$ が正の整数のとき曲線は $n$ 枚の花弁をもち（図1 の $n=3$ がその例）、$n$ が分数 $p/q$（既約）のときは形がより複雑になる。$\sin$ を $\cos$ に置き換えると、同じ曲線が原点まわりに回転して現れる。

ギャラリー

次の一覧は、$n = p/4$ として整数 $p$ を $-8$ から $8$ まで動かしたときの形の変化をまとめたものである（$p=0$ は $r=0$ となって退化するため除く）。$p$ が $4$ の倍数（$n$ が整数）のときは前述の古典曲線が、それ以外では花弁状（$n>0$）や非有界な曲線（$n<0$）が現れる。

$n = -2$

$n = -\tfrac{7}{4}$

$n = -\tfrac{3}{2}$

$n = -\tfrac{5}{4}$

$n = -1$

$n = -\tfrac{3}{4}$

$n = -\tfrac{1}{2}$

$n = -\tfrac{1}{4}$

$n = \tfrac{1}{4}$

$n = \tfrac{1}{2}$

$n = \tfrac{3}{4}$

$n = 1$

$n = \tfrac{5}{4}$

$n = \tfrac{3}{2}$

$n = \tfrac{7}{4}$

$n = 2$

図9: $n = p/4$（$-8 \le p \le 8$、$p \neq 0$）のときの正弦螺旋 $r^n = a^n\sin(n\theta)$。各セルの $n$ は既約分数で示す。全セル同一スケールで、$|n|$ が大きいほど（特に $n<0$）非有界な枝が外側へ伸びる。

3. 曲率

正弦螺旋の曲率

正弦螺旋 $r^n = a^n \sin(n\theta)$ の曲率半径 $\rho$ は

$$\rho = \frac{a^n}{(n+1)\,r^{n-1}} \tag{3}\label{eq:rho}$$

と表される（$n \neq -1$）。この曲率半径の公式は正弦螺旋（マクローリン螺旋）の古典的な結果として知られている。

$n=1$（円）の確認

$r = a\sin\theta$ は半径 $a/2$ の円。式 $\eqref{eq:rho}$ より $\rho = a/(2 \cdot r^0) = a/2$（定曲率）。円の曲率半径 $a/2$ に一致する。

$n=2$（レムニスケート）の曲率半径

式 $\eqref{eq:rho}$ より $\rho = a^2/(3r)$。最大 $r = a$ のとき $\rho = a/3$。頂点での曲率半径は $a/3$ である。

よくある質問

Q1. 正弦螺旋とは何か