Z変換の定義

単位インパルス $\delta[n] = \begin{cases} 1 & n = 0 \\ 0 & n \neq 0 \end{cases}$ のZ変換は $$\mathcal{Z}\{\delta[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} \delta[n] z^{-n} = z^0 = 1$$ すべての $z$ で収束する。

単位ステップ $u[n] = \begin{cases} 1 & n \geq 0 \\ 0 & n < 0 \end{cases}$ のZ変換は $$\mathcal{Z}\{u[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} 1 \cdot z^{-n} = 1 + z^{-1} + z^{-2} + \cdots$$ これは初項 $1$、公比 $z^{-1}$ の等比級数であり、$|z^{-1}| < 1$ すなわち $|z| > 1$ のとき $$= \frac{1}{1-z^{-1}} = \frac{z}{z-1}$$ に収束する。

指数数列 $x[n] = a^n u[n]$ （$a$ は定数）のZ変換は $$\mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} a^n z^{-n} = 1 + \frac{a}{z} + \left(\frac{a}{z}\right)^2 + \cdots$$ これは初項 $1$、公比 $a/z$ の等比級数であり、$|a/z| < 1$ すなわち $|z| > |a|$ のとき $$= \frac{1}{1-az^{-1}} = \frac{z}{z-a}$$ に収束する。単位ステップは $a = 1$ の特殊ケースである。

$x[n] = \sin(\omega_0 n)\, u[n]$ のZ変換を求める。オイラーの公式より $$\sin(\omega_0 n) = \dfrac{e^{j\omega_0 n} - e^{-j\omega_0 n}}{2j}$$ であるから、Z変換の線形性と上記の指数数列の結果 $\mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \dfrac{z}{z-a}$ を $a = e^{j\omega_0}$ と $a = e^{-j\omega_0}$ に適用すると $$\mathcal{Z}\{\sin(\omega_0 n)\, u[n]\} = \dfrac{1}{2j}\left(\dfrac{z}{z - e^{j\omega_0}} - \dfrac{z}{z - e^{-j\omega_0}}\right)$$ 通分して整理する。分母は $$(z - e^{j\omega_0})(z - e^{-j\omega_0}) = z^2 - (e^{j\omega_0} + e^{-j\omega_0})z + 1 = z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1$$ 分子は $$z(z - e^{-j\omega_0}) - z(z - e^{j\omega_0}) = z(e^{j\omega_0} - e^{-j\omega_0}) = 2jz\sin\omega_0$$ したがって $$\mathcal{Z}\{\sin(\omega_0 n)\, u[n]\} = \dfrac{1}{2j} \cdot \dfrac{2jz\sin\omega_0}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1} = \dfrac{z\sin\omega_0}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1}$$ ただし $|z| > 1$ で収束する（$|e^{\pm j\omega_0}| = 1$ なので）。

例：1次IIRフィルタ

入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係が $$y[n] = 0.5\, y[n-1] + x[n]$$ で与えられるとする。ここで差分方程式をZ変換するために、時間シフト性質を用いる。初期条件をゼロ（$y[-1] = 0$）と仮定すると、片側Z変換でも $$\mathcal{Z}\{x[n-1]\} = z^{-1} X(z)$$ が成り立つ。すなわち1サンプルの遅延は $z^{-1}$ の乗算に対応する（証明は第2章で示す）。これを上の差分方程式に適用すると $$Y(z) = 0.5\, z^{-1} Y(z) + X(z)$$ となる。$Y(z)$ について整理すると $$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}} = \frac{z}{z - 0.5}$$ が得られる。この $H(z)$（出力のZ変換と入力のZ変換の比）を伝達関数（transfer function）と呼ぶ。伝達関数はシステムの入出力関係を $z$ の有理式として表したもので、システムの性質を完全に特徴づける。

$H(z)$ の分母が 0 になる $z$ の値を極（pole）と呼ぶ。この例では極は $z = 0.5$ であり、単位円（$|z| = 1$）の内側にある。離散時間システムでは、すべての極が単位円の内側にあるとき安定である（出力が発散しない）。