チェビシェフ I型フィルタの理論

チェビシェフ多項式と極の楕円配置

本稿では、チェビシェフフィルタの数学的基礎を解説する。 チェビシェフ多項式の定義と性質から始め、振幅2乗特性の導出、そして極の楕円配置を導く。

基準ローパスフィルタの考え方

フィルタ設計は、カットオフ角周波数 $\omega_c = 1$ の基準ローパスフィルタ（prototype）を設計することから始まる。

$\omega$ が $0$ から $1$ の範囲では小さく、$\omega > 1$ で急激に大きくなる関数 $f(\omega)$ があるとする。

ω=1付近で急峻に立ち上がる関数f(ω)のグラフ。通過域では小さく、阻止域で急速に増大する
図1: $\omega > 1$ で急激に増大する関数 $f(\omega)$

この $f(\omega)$ を使って

$$ g(\omega) = \frac{1}{1 + f(\omega)} $$

を作れば、ローパスフィルタの振幅特性が得られる。

g(ω)=1/(1+f(ω))のローパスフィルタ応答。通過域でゲイン≈1、遮断周波数付近で急峻に減衰する
図2: $g(\omega) = 1/(1+f(\omega))$ はLPFの形になる
理由： $0 \leq \omega < 1$ では $f(\omega) \approx 0$ なので $g(\omega) \approx 1$、 $\omega > 1$ では $f(\omega) \to \infty$ なので $g(\omega) \to 0$ となるため。

チェビシェフ多項式

チェビシェフフィルタは $f(\omega)$ に第1種チェビシェフ多項式 $T_n(\omega)$ の2乗を用いる。

$T_n(\omega)$ は以下の漸化式で定義される：

\begin{align} T_0(\omega) &= 1 \\ T_1(\omega) &= \omega \\ T_{n+1}(\omega) &= 2\omega T_n(\omega) - T_{n-1}(\omega) \end{align}

低次のチェビシェフ多項式を列挙すると：

$n$$T_n(\omega)$
0$1$
1$\omega$
2$2\omega^2 - 1$
3$4\omega^3 - 3\omega$
4$8\omega^4 - 8\omega^2 + 1$
5$16\omega^5 - 20\omega^3 + 5\omega$
6$32\omega^6 - 48\omega^4 + 18\omega^2 - 1$

閉じた形の表現

漸化式から定まる $T_n(\omega)$ は $\omega$ の $n$ 次多項式であるが、 $\omega$ の範囲に応じて三角関数または双曲線関数を使った閉じた形で書ける：

\begin{equation} T_n(\omega) = \cos(n \cos^{-1} \omega) \quad (|\omega| \leq 1) \label{eq:trig} \end{equation} \begin{equation} T_n(\omega) = \cosh(n \cosh^{-1} \omega) \quad (|\omega| > 1) \label{eq:hyp} \end{equation}

これらは同一の多項式を異なる形で表したものであり、 $\omega = 1$ で $\cos^{-1}1 = \cosh^{-1}1 = 0$ より両者とも $T_n(1) = 1$ に一致する。

式\eqref{eq:trig}の導出： $\omega = \cos\theta$ と置くと $\theta = \cos^{-1}\omega$。 $n=0$: $T_0 = 1 = \cos(0 \cdot \theta)$ ✓
$n=1$: $T_1 = \omega = \cos\theta = \cos(1 \cdot \theta)$ ✓
漸化式より $T_{n+1} = 2\cos\theta \cdot T_n - T_{n-1}$。 $T_n = \cos(n\theta)$ と仮定すると、加法定理より $$2\cos\theta\cos(n\theta) = \cos((n+1)\theta) + \cos((n-1)\theta)$$ したがって $T_{n+1} = \cos((n+1)\theta)$ が帰納的に証明される。 すなわち、すべての $n \geq 0$ に対して \begin{equation} T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta) \label{eq:Tn-cos} \end{equation} が成り立つ。$\omega = \cos\theta$ より $\theta = \cos^{-1}\omega$ を代入すれば式\eqref{eq:trig}を得る。
式\eqref{eq:hyp}の導出： $\omega = \cosh\alpha$（$\alpha \geq 0$）と置くと $\alpha = \cosh^{-1}\omega$。 $n=0$: $T_0 = 1 = \cosh(0)$ ✓
$n=1$: $T_1 = \omega = \cosh\alpha$ ✓
漸化式より $T_{n+1} = 2\cosh\alpha \cdot T_n - T_{n-1}$。 $T_n = \cosh(n\alpha)$ と仮定すると、$\cosh$ の加法定理より $$2\cosh\alpha\cosh(n\alpha) = \cosh((n+1)\alpha) + \cosh((n-1)\alpha)$$ したがって $T_{n+1} = \cosh((n+1)\alpha)$ が帰納的に証明される。 漸化式が同一であるから、式\eqref{eq:trig}と式\eqref{eq:hyp}は同じ多項式を定める。

