ベクトル解析の積分定理
Integral Theorems of Vector Calculus
目次
1. 線積分・面積分・体積積分の復習
線積分（Line Integral）
ベクトル場 $\mathbf{A}$ の曲線 $C$ に沿った線積分は
$$\displaystyle\int_C \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}$$で定義される。ここで $d\mathbf{l}$ は曲線 $C$ の微小接線ベクトルである。曲線 $C$ が $\mathbf{r}(t)$ $(a \le t \le b)$ でパラメトライズされるとき
$$\displaystyle\int_C \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} = \displaystyle\int_a^b \mathbf{A}(\mathbf{r}(t)) \cdot \dfrac{d\mathbf{r}}{dt}\, dt$$物理的には、力場 $\mathbf{A}$ が質点を曲線 $C$ に沿って移動させるときの仕事量に対応する。
面積分（Surface Integral）
ベクトル場 $\mathbf{A}$ の曲面 $S$ を通る面積分は
$$\iint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}$$で定義される。ここで $d\mathbf{S} = \hat{\mathbf{n}}\, dS$ は法線方向の面積要素ベクトルである。曲面が $\mathbf{r}(u, v)$ でパラメトライズされるとき
$$d\mathbf{S} = \left( \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right) du\, dv$$面積分の値は曲面の向き（法線の向き）に依存する。閉曲面では通常、外向き法線を正とする。
体積積分（Volume Integral）
スカラー場 $f$ の領域 $V$ 上の体積積分は
$$\iiint_V f\, dV$$で定義される。直交座標では $dV = dx\, dy\, dz$ である。
2. 発散定理（ガウスの定理）
発散定理（Divergence Theorem / Gauss's Theorem） 証明
$V$ を区分的に滑らかな閉曲面 $S = \partial V$ で囲まれた有界領域とし、$\mathbf{A}$ を $V$ 上で $C^1$ 級のベクトル場とする。このとき
$$\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{A})\, dV = \iint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \oint_S \mathbf{A} \cdot \hat{\mathbf{n}}\, dS$$ここで $\hat{\mathbf{n}}$ は $S$ の外向き単位法線ベクトルである。
物理的解釈
閉曲面 $S$ を通るベクトル場の全フラックス（右辺）は、内部の湧き出し（発散）の総量（左辺）に等しい。
- $\nabla \cdot \mathbf{A} > 0$ の点は「湧き出し」（source）
- $\nabla \cdot \mathbf{A} < 0$ の点は「吸い込み」（sink）
流体力学では、閉曲面から流出する流体の正味流量が内部の湧き出し量に一致することを意味する。
系（Corollaries）
勾配形式 証明
スカラー場 $f$ に対して
$$\iiint_V \nabla f\, dV = \oint_S f\, d\mathbf{S}$$回転形式 証明
ベクトル場 $\mathbf{A}$ に対して
$$\iiint_V (\nabla \times \mathbf{A})\, dV = \oint_S (d\mathbf{S} \times \mathbf{A})$$応用：ガウスの法則
電磁気学への応用
マクスウェル方程式の一つ $\nabla \cdot \mathbf{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$ に発散定理を適用すると
$$\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\, dV = \dfrac{Q}{\varepsilon_0}$$これはガウスの法則の積分形であり、閉曲面を通る電場のフラックスが内部の全電荷 $Q$ に比例することを述べている。
グリーンの恒等式
グリーンの第一恒等式（Green's First Identity） 証明
$\mathbf{A} = f \nabla g$ と置いて発散定理を適用すると
$$\iiint_V \left( f \nabla^2 g + \nabla f \cdot \nabla g \right) dV = \oint_S f (\nabla g) \cdot d\mathbf{S}$$グリーンの第二恒等式（Green's Second Identity） 証明
第一恒等式で $f$ と $g$ を入れ替えたものを引くと
$$\iiint_V \left( f \nabla^2 g - g \nabla^2 f \right) dV = \oint_S \left( f \nabla g - g \nabla f \right) \cdot d\mathbf{S}$$この恒等式は偏微分方程式（ラプラス方程式・ポアソン方程式）の解の一意性証明やグリーン関数の構成に用いられる。
3. ストークスの定理
ストークスの定理（Stokes' Theorem） 証明
$S$ を区分的に滑らかな有向曲面、$C = \partial S$ をその境界曲線とし、$\mathbf{A}$ を $S$ 上で $C^1$ 級のベクトル場とする。このとき
$$\iint_S (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}$$物理的解釈
曲面 $S$ を貫く回転（curl）のフラックス（左辺）は、境界曲線 $C$ に沿ったベクトル場の循環（circulation, 右辺）に等しい。
直感的には、渦の強さの総計がその縁を一周する流れに一致するということである。
向きの規約：右手の法則
