黄金長方形

Golden Rectangle

中級（高校数学〜学部初年）

黄金長方形の定義と黄金比 $\varphi$ との関係を理解し、正方形を取り除くと相似な長方形が残る自己相似性や黄金らせんを把握する。

1. 黄金長方形とは

黄金長方形（golden rectangle）とは、辺の比が黄金比 $\varphi:1$ になっている長方形である。

黄金比：

$$\varphi = \dfrac{1+\sqrt5}{2} \approx 1.618$$

長辺 $L$ と短辺 $W$ が $\dfrac{L}{W}=\varphi$ を満たすとき、その長方形を黄金長方形という。

図1: 黄金長方形（長辺 : 短辺 = $\varphi$ : 1）。青が短辺を一辺とする正方形、オレンジが残りの長方形。

黄金長方形から短辺を一辺とする正方形を取り除くと、残った長方形もまた黄金長方形になる。これは黄金比の定義式

$$\varphi = 1 + \dfrac{1}{\varphi}, \qquad \text{すなわち}\quad \varphi^2 = \varphi + 1$$

に対応する。正方形を取り除く操作はいくらでも繰り返せ、相似な黄金長方形が無限に入れ子になる。

図2: 正方形を取り除く操作を繰り返すと、相似な黄金長方形が無限に入れ子になる。色付きの枠が入れ子の黄金長方形で、黒い点が収束点。

黄金らせん：$90^\circ$ 回るごとに半径が $\varphi$ 倍になる対数らせん $r = a\,\varphi^{2\theta/\pi}$ の特殊な場合である。入れ子の正方形に四分円を描き継ぐと、これを近似する曲線が得られる（図3）。ただし、四分円をつないだ曲線自体は対数らせんではなく、その近似にすぎない。

図3: 入れ子の正方形に四分円を継いだ曲線（オレンジ）と、本物の黄金らせん（青）。黄金らせんは $90^\circ$ ごとに半径が $\varphi$ 倍になる対数らせんで、四分円のつなぎはこれをよく近似する。

フィボナッチ数列：隣り合うフィボナッチ数の比 $\dfrac{F_{n+1}}{F_n}$ は $\varphi$ に収束する。そのため、連続するフィボナッチ数を辺とする長方形（フィボナッチ長方形）の縦横比は黄金比に近づき、形は黄金長方形に近づく。

辺の比が黄金比 φ=(1+√5)/2≈1.618 になっている長方形のこと。長辺と短辺の比が φ:1 を満たす。

黄金長方形から短辺を一辺とする正方形を取り除くと、残りも黄金長方形になる（自己相似性）。これは φ²=φ+1 という黄金比の性質に対応し、操作を無限に繰り返せる。

黄金らせんは、90°回るごとに半径が黄金比 φ（≈1.618）倍になる対数らせんである。入れ子の正方形に四分円を描き継ぐと、この黄金らせんをよく近似する曲線が得られる。黄金長方形の自己相似構造から自然に生じる。