$\cosh^{-1}\omega$ の定義域： $\cosh^{-1}\omega$ は $\omega \geq 1$ で定義される実数値関数である（$\cosh^{-1}\omega = \ln(\omega + \sqrt{\omega^2 - 1})$）。 式\eqref{eq:hyp}は $|\omega| > 1$ で $T_n$ を評価する際に用いる。

一方、極の導出（後述）では式\eqref{eq:hyp}ではなく、 恒等式 $T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)$（式\eqref{eq:Tn-cos}）を 複素数 $\theta$ に拡張して用いるため、$\cosh^{-1}$ の定義域の制約は生じない。

チェビシェフ多項式の性質

  • $|\omega| \leq 1$ で $|T_n(\omega)| \leq 1$（$-1$ から $1$ の間で振動）
  • $|\omega| > 1$ で $|T_n(\omega)|$ は急速に増大
  • $T_n(1) = 1$（すべての $n$ で）
  • 最高次の係数は $2^{n-1}$（$n \geq 1$）
  • $T_n(-\omega) = (-1)^n T_n(\omega)$（偶奇性）
偶数次チェビシェフ多項式T₀,T₂,T₄,T₆のグラフ。|ω|≤1で-1から1の間を振動し、|ω|>1で急速に増大。偶数次はω=0でT_n(0)=±1
図3: 偶数次チェビシェフ多項式 $T_0, T_2, T_4, T_6$
奇数次チェビシェフ多項式T₁,T₃,T₅,T₇のグラフ。|ω|≤1で-1から1の間を振動し、|ω|>1で急速に増大。奇数次はω=0でT_n(0)=0
図4: 奇数次チェビシェフ多項式 $T_1, T_3, T_5, T_7$

$|\omega| > 1$ では式\eqref{eq:hyp}より $T_n(\omega) = \cosh(n\cosh^{-1}\omega)$ と書ける。 図5に $\cosh(\alpha)$ の形状を示す。ここで $\alpha = \cosh^{-1}\omega$ であり、 $\omega = 1$ のとき $\alpha = 0$ である（式(4)と式(5)は $\omega = 1$ で $T_n(1) = 1$ に一致する）。 $\cosh$ は原点付近で平坦だが離れるにつれ指数関数的に増大するため、 $n$ が大きいほど $T_n(\omega)$ の増大は急激になる。

cosh(α)のグラフ。α=0で最小値1をとり、左右対称に指数関数的に増大する
図5: $\cosh(\alpha)$ の形状

最良近似性（ミニマックス性）

チェビシェフ多項式 $T_n(\omega)$ は、区間 $[-1, 1]$ において以下の最良近似性を持つ：

最高次の係数が $2^{n-1}$ である $n$ 次多項式 $p_n(\omega)$ のうち、 $\displaystyle\max_{|\omega| \leq 1} |p_n(\omega)|$ を最小にするのは $T_n(\omega)$ である。

証明（背理法）：

最高次の係数が $1$ の $n$ 次多項式 $\tilde{T}_n = T_n / 2^{n-1}$ を考えると、 $\tilde{T}_n$ は $[-1, 1]$ 上の $n+1$ 個の点 $\omega_k = \cos(k\pi/n)$（$k = 0, 1, \dots, n$）で 交互に $\pm 1/2^{n-1}$ に達する。