曲面 $S$ の法線ベクトル $\hat{\mathbf{n}}$ の向きと境界曲線 $C$ の周回方向は右手の法則で対応づける。すなわち、右手の親指を $\hat{\mathbf{n}}$ の方向に立てたとき、残りの指が $C$ の正の周回方向を指す。
系（Corollary）
スカラー形式
スカラー場 $f$ に対して
$$\iint_S (d\mathbf{S} \times \nabla) f = \oint_C f\, d\mathbf{l}$$応用：ファラデーの法則
電磁誘導の法則
マクスウェル方程式 $\nabla \times \mathbf{E} = -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ にストークスの定理を適用すると
$$\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\dfrac{\partial}{\partial t} \iint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = -\dfrac{\partial \Phi_B}{\partial t}$$これはファラデーの電磁誘導の法則の積分形であり、閉回路に生じる起電力が磁束 $\Phi_B$ の時間変化率に等しいことを述べている。
保存場との関係
保存場（Conservative Field）
$\nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{0}$ ならば、ストークスの定理より任意の閉曲線 $C$ に対して
$$\oint_C \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} = 0$$このとき $\mathbf{A}$ は保存場（渦なし場）であり、スカラーポテンシャル $\phi$ が存在して $\mathbf{A} = -\nabla \phi$ と書ける。線積分が経路に依存しないことも同値な条件である。
4. グリーンの定理
グリーンの定理（Green's Theorem） 証明
$D$ を $xy$ 平面上の有界閉領域、$C = \partial D$ をその境界（正の向き＝反時計回り）とし、$P(x,y)$, $Q(x,y)$ を $D$ 上で $C^1$ 級とする。このとき
$$\oint_C (P\, dx + Q\, dy) = \iint_D \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) dA$$ストークスの定理との関係
グリーンの定理は、ストークスの定理の2次元特殊ケースである。ベクトル場 $\mathbf{A} = (P, Q, 0)$、曲面 $S$ を $xy$ 平面上の領域 $D$（法線は $\hat{\mathbf{z}}$）とすると
$$(\nabla \times \mathbf{A}) \cdot \hat{\mathbf{z}} = \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}$$であり、ストークスの定理がそのままグリーンの定理に帰着する。
面積の計算への応用
面積公式
$P = -y/2$, $Q = x/2$ と置くと $\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} = 1$ であるから
$$A = \iint_D dA = \dfrac{1}{2} \oint_C (x\, dy - y\, dx)$$この公式は、閉曲線の境界線積分から囲まれた領域の面積を直接計算できる。測量やコンピュータグラフィックスにおける多角形の面積計算に利用される。
応用例：楕円の面積
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ をパラメトライズ $x = a\cos t$, $y = b\sin t$ $(0 \le t \le 2\pi)$ とすると
$$A = \dfrac{1}{2} \oint_C (x\, dy - y\, dx) = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^{2\pi} (ab\cos^2 t + ab\sin^2 t)\, dt = \pi ab$$5. 定理間の関係
一般化ストークスの定理
三つの積分定理はいずれも一般化ストークスの定理（微分形式の言葉では $\displaystyle\int_M d\omega = \displaystyle\int_{\partial M} \omega$）の具体例である。共通する本質は
「領域内部の微分量の積分 ＝ その境界上の積分」
という対応関係にある。
定理の階層構造
- グリーンの定理：2次元（平面領域 $D$ と境界曲線 $\partial D$）
- ストークスの定理：曲面 $S$ と境界曲線 $\partial S$（2次元多様体と1次元境界）
- 発散定理：体積 $V$ と境界曲面 $\partial V$（3次元多様体と2次元境界）
グリーンの定理はストークスの定理を $xy$ 平面に制限した特殊ケースである。ストークスの定理と発散定理は、それぞれ回転（curl）と発散（div）に対応する独立した定理だが、一般化ストークスの定理の枠組みでは同じ原理の異なる次元での表現にすぎない。
ヘルムホルツ分解
ヘルムホルツの分解定理（Helmholtz Decomposition） 証明
適切な減衰条件を満たす十分に滑らかなベクトル場 $\mathbf{A}$ は、スカラーポテンシャル $\phi$ とベクトルポテンシャル $\mathbf{B}$ を用いて
$$\mathbf{A} = -\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{B}$$と一意に分解できる。ここで
- $-\nabla \phi$：渦なし成分（irrotational, $\nabla \times (-\nabla \phi) = \mathbf{0}$）
- $\nabla \times \mathbf{B}$：湧き出しなし成分（solenoidal, $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = 0$）
この分解は発散定理とストークスの定理の帰結であり、電磁気学における電場と磁場の分離の数学的基盤を与える。