第1章：Z変換の性質

Properties of Z-Transform

概要

Z変換は多くの重要な性質を持ち、これらを利用することで複雑な信号のZ変換を既知の変換から導くことができる。本章では、z領域微分、スケーリング、時間反転、共役、畳み込みの5つの性質について、厳密な証明と応用例を示す。

最も基本的な線形性と時間シフトの性質は入門第2章で扱っている。Z変換の定義と基本的な変換ペアについては、入門第1章を参照されたい。

複素変数 $z$ の意味

$z = re^{j\omega}$ と極形式で表すと、$|z| = r$ は振幅の減衰・成長率、$\omega$ は角周波数に対応する。特に $|z| = 1$ の円（単位円）上、すなわち $z = e^{j\omega}$ とおくと、Z変換は離散時間フーリエ変換（DTFT）に帰着する： $$X(e^{j\omega}) = \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\, e^{-j\omega n}$$ ただし単位円が収束領域に含まれる場合に限る。

なお、DTFT は無限長の信号に対する連続周波数の変換であり、有限長 $N$ 点の信号を $N$ 個の離散周波数に変換する離散フーリエ変換（DFT）： $$X[k] = \displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} x[n]\, e^{-j2\pi kn/N}$$ とは異なる。DFT は DTFT を $N$ 等分の周波数点でサンプリングしたものと解釈できる。

1. z領域微分

定理1.1（z領域微分）

信号に $n$ を乗じた場合、

$$\mathcal{Z}\{n \cdot x[n]\} = -z \dfrac{dX(z)}{dz}$$

ROCは $X(z)$ と同じ（極の位置は除く）。

一般に、$k$ 回適用すると、

$$\mathcal{Z}\{n^k x[n]\} = \left(-z \dfrac{d}{dz}\right)^k X(z)$$

証明

$X(z) = \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$ の両辺を $z$ で微分すると、

$$\dfrac{dX(z)}{dz} = \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \cdot (-n) z^{-n-1} = -z^{-1} \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} n \cdot x[n] \cdot z^{-n}$$

よって、

$$-z \dfrac{dX(z)}{dz} = \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} n \cdot x[n] \cdot z^{-n} = \mathcal{Z}\{n \cdot x[n]\}$$

例1.1（$n u[n]$ のZ変換）

$\mathcal{Z}\{n u[n]\}$ を求める。

解答：

$X(z) = \mathcal{Z}\{u[n]\} = \dfrac{z}{z-1}$ なので、

$$\begin{align} \dfrac{dX(z)}{dz} &= \dfrac{d}{dz}\left(\dfrac{z}{z-1}\right) = \dfrac{(z-1) - z}{(z-1)^2} = \dfrac{-1}{(z-1)^2} \end{align}$$

したがって、

$$\mathcal{Z}\{n u[n]\} = -z \cdot \dfrac{-1}{(z-1)^2} = \dfrac{z}{(z-1)^2}, \quad |z| > 1$$

例1.2（$n a^n u[n]$ のZ変換）

$\mathcal{Z}\{n a^n u[n]\}$ を求める。

解答：

$X(z) = \mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \dfrac{z}{z-a}$ なので、

$$\dfrac{dX(z)}{dz} = \dfrac{(z-a) - z}{(z-a)^2} = \dfrac{-a}{(z-a)^2}$$

したがって、

$$\mathcal{Z}\{n a^n u[n]\} = -z \cdot \dfrac{-a}{(z-a)^2} = \dfrac{az}{(z-a)^2}, \quad |z| > |a|$$

例1.3（$n^2 u[n]$ のZ変換）

z領域微分を2回適用して $\mathcal{Z}\{n^2 u[n]\}$ を求める。

解答：

$Y(z) = \mathcal{Z}\{n u[n]\} = \dfrac{z}{(z-1)^2}$ として、

$$\dfrac{dY(z)}{dz} = \dfrac{(z-1)^2 - z \cdot 2(z-1)}{(z-1)^4} = \dfrac{(z-1) - 2z}{(z-1)^3} = \dfrac{-z-1}{(z-1)^3}$$

したがって、

$$\mathcal{Z}\{n^2 u[n]\} = -z \cdot \dfrac{-z-1}{(z-1)^3} = \dfrac{z(z+1)}{(z-1)^3}, \quad |z| > 1$$