$[-1, 1]$ 上で $\displaystyle\max_{|\omega|\leq 1} |q(\omega)| < \frac{1}{2^{n-1}}$ を満たす最高次係数 $1$ の $n$ 次多項式 $q(\omega)$ が存在すると仮定すると、 差 $\tilde{T}_n(\omega) - q(\omega)$ は最高次の係数が消えるため $n - 1$ 次以下の多項式となる。

一方、各等振動点 $\omega_k$ において $\tilde{T}_n(\omega_k) = (-1)^k/2^{n-1}$ であり、 $q$ の仮定より $|q(\omega_k)| < 1/2^{n-1}$ である。

ここで、$|a| > |b|$ のとき $a - b$ が $a$ と同符号になることを確認する：
　$a > 0$ の場合：$|b| < a$ より $-a < b < a$。したがって $a - b > a - a = 0$。
　$a < 0$ の場合：$|b| < -a$ より $a < b < -a$。したがって $a - b < a - a = 0$。

$a = \tilde{T}_n(\omega_k)$, $b = q(\omega_k)$ とすれば $\tilde{T}_n(\omega_k) - q(\omega_k)$ と $\tilde{T}_n(\omega_k)$ は同符号であることがわかる。

$\tilde{T}_n(\omega_k)$ は $k$ ごとに交互に正負が入れ替わるから、 $\tilde{T}_n(\omega) - q(\omega)$ も隣接する $\omega_k$ 間で $n$ 回符号が変わるはずである。

中間値の定理より、連続関数が符号の異なる2点の間に少なくとも1つの零点を持つから、 $n$ 回の符号変化に対して $\tilde{T}_n(\omega) - q(\omega)$ は少なくとも $n$ 個の零点を持つ。しかし、 $n - 1$ 次以下の多項式が $n$ 個の零点を持つことはできないため矛盾する。

よって、最高次の係数が $2^{n-1}$ である $n$ 次多項式 $p_n(\omega)$ のうち、 $\displaystyle\max_{|\omega| \leq 1} |p_n(\omega)|$ を最小にするのは $T_n(\omega)$ である。$\square$

この性質が「等リップル」特性の数学的根拠となっている。

振幅2乗特性

チェビシェフI型フィルタの振幅2乗特性は以下で定義される：

\begin{equation} |H(\omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon^2 T_n^2(\omega)} \label{eq:H2} \end{equation}

ここで $\varepsilon$（$0 < \varepsilon < 1$）は通過域リップルを決めるパラメータである。 分母の $T_n^2(\omega)$ がどのように振る舞うかを見ておこう。

偶数次T_n²(ω)のグラフ。通過域|ω|≤1で0から1の間を振動し、ω=0でT_n²(0)=1（DCゲイン低下の原因）
図6: 偶数次 $T_n^2(\omega)$
奇数次T_n²(ω)のグラフ。通過域|ω|≤1で0から1の間を振動し、ω=0でT_n²(0)=0（DCゲイン=0dB）
図7: 奇数次 $T_n^2(\omega)$

$|\omega| \leq 1$ では $T_n^2(\omega) \in [0, 1]$ で振動するため、 $|H(\omega)|^2$ は $[1/(1+\varepsilon^2),\; 1]$ の範囲でリップルを生じる。 $|\omega| > 1$ では $T_n^2(\omega)$ が急増するため $|H(\omega)|^2 \to 0$ となり、 $n$ が大きいほど遷移が急峻になる。

リップルパラメータ $\varepsilon$ の設計

通過域端（$\omega = 1$）でリップルが $-r$ dB になるには、$T_n(1) = 1$ より：

$$ |H(1)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon^2} $$

これが $-r$ dB に等しいとすると：

$$ 10 \log_{10} \frac{1}{1 + \varepsilon^2} = -r $$

$\varepsilon$ について解くと：

\begin{equation} \varepsilon = \sqrt{10^{r/10} - 1} \label{eq:epsilon} \end{equation}

