Sici 螺旋

Q: Sici 螺旋とは何か

正弦積分 Si(t) と余弦積分 Ci(t) をそれぞれ x 座標・y 座標とするパラメータ曲線 (x,y)=(Si(t), Ci(t)) を Sici 螺旋という。t が 0 から無限大に向かうにつれ、曲線は点 (pi/2, 0) に螺旋状に近づく。

Q: 正弦積分 Si(t) と余弦積分 Ci(t) とは何か

正弦積分は Si(t) = integral from 0 to t of (sin u)/u du、余弦積分は Ci(t) = -integral from t to infinity of (cos u)/u du（または積分定数付きの形）で定義される特殊関数である。どちらも sinc 関数の積分に由来し、光学・信号処理で現れる。

Q: Sici 螺旋はコルニュ螺旋とどう違うか

コルニュ螺旋（Cornu spiral）は Fresnel 積分 (C(t), S(t)) をパラメータとする曲線で、曲率が弧長に比例する。Sici 螺旋は正弦積分・余弦積分を使い、同様にループ状に収束するが曲率の変化則が異なる。どちらも波動光学や回折の計算に登場する。

Sici Spiral

中級（大学教養レベル）

このページの目標

Sici 螺旋のパラメータ方程式 $(x,y) = (\mathrm{Si}(t),\, \mathrm{Ci}(t))$ を理解し、正弦積分・余弦積分の定義と、曲線が極限点に螺旋状に収束する挙動を把握する。

1. 定義と積分関数

Sici 螺旋は、正弦積分（Si）と余弦積分（Ci）を座標とするパラメータ曲線として定義される。

正弦積分と余弦積分

$$\begin{aligned} \mathrm{Si}(t) &= \int_0^t \frac{\sin u}{u}\,du \\ \mathrm{Ci}(t) &= -\int_t^\infty \frac{\cos u}{u}\,du = \gamma + \ln t + \int_0^t \frac{\cos u - 1}{u}\,du \end{aligned}$$

ここで $\gamma \approx 0.5772$ はオイラー・マスケローニ定数。

Sici 螺旋のパラメータ方程式

$$x(t) = \mathrm{Si}(t), \quad y(t) = \mathrm{Ci}(t) \quad (t > 0)$$

$\mathrm{Si}(t)$

$\mathrm{Ci}(t)$

$\left(\tfrac{\pi}{2},\,0\right)$

$t\to 0^+$

$\mathrm{Ci}\to-\infty$

図1: Sici 螺旋 $(\mathrm{Si}(t),\,\mathrm{Ci}(t))$ の概形。$t \to 0^+$ では $\mathrm{Si}\to 0,\ \mathrm{Ci}\to-\infty$（$y$ 軸に沿って下方へ）、$t \to \infty$ で点 $(\pi/2,\, 0)$ に螺旋状に収束する。

2. 性質

主な性質

極限点： $t \to +\infty$ のとき $(x,y) \to (\pi/2,\, 0)$。
$t \to 0^+$： $\mathrm{Si}(0) = 0$、$\mathrm{Ci}(t) \to -\infty$（$y$ 軸に沿って負の無限遠へ伸びる）。
接線方向： $dx/dt = \sin t / t$、$dy/dt = \cos t / t$ から、接線の傾きは $\tan(\text{角度}) = \cos t / \sin t = \cot t$。
ループ： $\sin t = 0$（$t = n\pi$）で $x$ の極値、$\cos t = 0$ で $y$ の極値が現れ、曲線は振動しながら極限点に収束する。

3. 数値例

代表的な $t$ での値

$t$	$\mathrm{Si}(t)$	$\mathrm{Ci}(t)$
$\pi/2 \approx 1.571$	$1.371$	$0.472$
$\pi \approx 3.142$	$1.852$	$0.074$
$2\pi \approx 6.283$	$1.418$	$-0.023$
$\infty$	$\pi/2 \approx 1.571$	$0$

$\mathrm{Si}(t)$ は $\pi/2$ の周りで振動しながら収束し、$\mathrm{Ci}(t)$ は $0$ に収束する。

よくある質問

Q1. Sici 螺旋とは何か

正弦積分 $\mathrm{Si}(t)$ と余弦積分 $\mathrm{Ci}(t)$ をそれぞれ $x$ 座標・$y$ 座標とするパラメータ曲線 $(x,y)=(\mathrm{Si}(t),\mathrm{Ci}(t))$ を Sici 螺旋という。$t$ が $0$ から無限大に向かうにつれ、曲線は点 $(\pi/2, 0)$ に螺旋状に近づく。

Q2. 正弦積分 Si(t) と余弦積分 Ci(t) とは何か

正弦積分は $\displaystyle \mathrm{Si}(t) = \int_0^t (\sin u)/u\,du$、余弦積分は $\displaystyle \mathrm{Ci}(t) = -\int_t^\infty (\cos u)/u\,du$ で定義される特殊関数である。どちらも sinc 関数の積分に由来し、光学・信号処理で現れる。

Q3. Sici 螺旋はコルニュ螺旋とどう違うか

コルニュ螺旋（Cornu spiral）は Fresnel 積分 $(C(t), S(t))$ をパラメータとする曲線で、曲率が弧長に比例する。Sici 螺旋は正弦積分・余弦積分を使い、同様にループ状に収束するが曲率の変化則が異なる。どちらも波動光学や回折の計算に登場する。