第2章：Z変換の基本性質
Basic Properties of Z-Transform
入門
概要
Z変換には多くの便利な性質がある。中でも線形性と時間シフトは最も基本的であり、差分方程式をZ変換で代数的に解くために不可欠である。第1章で導入した指数数列のZ変換と組み合わせることで、様々な信号のZ変換を効率的に求められるようになる。
本章ではこの2つの性質について、定理の証明と応用例を示す。
1. 線形性
定理2.1（線形性）
任意の定数 $a, b$ と信号 $x_1[n], x_2[n]$ に対して、
$$\mathcal{Z}\{a x_1[n] + b x_2[n]\} = a X_1(z) + b X_2(z)$$ここで $X_1(z) = \mathcal{Z}\{x_1[n]\}$、$X_2(z) = \mathcal{Z}\{x_2[n]\}$ である。
ただし、各Z変換が定義される $z$ の範囲（収束領域）が重なっている必要がある。
証明
Z変換の定義より、
$$\begin{align} \mathcal{Z}\{a x_1[n] + b x_2[n]\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} (a x_1[n] + b x_2[n]) z^{-n} \\ &= a \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1[n] z^{-n} + b \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_2[n] z^{-n} \\ &= a X_1(z) + b X_2(z) \end{align}$$この等式が成り立つのは、両方の級数が収束する $z$ の範囲に限られる。収束領域（ROC）の詳細は初級 第2章で扱う。
例2.1
$x[n] = 2 \cdot 3^n u[n] - 5 \cdot 2^n u[n]$ のZ変換を求める。
解答：
第1章で学んだように、$\mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \dfrac{z}{z-a}$（$|z| > |a|$）なので、線形性より、
$$\begin{align} X(z) &= 2 \cdot \mathcal{Z}\{3^n u[n]\} - 5 \cdot \mathcal{Z}\{2^n u[n]\} \\ &= 2 \cdot \frac{z}{z-3} - 5 \cdot \frac{z}{z-2} \\ &= \frac{2z(z-2) - 5z(z-3)}{(z-3)(z-2)} \\ &= \frac{-3z^2 + 11z}{(z-3)(z-2)} \end{align}$$この式は $|z| > 3$ のとき有効である（両方の級数が収束する範囲）。
例2.2
$x[n] = 3 \cdot 2^n u[n] - 5 u[n]$ のZ変換を求める。
解答：
$\mathcal{Z}\{u[n]\} = \dfrac{z}{z-1}$（$|z| > 1$）を用いて、
$$X(z) = 3 \cdot \frac{z}{z-2} - 5 \cdot \frac{z}{z-1} = \frac{-2z^2 + 7z}{(z-2)(z-1)}, \quad |z| > 2$$2. 時間シフト
定理2.2（時間シフト）
整数 $k$ に対して、
$$\mathcal{Z}\{x[n-k]\} = z^{-k} X(z)$$すなわち、信号を $k$ サンプル遅延させると、Z変換に $z^{-k}$ が掛かる。
証明
$m = n - k$ と置換すると、
$$\begin{align} \mathcal{Z}\{x[n-k]\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n-k] z^{-n} \\ &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m] z^{-(m+k)} \\ &= z^{-k} \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m] z^{-m} \\ &= z^{-k} X(z) \end{align}$$注意
$k > 0$：$k$ サンプル遅延（$z^{-k}$ 倍）。ディジタルフィルタ設計で最も多いケース。
$k < 0$：$|k|$ サンプル前進（$z^{|k|}$ 倍）。未来の値が必要なため非因果的。
図1: 時間シフト — 信号 x[n] を k=2 サンプル遅延すると x[n−2] になる
例2.3（遅延システム）
$x[n] = \delta[n] + 2\delta[n-1] + 3\delta[n-2]$ のZ変換を求める。
解答：
$\mathcal{Z}\{\delta[n]\} = 1$ なので、時間シフト性と線形性より、
$$\begin{align} X(z) &= \mathcal{Z}\{\delta[n]\} + 2\mathcal{Z}\{\delta[n-1]\} + 3\mathcal{Z}\{\delta[n-2]\} \\ &= 1 + 2z^{-1} + 3z^{-2} \\ &= \frac{z^2 + 2z + 3}{z^2} \end{align}$$この式は $z \neq 0$ で有効である（有限長信号なので $z = 0$ 以外のすべての点で収束する）。
練習問題
問題1（線形性）
次の信号のZ変換を求めよ。
(a) $x[n] = 3^n u[n] + 2^n u[n]$
(b) $x[n] = 4 \cdot (0.5)^n u[n] - 3 \cdot (0.8)^n u[n]$
解答
(a) 線形性より、
$$X(z) = \frac{z}{z-3} + \frac{z}{z-2} = \frac{z(z-2) + z(z-3)}{(z-3)(z-2)} = \frac{2z^2 - 5z}{(z-3)(z-2)}, \quad |z| > 3$$(b) 線形性より、
$$X(z) = 4 \cdot \frac{z}{z-0.5} - 3 \cdot \frac{z}{z-0.8} = \frac{4z(z-0.8) - 3z(z-0.5)}{(z-0.5)(z-0.8)} = \frac{z^2 - 1.7z}{(z-0.5)(z-0.8)}, \quad |z| > 0.8$$問題2（時間シフト）
(a) $\mathcal{Z}\{u[n-1]\}$ を求めよ。
(b) $\mathcal{Z}\{u[n-3]\}$ を求めよ。
解答
(a) $\mathcal{Z}\{u[n]\} = \dfrac{z}{z-1}$（$|z| > 1$）と時間シフト性より、
$$\mathcal{Z}\{u[n-1]\} = z^{-1} \cdot \frac{z}{z-1} = \frac{1}{z-1}, \quad |z| > 1$$(b) 同様に、
$$\mathcal{Z}\{u[n-3]\} = z^{-3} \cdot \frac{z}{z-1} = \frac{z^{-2}}{z-1} = \frac{1}{z^2(z-1)}, \quad |z| > 1$$問題3（線形性＋時間シフト）
差分方程式 $y[n] - 0.5y[n-1] = x[n]$（初期条件：$y[-1] = 0$）の両辺をZ変換し、伝達関数 $H(z) = Y(z)/X(z)$ を求めよ。
解答
時間シフト性より $\mathcal{Z}\{y[n-1]\} = z^{-1}Y(z)$ なので、
$$Y(z) - 0.5z^{-1}Y(z) = X(z)$$これを整理すると、
$$Y(z) = \frac{X(z)}{1 - 0.5z^{-1}} = \frac{zX(z)}{z - 0.5}$$したがって、
$$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{z}{z - 0.5}$$まとめ
- 線形性：複数の信号の線形結合のZ変換は、個別のZ変換の同じ線形結合になる
- 時間シフト：$k$ サンプルの遅延は $z^{-k}$ の乗算に対応する
- この2つの性質により、差分方程式を代数方程式に変換して解くことができる
- 第1章のZ変換表と組み合わせることで、様々な信号のZ変換を効率的に求められる
Z変換のその他の性質（z領域微分、スケーリング、時間反転、共役、畳み込み）については初級 第1章で扱う。