代表的なリップル値と $\varepsilon$ の対応：

リップル $r$ [dB]$\varepsilon$$|H(1)|^2$
0.10.15260.977
0.50.34930.891
1.00.50880.794
2.00.76480.631
3.00.99760.501

DCゲインについて

偶数次と奇数次の違い：

  • 奇数次：$T_n(0) = 0$ なので $|H(0)|^2 = 1$（DCゲイン = 0 dB）
  • 偶数次：$T_n(0) = \pm 1$ なので $|H(0)|^2 = \dfrac{1}{1+\varepsilon^2}$（DCゲイン = $-r$ dB）

偶数次フィルタではDCでリップルの谷となり、奇数次フィルタではDCで最大ゲインとなる。

通過域リップルの拡大図。ゲインが1/(1+ε²)から1の間で等リップル振動する様子を示す
図8: 通過域リップルの拡大（$n = 12$, 1 dB リップル）

極の分布

式\eqref{eq:H2}は虚軸上（$s = j\omega$, $\omega$ は実数）での振幅特性を与えるが、フィルタの極を求めるには、これを $s$ 平面全域に拡張する必要がある。

$$ |H(j\omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon^2 T_n^2(\omega)} \tag{\ref{eq:H2} 再掲} $$

伝達関数 $H(s)$ の係数はすべて実数なので、$H(j\omega)$ の複素共役は $H(-j\omega)$ に等しく：

$$ |H(j\omega)|^2 = H(j\omega)\,H(-j\omega) $$

虚軸上では $s = j\omega$ だから次のように表せる。 $$\omega = s/j = -js$$ この置換により右辺は $s$ の有理関数となり、$s$ 平面全体で定義できる：

$$ H(s)\,H(-s) = \frac{1}{1 + \varepsilon^2 T_n^2(-js)} $$

$T_n(\omega)$ は $\omega$ の $n$ 次多項式なので、$T_n^2(-js)$ は $s$ の $2n$ 次多項式である。 したがって分母 $1 + \varepsilon^2 T_n^2(-js)$ も $s$ の $2n$ 次多項式であり、 代数学の基本定理により零点（= $H(s)\,H(-s)$ の極）はちょうど $2n$ 個存在する（重複込み）。 これらの極は実軸と虚軸に対して対称に分布し、 安定なフィルタ $H(s)$ を得るには左半面の $n$ 個だけを選ぶ必要がある。

極の位置は分母を0とおいて求める：

$$ 1 + \varepsilon^2 T_n^2(-js) = 0 $$

すなわち：

\begin{equation} T_n(-js) = \pm \frac{j}{\varepsilon} \label{eq:pole-condition} \end{equation}

極の位置の導出

恒等式\eqref{eq:Tn-cos}は $\cos$ の加法定理と漸化式のみから導かれたものであり、 $\theta$ が複素数でもそのまま成り立つ （$\cos\theta = (e^{j\theta} + e^{-j\theta})/2$ と定義すれば、 加法定理は $e^{a+b} = e^a e^b$ から複素数でも成立する）。

$$ T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta) \tag{\ref{eq:Tn-cos} 再掲} $$

式\eqref{eq:pole-condition}の $T_n(-js)$ にこの恒等式を適用したい。 $\cos\theta = -js$ となる複素数 $\theta$ を $\theta = x + jy$（$x, y$ は実数）と置くと：

$$ T_n(\underbrace{-js}_{\cos\theta}) = \cos(n\theta) = \pm \frac{j}{\varepsilon} $$

すなわち：

$$ \cos(n(x + jy)) = \pm \frac{j}{\varepsilon} $$

左辺を展開するために、まず $\cos$ と $\sin$ の純虚数引数での値を求める。 オイラーの公式による定義：

$$ \cos\theta = \frac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2}, \quad \sin\theta = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j} $$

に $\theta = j\alpha$（$\alpha$ は実数）を代入すると：

\begin{align} \cos(j\alpha) &= \frac{e^{j \cdot j\alpha} + e^{-j \cdot j\alpha}}{2} = \frac{e^{-\alpha} + e^{\alpha}}{2} = \cosh\alpha \\[6pt] \sin(j\alpha) &= \frac{e^{j \cdot j\alpha} - e^{-j \cdot j\alpha}}{2j} = \frac{e^{-\alpha} - e^{\alpha}}{2j} = \frac{-(e^{\alpha} - e^{-\alpha})}{2j} = j \cdot \frac{e^{\alpha} - e^{-\alpha}}{2} = j\sinh\alpha \end{align}