2. スケーリング

定理1.2（スケーリング）

定数 $a \neq 0$ に対して、

$$\mathcal{Z}\{a^n x[n]\} = X(z/a)$$

すなわち $X(z)$ の $z$ を $z/a$ で置き換えたものに等しい。

ROCは $|a| \cdot \text{ROC}_X$ すなわち $\{z : |z/a| \in \text{ROC}_X\}$。

証明

$$\begin{align} \mathcal{Z}\{a^n x[n]\} &= \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} a^n x[n] z^{-n} \\ &= \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] (a^{-1}z)^{-n} \\ &= X(z/a) \end{align}$$

$X(z)$ のROCが $R_1 < |z| < R_2$ のとき、$X(z/a)$ のROCは $|a|R_1 < |z| < |a|R_2$ となる。

例1.4

$\mathcal{Z}\{(0.5)^n u[n]\}$ をスケーリング性から求める。

解答：

$\mathcal{Z}\{u[n]\} = \dfrac{z}{z-1}$（$|z| > 1$）なので、$a = 0.5$ として、

$$\mathcal{Z}\{(0.5)^n u[n]\} = \dfrac{z/0.5}{z/0.5 - 1} = \dfrac{2z}{2z - 1} = \dfrac{z}{z - 0.5}$$

ROCは $|z/0.5| > 1$ すなわち $|z| > 0.5$。

これは $\mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \dfrac{z}{z-a}$ に $a = 0.5$ を代入した結果と一致する。

例1.5（減衰振動）

$x[n] = r^n \cos(\omega_0 n) u[n]$ のZ変換を求める（$0 < r < 1$）。

解答：

$\mathcal{Z}\{\cos(\omega_0 n) u[n]\} = \dfrac{z(z - \cos\omega_0)}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1}$（$|z| > 1$）なので、スケーリング性 $z \to z/r$ より、

$$\begin{align} X(z) &= \dfrac{(z/r)((z/r) - \cos\omega_0)}{(z/r)^2 - 2(z/r)\cos\omega_0 + 1} \\ &= \dfrac{z(z - r\cos\omega_0)}{z^2 - 2rz\cos\omega_0 + r^2} \end{align}$$

ROCは $|z| > r$。極は $z = re^{\pm j\omega_0}$ で単位円内にある（安定）。

3. 時間反転

定理1.3（時間反転）

信号の時間を反転させた場合、

$$\mathcal{Z}\{x[-n]\} = X(z^{-1}) = X(1/z)$$

ROCは $1/\text{ROC}_X$ すなわち $\{z : 1/z \in \text{ROC}_X\}$。

証明

$m = -n$ と置換すると、

$$\begin{align} \mathcal{Z}\{x[-n]\} &= \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[-n] z^{-n} \\ &= \displaystyle\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m] z^{m} \\ &= \displaystyle\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m] (z^{-1})^{-m} \\ &= X(z^{-1}) \end{align}$$

$X(z)$ のROCが $R_1 < |z| < R_2$ のとき、$X(1/z)$ のROCは $1/R_2 < |z| < 1/R_1$ となる。

例1.6

$x[n] = a^n u[n]$ の時間反転 $x[-n] = a^{-n} u[-n]$ のZ変換を求める。

解答：

$X(z) = \dfrac{z}{z-a}$（$|z| > |a|$）なので、

$$\mathcal{Z}\{x[-n]\} = X(1/z) = \dfrac{1/z}{1/z - a} = \dfrac{1}{1 - az}$$

$u[-n]$ を含む信号なので直接計算でも確認できる：

$$\mathcal{Z}\{a^{-n} u[-n]\} = \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{0} a^{-n} z^{-n} = \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} (az)^{m} = \dfrac{1}{1 - az}, \quad |az| < 1$$

ROCは $|z| < |a|^{-1}$ であり、元のROC $|z| > |a|$ の反転 $|z| < 1/|a|$ と一致する。

4. 共役

定理1.4（共役）

信号の複素共役に対して、

$$\mathcal{Z}\{x^*[n]\} = X^*(z^*)$$

ROCは $X(z)$ と同じ。

証明

共役の定義から直接示せる：

$$\begin{align} \mathcal{Z}\{x^*[n]\} &= \displaystyle\sum_{n} x^*[n] z^{-n} = \left( \displaystyle\sum_{n} x[n] (z^*)^{-n} \right)^* \\ &= \big(X(z^*)\big)^* = X^*(z^*) \end{align}$$

