フィルタ設計
ディジタルフィルタおよびアナログフィルタの設計手法を解説する。
ディジタルフィルタ
ディジタルフィルタは離散時間信号を処理するフィルタである。 FIR（有限インパルス応答）フィルタは常に安定で、線形位相特性を実現できる。
FIR設計手法の分類
| 手法 | 最適化基準 | 特徴 |
|---|---|---|
| Parks-McClellan法 | $L^\infty$（最大誤差最小） | 等リップル、最悪ケース保証 |
| 最小二乗法 | $L^2$（平均二乗誤差最小） | 解析的、高速計算 |
| 窓関数法 | なし（経験的） | シンプル、直感的 |
| 周波数サンプリング法 | なし（補間） | FFTベース、高速 |
| チェビシェフ補間法 | 補間点通過 | 理論的裏付け |
最大誤差最小（Minimax）
最悪ケースの誤差を最小化する。阻止域減衰量の下限を保証したい場合に最適。
Parks-McClellan法
Remez交換アルゴリズムを用いた等リップルFIRフィルタの最適設計。与えられた次数で最小の最大誤差を達成する。
最小二乗法
平均的な誤差を最小化する。線形方程式系として解析的に解ける。
最小二乗法
二乗誤差の総和を最小化するFIRフィルタ設計。重み付き・制約付きの拡張も解説。
古典的手法
計算が単純で直感的に理解しやすい。要求が緩やかな場合や教育目的に有用。
窓関数法
理想フィルタのインパルス応答を窓関数で打ち切る。シンプルで実装が容易。
周波数サンプリング法
周波数応答を離散点で指定し、逆DFTでフィルタ係数を求める。FFTによる高速計算が可能。
補間法
指定した周波数点を正確に通過する設計。
チェビシェフ補間法
チェビシェフ点での補間を用いたフィルタ設計。Runge現象を回避し安定した近似が得られる。
手法の比較
リップル特性
窓関数法の比較
窓関数法は、理想フィルタのインパルス応答を有限長に打ち切る際に窓関数を適用する手法である。 窓の種類によって、通過域リップル・阻止域減衰量・遷移幅のトレードオフが変化する。
周波数サンプリング法
周波数サンプリング法は、所望の周波数応答を離散点でサンプリングし、逆DFTによりインパルス応答を求める。 遷移帯域に補間サンプルを設けることでリップルを低減できる。FFTを用いた高速計算が可能。
Dolph-Chebyshev窓法
Dolph-Chebyshev窓は、メインローブ幅を固定したときにサイドローブを等レベルに抑える最適な窓である。 指定した減衰量で等リップルのサイドローブ特性が得られる。
全手法の比較
選択の指針
- 阻止域減衰量の保証が必要 → Parks-McClellan法
- 計算速度が重要 → 窓関数法または周波数サンプリング法
- 平均的な性能を重視 → 最小二乗法
- 特定周波数での精密制御 → 周波数サンプリング法またはチェビシェフ補間法
- 適応フィルタなどリアルタイム更新 → 最小二乗法（LMS等）
アナログフィルタ
アナログフィルタは連続時間信号を処理するフィルタである。 IIR（無限インパルス応答）ディジタルフィルタは、アナログフィルタの設計手法を双一次変換などでディジタル化して得ることが多い。
古典的アナログフィルタ
| フィルタ | 通過域 | 阻止域 | 特徴 |
|---|---|---|---|
| バターワース | 単調減少 | 単調減少 | 最大平坦特性 |
| チェビシェフI型 | 等リップル | 単調減少 | 急峻なカットオフ |
| チェビシェフII型 | 単調減少 | 等リップル | 通過域リップルなし |
| 楕円（Cauer） | 等リップル | 等リップル | 最も急峻 |
選択の指針
- 通過域の平坦性が重要 → バターワース
- 遷移帯域幅を狭くしたい → チェビシェフI型または楕円
- 通過域平坦かつ阻止域でリップル許容 → チェビシェフII型
- 最小次数で仕様を満たしたい → 楕円フィルタ
- 群遅延特性が重要 → ベッセル