これと $\cos$ の加法定理を用いて左辺を展開する：

\begin{align} \cos(nx + j\,ny) &= \cos(nx)\cos(j\,ny) - \sin(nx)\sin(j\,ny) \\ &= \cos(nx)\cosh(ny) - j\sin(nx)\sinh(ny) \end{align}

したがって：

$$ \cos(nx)\cosh(ny) - j\sin(nx)\sinh(ny) = \pm \frac{j}{\varepsilon} $$

実部と虚部を比較して：

\begin{align} \cos(nx)\cosh(ny) &= 0 \\ \sin(nx)\sinh(ny) &= \mp \frac{1}{\varepsilon} \end{align}

$\cosh(ny) > 0$ なので、$\cos(nx) = 0$ が必要。したがって：

$$ x = \frac{(2m+1)\pi}{2n}, \quad m = 0, 1, 2, \ldots $$

このとき $\sin(nx) = \pm 1$ なので：

$$ y = \pm \frac{1}{n} \sinh^{-1}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right) $$

極の座標

極の位置 $s$ を求める。$\cos\theta = -js$ と置いたので：

\begin{equation} s = \frac{\cos\theta}{-j} = j\cos\theta = j\cos(x + jy) \label{eq:s-from-theta} \end{equation}

先ほどと同様に $\cos$ の加法定理で展開する：

\begin{align} \cos(x + jy) &= \cos(x)\cos(jy) - \sin(x)\sin(jy) \\ &= \cos(x)\cosh(y) - j\sin(x)\sinh(y) \end{align}

式\eqref{eq:s-from-theta}に代入すると：

\begin{align} s &= j\bigl[\cos(x)\cosh(y) - j\sin(x)\sinh(y)\bigr] \\ &= j\cos(x)\cosh(y) - j^2\sin(x)\sinh(y) \\ &= \sin(x)\sinh(y) + j\cos(x)\cosh(y) \end{align}

$H(s)\,H(-s)$ の極を $p$ と書くと：

\begin{equation} p = \sin(x)\sinh(y) + j\cos(x)\cosh(y) \label{eq:pole} \end{equation}

極は $s$平面上で楕円上に分布する。楕円の半軸（中心から端までの長さ）は：

  • 実軸方向（短半軸）：$a = \sinh(y)$
  • 虚軸方向（長半軸）：$b = \cosh(y)$

ここで $y = \dfrac{1}{n}\sinh^{-1}\left(\dfrac{1}{\varepsilon}\right)$ である。

楕円の確認： 極の実部 $\sigma$ と虚部 $\Omega$ を改めて書くと $$\sigma = \sin(x)\,\sinh(y), \qquad \Omega = \cos(x)\,\cosh(y)$$ である。ここで $x$ は極ごとに異なるが、$y$ は全極で共通であることに注意する。 $\sigma$ を $\sinh(y)$ で、$\Omega$ を $\cosh(y)$ で割ると $$\frac{\sigma}{\sinh(y)} = \sin(x), \qquad \frac{\Omega}{\cosh(y)} = \cos(x)$$ 両辺を2乗して足せば、$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ より $$\frac{\sigma^2}{\sinh^2(y)} + \frac{\Omega^2}{\cosh^2(y)} = 1$$ が得られる。これは $\sigma$-$\Omega$ 平面（＝$s$平面の実部-虚部）における 半軸 $a = \sinh(y)$（実軸方向）、$b = \cosh(y)$（虚軸方向）の楕円の標準形に他ならない。 $x$ が極ごとに変わっても $y$ は共通なので、全ての極がこの同一の楕円上に乗る。

安定な極の選択

$H(s)\,H(-s)$ の分母は $s$ の $2n$ 次多項式であり、$2n$ 個の極が存在する。 これらは $s$ 平面の実軸と虚軸に対して対称に分布している。