2 つ目の等号では $x^*[n] z^{-n} = \left(x[n] (z^*)^{-n}\right)^*$ を用いた（$\left((z^*)^{-n}\right)^* = z^{-n}$ による）。

注意：実数信号の場合

$x[n]$ が実数信号のとき $x^*[n] = x[n]$ なので、$X(z) = X^*(z^*)$ が成り立つ。すなわち、実数信号のZ変換は共役対称性を持つ。

特に、実数信号のZ変換の極と零点は必ず共役ペアで現れるか、実軸上に位置する。

例1.7

$x[n] = e^{j\omega_0 n} u[n]$ のとき、$x^*[n] = e^{-j\omega_0 n} u[n]$ のZ変換を求める。

解答：

$X(z) = \mathcal{Z}\{e^{j\omega_0 n} u[n]\} = \dfrac{z}{z - e^{j\omega_0}}$（$|z| > 1$）なので、

$$\mathcal{Z}\{e^{-j\omega_0 n} u[n]\} = X^*(z^*) = \dfrac{z^*}{z^* - e^{-j\omega_0}} \Bigg|_{z^* \to z} = \dfrac{z}{z - e^{-j\omega_0}}$$

これはスケーリング性で $a = e^{-j\omega_0}$ とした結果とも一致する。

5. 畳み込み

定理1.5（畳み込み定理）

$X_1(z) = \mathcal{Z}\{x_1[n]\}$、$X_2(z) = \mathcal{Z}\{x_2[n]\}$ とするとき、

$$\mathcal{Z}\{x_1[n] * x_2[n]\} = X_1(z) \cdot X_2(z)$$

ROCは少なくとも $\text{ROC}_1 \cap \text{ROC}_2$ を含む。

証明

畳み込みの定義 $y[n] = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} x_1[k] x_2[n-k]$ のZ変換を取ると、

$$\begin{align} Y(z) &= \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \left(\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} x_1[k] x_2[n-k]\right) z^{-n} \end{align}$$

和の順序を交換し、$m = n - k$ と置換すると、

$$\begin{align} &= \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} x_1[k] \displaystyle\sum_{m=-\infty}^{\infty} x_2[m] z^{-(m+k)} \\ &= \left(\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} x_1[k] z^{-k}\right) \left(\displaystyle\sum_{m=-\infty}^{\infty} x_2[m] z^{-m}\right) \\ &= X_1(z) \cdot X_2(z) \end{align}$$

図 1: 畳み込み定理 — 時間領域の畳み込みは Z 領域では乗算に対応する

例1.8（LTIシステムの出力）

インパルス応答 $h[n] = (0.5)^n u[n]$ のシステムに $x[n] = u[n]$ を入力したときの出力を求める。

解答：

$H(z) = \dfrac{z}{z-0.5}$（$|z| > 0.5$）、$X(z) = \dfrac{z}{z-1}$（$|z| > 1$）なので、

$$Y(z) = H(z) X(z) = \dfrac{z}{z-0.5} \cdot \dfrac{z}{z-1} = \dfrac{z^2}{(z-0.5)(z-1)}$$

部分分数分解（第4章で詳しく学ぶ）。各係数は留数として、$\left.\dfrac{z}{z-1}\right|_{z=0.5} = \dfrac{0.5}{-0.5} = -1$、$\left.\dfrac{z}{z-0.5}\right|_{z=1} = \dfrac{1}{0.5} = 2$ と求まる：

$$\dfrac{Y(z)}{z} = \dfrac{z}{(z-0.5)(z-1)} = \dfrac{-1}{z-0.5} + \dfrac{2}{z-1}$$ $$Y(z) = -\dfrac{z}{z-0.5} + \dfrac{2z}{z-1}$$

ROC $|z| > 1$ より因果信号なので、

$$y[n] = \left[2 - (0.5)^n\right] u[n]$$

例1.9（有限長信号の畳み込み）

$x_1[n] = \{1, 2, 3\}$（$n = 0, 1, 2$）と $x_2[n] = \{1, 1\}$（$n = 0, 1$）の畳み込みをZ変換で求める。

