チェビシェフフィルタの設計

設計仕様

チェビシェフI型ローパスフィルタの設計には、以下の4つのパラメータが必要である：

• $\omega_p$：通過域端周波数（カットオフ周波数）
• $\omega_s$：阻止域端周波数
• $R_p$：通過域リップル [dB]（通過域での最大減衰量）
• $A_s$：阻止域減衰量 [dB]（阻止域での最小減衰量）

次数決定公式

チェビシェフI型の次数公式

与えられた仕様を満たす最小次数 $n$ は、以下の式で計算できる：

バターワースとの比較

参考として、バターワースフィルタの次数公式は：

チェビシェフの式では $\log$ が $\cosh^{-1}$ に置き換わっている。 $\cosh^{-1}(x) \approx \log(2x)$ により分子はほぼ等しいが、分母が $\log(\omega_s/\omega_p)$ から $\cosh^{-1}(\omega_s/\omega_p)$ に変わるため、同じ仕様をチェビシェフはより低い次数で実現できる（削減の度合いは仕様に依存する）。

数値例

仕様：$R_p = 1$ dB, $A_s = 40$ dB, $\omega_s/\omega_p = 2$

したがって $n = 5$ が必要。同じ仕様でバターワースは $n = 8$ が必要となり、チェビシェフの方が低次で済む。

設計手順

設計例

通過域リップル 1 dB、次数 $n = 6$ のチェビシェフI型基準ローパスフィルタを設計する。

パラメータの計算

極の位置

（左半平面の極のみ。$m = 3, 4, 5$ は共役極なので省略）

2次セクションの係数

Python実装

SciPyによる設計

import numpy as np
from scipy.signal import cheby1, cheby1ord, freqs, tf2zpk

# 仕様
Rp = 1.0    # 通過域リップル [dB]
As = 40.0   # 阻止域減衰量 [dB]
wp = 1.0    # 通過域端周波数 [rad/s]
ws = 2.0    # 阻止域端周波数 [rad/s]

# 次数決定
n, Wn = cheby1ord(wp, ws, Rp, As, analog=True)
print(f"必要次数: {n}")
print(f"カットオフ周波数: {Wn:.4f} rad/s")

# フィルタ設計
b, a = cheby1(n, Rp, Wn, btype='low', analog=True)
print(f"\n分子係数 b: {b}")
print(f"分母係数 a: {a}")

# 極・零点・ゲイン形式
z, p, k = tf2zpk(b, a)
print(f"\n極:")
for i, pole in enumerate(p):
    print(f"  p{i}: {pole:.4f}, |p|={np.abs(pole):.4f}, Q={np.abs(pole)/(-2*pole.real):.2f}")

極から2次セクションへの変換

from scipy.signal import zpk2sos

# 2次セクション形式に変換
sos = zpk2sos(z, p, k)

print("2次セクション (sos):")
print("  [b0, b1, b2, a0, a1, a2]")
for i, section in enumerate(sos):
    print(f"  Section {i+1}: {section}")

# 標準形パラメータへの変換
print("\n標準形パラメータ:")
for i, section in enumerate(sos):
    b0, b1, b2, a0, a1, a2 = section
    omega0 = np.sqrt(a2/a0)
    Q = omega0 / (a1/a0)
    print(f"  Section {i+1}: ω₀ = {omega0:.4f}, Q = {Q:.4f}")

周波数応答のプロット

import matplotlib.pyplot as plt

# 周波数応答
w = np.logspace(-1, 1, 500)
w, H = freqs(b, a, w)

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 8))

# 振幅特性
ax1.semilogx(w, 20*np.log10(np.abs(H)))
ax1.axhline(-Rp, color='r', linestyle='--', label=f'Passband ripple ({-Rp} dB)')
ax1.axhline(-As, color='g', linestyle='--', label=f'Stopband attenuation ({-As} dB)')
ax1.axvline(wp, color='b', linestyle=':', alpha=0.5)
ax1.axvline(ws, color='b', linestyle=':', alpha=0.5)
ax1.set_ylabel('Magnitude [dB]')
ax1.set_ylim(-60, 5)
ax1.legend()
ax1.grid(True)

# 位相特性
ax2.semilogx(w, np.unwrap(np.angle(H)) * 180/np.pi)
ax2.set_xlabel('Frequency [rad/s]')
ax2.set_ylabel('Phase [degrees]')
ax2.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

部品値計算（Sallen-Key用）

def sallen_key_components(omega0, Q, R):
    """
    Sallen-Key回路の部品値を計算（R1=R2=R）

    Parameters:
        omega0: 自然角周波数 [rad/s]
        Q: Q値
        R: 抵抗値 [Ω]

    Returns:
        C1, C2: コンデンサ値 [F]
    """
    C2 = 1 / (2 * Q * omega0 * R)
    C1 = 2 * Q / (omega0 * R)
    return C1, C2

# 設計例：1kHz カットオフ、R = 10kΩ
fc = 1000  # Hz
R = 10000  # Ω
omega_scale = 2 * np.pi * fc

print(f"カットオフ周波数: {fc} Hz")
print(f"抵抗: {R/1000} kΩ")
print()

for i, section in enumerate(sos):
    b0, b1, b2, a0, a1, a2 = section
    omega0_norm = np.sqrt(a2/a0)
    Q = omega0_norm / (a1/a0)
    omega0_actual = omega0_norm * omega_scale