安定なフィルタを得るには、左半平面の極のみ（$\text{Re}(p) < 0$）を選択する。 これによりフィルタ次数は $2n$ から $n$ に半減する。

6次チェビシェフI型フィルタの極配置。s平面の左半面で楕円上に6個の極が配置される
図9: $n=6$（偶数次）の極配置
7次チェビシェフI型フィルタの極配置。s平面の左半面で楕円上に7個の極が配置され、1個は実軸上にある
図10: $n=7$（奇数次）の極配置

濃い色が使用する左半面の極、薄い色は不安定なため使用しない右半面の極。 極は楕円上に等間隔で分布する。奇数次では実軸上に1つの極がある。

バターワースとの比較

バターワースフィルタの極は半径1の円周上に等間隔で分布する。 チェビシェフフィルタでは円が楕円に変形し、極が虚軸に近づく（より急峻な遮断特性を得る）。

リップル $\varepsilon \to 0$ のとき $y \to \infty$ となり、$\sinh(y) \approx \cosh(y)$ となって 楕円は円に近づく。これはバターワース特性への漸近を意味する。

2乗を取る理由： 振幅特性を $\varepsilon T_n(\omega)$ でなく $\varepsilon^2 T_n^2(\omega)$ と2乗して定義するのは、 後で極を半分捨てることを見越して、あらかじめ極の個数を2倍にしておくためである。

伝達関数の構成

極から伝達関数へ

左半平面の $n$ 個の極 $p_1, p_2, \ldots, p_n$ が求まったら、伝達関数は：

\begin{equation} H(s) = \frac{K}{\prod_{k=1}^{n}(s - p_k)} \label{eq:transfer} \end{equation}

分子の定数 $K$ は、DCゲインまたは通過域端でのゲインが正しくなるよう調整する。

1次・2次セクションへの分解

実軸上の極（奇数次の場合）

奇数次フィルタでは、$m = (n-1)/2$ のとき $x = \pi/2$ となり、 $\cos(x) = 0$ なので極は実軸上に位置する：

$$ p = -\sinh(y) \quad (\text{純実数}) $$

この極に対応する1次セクション：

\begin{equation} H_1(s) = \frac{-p}{s - p} = \frac{\sinh(y)}{s + \sinh(y)} \label{eq:H1} \end{equation}

複素共役極（2次セクション）

それ以外の極は複素共役のペア $p, p^*$ で現れる：

$$ p, p^* = -\sin(x)\sinh(y) \pm j\cos(x)\cosh(y) $$

ペアをまとめて2次セクションとする：

\begin{equation} H_2(s) = \frac{|p|^2}{(s-p)(s-p^*)} = \frac{|p|^2}{s^2 - 2\text{Re}(p) \cdot s + |p|^2} \label{eq:H2-section} \end{equation}

ここで：

\begin{align} \text{Re}(p) &= -\sin(x)\sinh(y) \\ |p|^2 &= \sin^2(x)\sinh^2(y) + \cos^2(x)\cosh^2(y) = \frac{1}{2}(\cosh(2y) - \cos(2x)) \end{align}

標準形との対応

2次セクションの標準形は：

$$ H(s) = \frac{\omega_0^2}{s^2 + \frac{\omega_0}{Q}\,s + \omega_0^2} $$

式\eqref{eq:H2-section}の分母 $s^2 - 2\text{Re}(p)\,s + |p|^2$ と係数を比較する。

定数項の比較：

\begin{equation} \omega_0^2 = |p|^2 \quad \therefore\;\; \omega_0 = |p| \end{equation}

$s$ の係数の比較：

$$ \frac{\omega_0}{Q} = -2\text{Re}(p) $$

$Q$ について解くと：

\begin{equation} Q = \frac{\omega_0}{-2\text{Re}(p)} = \frac{|p|}{-2\text{Re}(p)} \end{equation}

$\text{Re}(p) = -\sin(x)\sinh(y)$ を代入すると：

\begin{equation} Q = \frac{\omega_0}{2\sin(x)\sinh(y)} \end{equation}