解答：

$X_1(z) = 1 + 2z^{-1} + 3z^{-2}$、$X_2(z) = 1 + z^{-1}$ なので、

$$\begin{align} Y(z) &= X_1(z) X_2(z) = (1 + 2z^{-1} + 3z^{-2})(1 + z^{-1}) \\ &= 1 + 3z^{-1} + 5z^{-2} + 3z^{-3} \end{align}$$

したがって、$y[n] = \{1, 3, 5, 3\}$（$n = 0, 1, 2, 3$）。

$x_1[n]$・$x_2[n]$ はともに有限長の因果信号なので、$Y(z)$ は $z$ の負べきのみを含み、ROC は $z = 0$ を除く全 $z$ 平面（$|z| > 0$）となる。

Z変換の性質一覧表

性質	時間領域 $x[n]$	Z領域 $X(z)$	ROC
定義	$x[n]$	$X(z)$	$R_x$
z領域微分	$n x[n]$	$-z \dfrac{dX(z)}{dz}$	$R_x$
スケーリング	$a^n x[n]$	$X(z/a)$	$\|a\| R_x$
時間反転	$x[-n]$	$X(1/z)$	$1/R_x$
共役	$x^*[n]$	$X^(z^)$	$R_x$
畳み込み	$x_1[n] * x_2[n]$	$X_1(z) X_2(z)$	少なくとも $R_1 \cap R_2$

練習問題

問題1（線形性・z領域微分）

次の信号のZ変換を求めよ。

(a) $x[n] = 3^n u[n] + 2^n u[n]$

(b) $x[n] = (n+1) 2^n u[n]$

解答

(a) 線形性より、

$$X(z) = \dfrac{z}{z-3} + \dfrac{z}{z-2} = \dfrac{z(z-2) + z(z-3)}{(z-3)(z-2)} = \dfrac{2z^2 - 5z}{(z-3)(z-2)}, \quad |z| > 3$$

(b) $(n+1)2^n = n \cdot 2^n + 2^n$ より、線形性を用いて、

$$X(z) = \mathcal{Z}\{n \cdot 2^n u[n]\} + \mathcal{Z}\{2^n u[n]\} = \dfrac{2z}{(z-2)^2} + \dfrac{z}{z-2}$$ $$= \dfrac{2z + z(z-2)}{(z-2)^2} = \dfrac{z^2}{(z-2)^2}, \quad |z| > 2$$

問題2（時間シフト・z領域微分）

(a) $\mathcal{Z}\{u[n-3]\}$ を求めよ。

(b) $\mathcal{Z}\{n(n-1) a^n u[n]\}$ を求めよ。（ヒント：z領域微分を2回適用）

解答

(a) $\mathcal{Z}\{u[n]\} = \dfrac{z}{z-1}$ と時間シフト性より、

$$\mathcal{Z}\{u[n-3]\} = z^{-3} \cdot \dfrac{z}{z-1} = \dfrac{z^{-2}}{z-1} = \dfrac{1}{z^2(z-1)}, \quad |z| > 1$$

(b) $n(n-1)a^n u[n] = n^2 a^n u[n] - n a^n u[n]$ と分解するか、直接2回微分する。

$F(z) = \mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \dfrac{z}{z-a}$ とし、$G(z) = \mathcal{Z}\{na^n u[n]\} = \dfrac{az}{(z-a)^2}$ として、

$$\dfrac{dG}{dz} = a \cdot \dfrac{(z-a)^2 - z \cdot 2(z-a)}{(z-a)^4} = a \cdot \dfrac{-(z+a)}{(z-a)^3}$$ $$\mathcal{Z}\{n^2 a^n u[n]\} = -z \cdot \dfrac{dG}{dz} = \dfrac{az(z+a)}{(z-a)^3}$$

したがって、

$$\mathcal{Z}\{n(n-1)a^n u[n]\} = \dfrac{az(z+a)}{(z-a)^3} - \dfrac{az}{(z-a)^2} = \dfrac{az(z+a) - az(z-a)}{(z-a)^3} = \dfrac{2a^2 z}{(z-a)^3}$$

