チェビシェフ II型フィルタの理論
逆チェビシェフフィルタの振幅特性・零点・極配置
本稿では、チェビシェフII型（逆チェビシェフ）フィルタの理論を解説する。 通過域が単調減少で、阻止域に等リップル特性を持つ点が I型との最大の違いである。 I型の基礎理論はI型の理論を参照。
振幅2乗特性
II型の振幅2乗特性は以下で定義される：
\begin{equation} |H(\omega)|^2 = \frac{1}{1 + \dfrac{1}{\varepsilon^2 T_n^2(1/\omega)}} \label{eq:H2-type2} \end{equation}I型の式 $|H(\omega)|^2 = \dfrac{1}{1 + \varepsilon^2 T_n^2(\omega)}$ と比較すると、 $\omega$ が $1/\omega$ に、$\varepsilon^2$ が $1/\varepsilon^2$ に置き換わっている。
I型との振幅特性の違い
| 特性 | I型 | II型 |
|---|---|---|
| 通過域（$\omega < 1$） | 等リップル | 単調減少（最大平坦に近い） |
| 阻止域（$\omega > \omega_s$） | 単調減少 | 等リップル |
| DCでのゲイン | 奇数次: 0 dB、偶数次: $-r$ dB | 常に 0 dB |
| 遷移帯域の急峻さ | より急峻 | やや緩やか |
阻止域減衰量パラメータ
II型では、通過域リップルではなく阻止域の最小減衰量 $A_s$ [dB] を指定する。 リップルパラメータ $\varepsilon$ は以下の関係で決まる：
\begin{equation} \varepsilon = \frac{1}{\sqrt{10^{A_s/10} - 1}} \label{eq:epsilon-type2} \end{equation}| 阻止域減衰量 $A_s$ [dB] | $\varepsilon$ |
|---|---|
| 20 | 0.1005 |
| 30 | 0.0317 |
| 40 | 0.0100 |
| 50 | 0.00316 |
| 60 | 0.00100 |
零点の存在
II型の最大の特徴は、虚軸上に零点（伝達零点）を持つことである。 I型は全極型（零点なし）だが、II型は極と零点の両方を持つ。
零点は阻止域内の特定の周波数で振幅応答を完全にゼロにする。 これが阻止域での等リップル特性を生み出す。
零点の位置
$n$ 次のII型フィルタは、$\lfloor n/2 \rfloor$ 組の複素共役零点対を持つ。 零点は虚軸上（$s = \pm j\omega_z$）に位置する：
\begin{equation} z_k = \pm j\omega_s \sec\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right), \quad k = 1, 2, \ldots, \lfloor n/2 \rfloor \label{eq:zeros} \end{equation}ここで $\omega_s$ は阻止域端周波数、$\sec(\theta) = 1/\cos(\theta)$ である。
零点の数値例（$n = 5$、$\omega_s = 1$）
| $k$ | 角度 $(2k-1)\pi/(2n)$ | $\sec(\cdot)$ | 零点 $z_k$ |
|---|---|---|---|
| 1 | $\pi/10 = 18°$ | 1.0515 | $\pm j1.0515$ |
| 2 | $3\pi/10 = 54°$ | 1.7013 | $\pm j1.7013$ |
5次フィルタでは2組（4個）の零点がある。$k = 3$ は $\pi/2 = 90°$ で $\sec(90°) = \infty$ となるため、 奇数次では無限遠に1つの零点があると解釈される（実質的に零点なし）。
極の位置
II型の極 $q_k$ は、I型の極 $p_k$ から導出できる：
\begin{equation} q_k = \frac{\omega_s^2}{p_k^*} \label{eq:poles-type2} \end{equation}ただし、$p_k^*$ は I型の極の複素共役である。 この変換により、II型の極 $q_k$ は I型の $p_k$ よりも虚軸から離れた位置（より減衰が大きい）に配置される。
極の配置の違い： I型の極 $p_k$ は楕円の内側に近い位置にあるが、 II型の極 $q_k$ は楕円の外側に近い位置に配置される。 このため、II型は I型より群遅延特性が良好である（ただしロールオフは緩やか）。
伝達関数の構成
II型の伝達関数は、極と零点の両方を含む：
\begin{equation} H(s) = K \cdot \frac{\prod_{k}(s^2 + \omega_{z,k}^2)}{\prod_{k}(s - q_k)(s - q_k^*)} \label{eq:transfer-type2} \end{equation}分子の $(s^2 + \omega_{z,k}^2)$ が零点を表し、$s = \pm j\omega_{z,k}$ で分子がゼロになる。
2次セクションへの分解
II型の2次セクションは、零点を含むバイカッド形式になる：
\begin{equation} H_k(s) = K_k \cdot \frac{s^2 + \omega_{z,k}^2}{s^2 + \frac{\omega_{0,k}}{Q_k}s + \omega_{0,k}^2} \label{eq:biquad-type2} \end{equation}これはノッチ付きローパス（notch + lowpass）の特性を持つ。 零点周波数 $\omega_{z,k}$ で完全な減衰、極周波数 $\omega_{0,k}$ 付近でピークを持つ。
I型とII型の使い分け
| 条件 | 推奨 |
|---|---|
| 通過域の平坦性が重要 | II型（通過域リップルなし） |
| 遷移帯域の急峻さが最優先 | I型（同じ次数でより急峻） |
| 阻止域の特定周波数を完全遮断したい | II型（零点による完全減衰） |
| 回路実装を簡単にしたい | I型（全極型で零点回路不要） |
| 群遅延特性を少しでも改善したい | II型（極が虚軸から離れている） |
実用上の注意： II型は零点を持つため、アナログ回路での実装がI型より複雑になる。 Sallen-KeyやMFBでは零点を直接実現できないため、 状態変数フィルタやバイカッド回路が必要となる。 詳細は回路編を参照。