第1章: 曲線論
曲線の局所的性質を解析する
このページの目標
空間曲線の曲率と捩率を定義し、フレネ・セレの公式を導く。曲線の局所的形状を数学的に記述する方法を学ぶ。
1. 正則曲線と弧長パラメータ
定義：正則曲線
$\mathbb{R}^3$ の曲線 $\gamma: I \to \mathbb{R}^3$ が正則であるとは：
$$\gamma'(t) \neq 0 \quad (\forall t \in I)$$定義：弧長パラメータ
曲線の弧長 $s(t) = \displaystyle\int_{t_0}^{t} |\gamma'(u)| du$ を用いてパラメータを取り直すと：
$$\left|\dfrac{d\gamma}{ds}\right| = 1$$このような $s$ を弧長パラメータという。
2. 曲率
定義：曲率
弧長パラメータ $s$ で表された曲線 $\gamma(s)$ の曲率：
$$\kappa(s) = \left|\dfrac{d^2\gamma}{ds^2}\right| = \left|\dfrac{d\mathbf{t}}{ds}\right|$$ここで $\mathbf{t} = d\gamma/ds$ は単位接ベクトル。
直感的には、半径 $R$ の円は曲率 $\kappa = 1/R$ をもつ。すなわち曲率は「曲がりの強さ」（曲率半径 $R$ の逆数）を表し、直線は $\kappa = 0$、急なカーブほど $\kappa$ は大きい。
定理：曲率の計算公式
一般のパラメータ $t$ で表された曲線 $\gamma(t)$ の曲率：
$$\kappa = \dfrac{|\gamma' \times \gamma''|}{|\gamma'|^3}$$平面曲線 $(x(t), y(t))$ では：
$$\kappa = \dfrac{|x'y'' - x''y'|}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}$$3. フレネ標構
定義：フレネ標構
空間曲線に沿った正規直交基底：
- 接ベクトル：$\mathbf{t} = \dfrac{d\gamma}{ds}$
- 主法線ベクトル：$\mathbf{n} = \dfrac{1}{\kappa}\dfrac{d\mathbf{t}}{ds}$
- 従法線ベクトル：$\mathbf{b} = \mathbf{t} \times \mathbf{n}$
4. 捩率とフレネ・セレの公式
定義：捩率
曲線が接触平面（$\mathbf{t}$ と $\mathbf{n}$ が張る平面）から「ねじれる」度合いを表す捩率：
$$\tau = -\dfrac{d\mathbf{b}}{ds} \cdot \mathbf{n}$$平面内に収まる曲線（直線・円・放物線など）では $\tau = 0$ である。曲線が接触平面から立体的にねじれて初めて $\tau \neq 0$ となる（例：下記のらせん）。
定理：フレネ・セレの公式
$$\dfrac{d}{ds}\begin{pmatrix} \mathbf{t} \\ \mathbf{n} \\ \mathbf{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{t} \\ \mathbf{n} \\ \mathbf{b} \end{pmatrix}$$定理：曲線の基本定理
曲率 $\kappa(s) > 0$ と捩率 $\tau(s)$ が与えられたとき、これらを曲率・捩率に持つ空間曲線が（合同変換を除いて）一意に存在する。
例：らせん曲線
$\gamma(t) = (a\cos t, a\sin t, bt)$ の曲率と捩率：
$$\kappa = \dfrac{a}{a^2 + b^2}, \quad \tau = \dfrac{b}{a^2 + b^2}$$両方とも定数なので、らせんは「曲がり方とねじれ方が一様」な曲線。
まとめ
この章のポイント
- 曲率 κ：曲線の「曲がり具合」（曲率半径の逆数）
- 捩率 τ：曲線の「ねじれ具合」
- フレネ標構：{t, n, b} の正規直交基底
- 基本定理：κ, τ で曲線が（合同を除き）決まる
よくある質問
Q1. フレネ・セレの公式は何を記述するものか
フレネ・セレの公式は、正則曲線の接ベクトル $\mathbf{t}$・主法線ベクトル $\mathbf{n}$・従法線ベクトル $\mathbf{b}$ が弧長 $s$ に関してどう変化するかを $\mathbf{t}'=\kappa\mathbf{n}$, $\mathbf{n}'=-\kappa\mathbf{t}+\tau\mathbf{b}$, $\mathbf{b}'=-\tau\mathbf{n}$ と表す。曲率 $\kappa$（$\kappa>0$）と捩率 $\tau$ が、適切な正則性条件の下で曲線を（合同変換を除いて）完全に決定する。
Q2. 弧長パラメータを使う利点は何か
弧長パラメータ $s$ を使うと速さ $|\gamma'(s)|=1$ が保証され、曲率 $\kappa=|\gamma''(s)|$ が直接求まる。任意のパラメータ $t$ では $\kappa=|\gamma'\times\gamma''|/|\gamma'|^3$ という煩雑な式になる。弧長パラメータは曲線の内在的な性質（パラメータの取り方によらない性質）を論じるのに標準的である。
Q3. 閉曲線の回転数（turning number）とは何か
平面閉曲線が一周する間に接線ベクトルが回転する全角度を $2\pi$ で割った整数を回転数（または回転指数）という。単純閉曲線（自己交差なし）の回転数は $\pm 1$（ホップの定理）で、符号は向きによる。位相幾何学的な不変量であり、結び目理論の基礎になる。