ROCは $|z| > |a|$。

問題3（スケーリング・時間反転）

(a) $x[n] = r^n \sin(\omega_0 n) u[n]$（$0 < r < 1$）のZ変換を求めよ。

(b) $x[n] = -3^n u[-n-1]$ のZ変換を求めよ。

解答

(a) $\mathcal{Z}\{\sin(\omega_0 n) u[n]\} = \dfrac{z\sin\omega_0}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1}$（$|z| > 1$）にスケーリング $z \to z/r$ を適用：

$$X(z) = \dfrac{rz \sin\omega_0}{z^2 - 2rz\cos\omega_0 + r^2}, \quad |z| > r$$

(b) $\mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \dfrac{z}{z-a}$（$|z| > |a|$）と時間反転性より、

$\mathcal{Z}\{a^{-n} u[-n]\} = \dfrac{1}{1-az}$（$|z| < 1/|a|$）である。

直接計算として、$-3^n u[-n-1]$ は $n \leq -1$ で $-3^n$ である：

$$\mathcal{Z}\{-3^n u[-n-1]\} = -\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{-1} 3^n z^{-n} = -\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} 3^{-m} z^{m} = -\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} \left(\dfrac{z}{3}\right)^m$$ $$= -\dfrac{z/3}{1 - z/3} = \dfrac{-z}{3 - z} = \dfrac{z}{z-3}, \quad |z| < 3$$

問題4（畳み込み）

$x_1[n] = (0.5)^n u[n]$ と $x_2[n] = (0.8)^n u[n]$ の畳み込み $y[n] = x_1[n] * x_2[n]$ を求めよ。

解答

$X_1(z) = \dfrac{z}{z-0.5}$、$X_2(z) = \dfrac{z}{z-0.8}$ なので、

$$Y(z) = \dfrac{z^2}{(z-0.5)(z-0.8)}$$

部分分数分解：

$$\dfrac{Y(z)}{z} = \dfrac{z}{(z-0.5)(z-0.8)} = \dfrac{A}{z-0.5} + \dfrac{B}{z-0.8}$$ $$\begin{align} A &= \dfrac{0.5}{0.5-0.8} = \dfrac{0.5}{-0.3} = -\dfrac{5}{3} \\ B &= \dfrac{0.8}{0.8-0.5} = \dfrac{0.8}{0.3} = \dfrac{8}{3} \end{align}$$ $$Y(z) = -\dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{z}{z-0.5} + \dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{z}{z-0.8}$$

ROC $|z| > 0.8$ より因果信号：

$$y[n] = \dfrac{1}{3}\left[8(0.8)^n - 5(0.5)^n\right] u[n]$$

まとめ

z領域微分：$n$ の乗算は $-z\dfrac{d}{dz}$ に対応
スケーリング：$a^n$ の乗算は変数変換 $z \to z/a$ に対応
時間反転：$n \to -n$ は $z \to 1/z$ に対応
共役：$x^*[n] \leftrightarrow X^*(z^*)$、実数信号は共役対称
畳み込み：時間領域の畳み込みはZ領域の乗算に対応
入門第2章の線形性・時間シフトと合わせて、Z変換の全基本性質を習得できる
これらの性質を組み合わせることで、複雑な信号のZ変換を効率的に導出できる

よくある質問

Z領域微分（$z$-domain differentiation）とはどのような性質か？

$n\cdot x[n]$ のZ変換は $-z\,\dfrac{d}{dz}X(z)$ で与えられる。この性質を繰り返し適用することで、$n^k x[n]$ の変換も求められる。ランプ信号 $n\,u[n]$ など、次数付きシーケンスのZ変換を導出する際に有用である。

時間反転の性質はどのように表されるか？

$x[-n]$ のZ変換は $X(1/z)$ となる。つまり $z$ を $1/z$ に置き換えるだけである。ROC も $1/\text{ROC}$ に変換される。非因果信号や両側Z変換の文脈で使われる。

共役性質とはどのような性質か？

複素シーケンス $x[n]$ の共役 $x^*[n]$ のZ変換は $X^*(z^*)$ である。実数シーケンス（$x[n]=x^*[n]$）では $X(z)=X^*(z^*)$ が成り立ち、実数係数の伝達関数で極・零点が共役対として現れる理由を説明する。