    C1, C2 = sallen_key_components(omega0_actual, Q, R)

    print(f"セクション {i+1}:")
    print(f"  ω₀ = {omega0_actual:.1f} rad/s ({omega0_actual/2/np.pi:.1f} Hz)")
    print(f"  Q = {Q:.3f}")
    print(f"  C₁ = {C1*1e9:.2f} nF")
    print(f"  C₂ = {C2*1e9:.2f} nF")
    print()

II型の設計

チェビシェフII型（逆チェビシェフ）の設計も同様の手順だが、 指定するパラメータが異なる。

次数決定公式（II型）

チェビシェフフィルタの次数決定公式は I 型・II 型で共通であり、通過域リップル $R_p$ と阻止域減衰量 $A_s$ の両方を含む（式\eqref{eq:order} と同一）：

II型は通過域が単調（最大平坦）となるため、$R_p$ は通過域端での許容偏差として与える。下の Python 例では通過域仕様に 3 dB を用いている。

Python実装（II型）

from scipy.signal import cheby2, cheby2ord

# 仕様
As = 40.0   # 阻止域減衰量 [dB]
wp = 1.0    # 通過域端周波数 [rad/s]
ws = 2.0    # 阻止域端周波数 [rad/s]

# 次数決定
n, Wn = cheby2ord(wp, ws, 3, As, analog=True)  # 3dB は通過域
print(f"必要次数: {n}")

# フィルタ設計
b, a = cheby2(n, As, Wn, btype='low', analog=True)

# 周波数応答
w = np.logspace(-1, 1, 500)
w, H = freqs(b, a, w)

plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.semilogx(w, 20*np.log10(np.abs(H)))
plt.axhline(-As, color='r', linestyle='--', label=f'Stopband ({-As} dB)')
plt.xlabel('Frequency [rad/s]')
plt.ylabel('Magnitude [dB]')
plt.title('Chebyshev Type II Filter')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.ylim(-60, 5)
plt.show()

周波数変換

基準ローパスフィルタから他のフィルタタイプへの変換：

バンドパス/バンドストップ設計の重要パラメータ

バンドパスフィルタ（BPF）やバンドストップフィルタ（BEF/ノッチ）を設計する際、 以下のパラメータを理解することが重要である。

中心周波数と帯域幅

中心周波数 $f_0$（または $\omega_0$）

通過域（BPF）または阻止域（BEF）の中心となる周波数。 BPFではこの周波数で最大ゲイン、BEFでは最大減衰となる。

帯域幅 $B$（または $\Delta\omega$）

BPFでは通過域の幅、BEFでは阻止域の幅。 リップルレベルでの上限周波数 $f_H$ と下限周波数 $f_L$ の差として定義される。 \begin{equation} B = f_H - f_L \end{equation}

幾何平均中心周波数

フィルタ理論では、中心周波数は上限と下限の幾何平均として定義されることが多い：

これは対数周波数軸で見たときに $f_0$ が $f_L$ と $f_H$ の中央に来ることを意味する。 算術平均 $(f_L + f_H)/2$ とは異なることに注意。

比帯域（Fractional Bandwidth）とQ値

帯域幅を中心周波数で正規化した比帯域と、その逆数であるQ値は、 BPF/BEFの「狭さ」を表す重要な指標である。

LP → BP 変換と次数の関係

$n$ 次のローパスプロトタイプを LP → BP 変換すると、結果のバンドパスフィルタは $2n$ 次 になる。 これは、変換式 $s \to (s^2 + \omega_0^2)/(Bs)$ が各極を2つの極に分裂させるためである。

• 3次LPF → 6次BPF（3組の共役複素極対）
• 4次LPF → 8次BPF（4組の共役複素極対）

狭帯域BPFの設計上の注意

Q値が高い（狭帯域な）BPFは、実装が難しくなる。

• 部品感度：Q値が高いほど、部品のばらつきに対して特性が敏感になる
• ポールQの増加：変換後の2次セクションのQ値は、元のLPFのQ値にBPFのQ値を掛けた値に近くなる
• 実用的な限界：アクティブフィルタでは $Q \approx 30$ 程度が実用上限。それ以上は水晶フィルタやSAWフィルタを検討

Pythonでの各種フィルタ設計

# SciPy での各種フィルタ設計
from scipy.signal import cheby1

n = 4
rp = 1.0

# ローパス
b_lp, a_lp = cheby1(n, rp, 1000, btype='low', analog=True)

# ハイパス
b_hp, a_hp = cheby1(n, rp, 1000, btype='high', analog=True)

# バンドパス（中心1000 rad/s、帯域幅200 rad/s）
# 注：SciPyでは下限・上限周波数を指定
b_bp, a_bp = cheby1(n, rp, [900, 1100], btype='band', analog=True)

# バンドストップ
b_bs, a_bs = cheby1(n, rp, [900, 1100], btype='stop', analog=True)

# Q値と帯域幅の計算例
f_L, f_H = 900, 1100
f_0 = (f_L * f_H) ** 0.5  # 幾何平均中心周波数
B = f_H - f_L             # 帯域幅
Q = f_0 / B               # Q値
print(f"中心周波数: {f_0:.1f} rad/s")
print(f"帯域幅: {B} rad/s")
print(f"Q値: {Q:.2f}")

よくある質問

関連項目

• チェビシェフフィルタ概要
• 理論編（I型）：チェビシェフ多項式と極配置
• 回路編：アナログ回路実装
• 素子値表：正規化LCラダー係数