不定積分とは何か？

不定積分とは、微分の逆演算である。関数 f(x) の不定積分 ∫f(x)dx は、微分すると f(x) になる関数（原始関数）F(x) に積分定数 C を加えたものである。

定積分と不定積分の違いは？

不定積分は関数（原始関数＋定数）を返すのに対し、定積分は区間 [a,b] 上の面積に対応する数値を返す。微分積分学の基本定理により、∫_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) と計算できる。

置換積分はいつ使うのか？

被積分関数が合成関数の形をしているとき、内側の関数を新しい変数に置き換えることで積分を簡単にする手法である。例えば ∫2x·cos(x²)dx は t=x² と置換すると ∫cos(t)dt = sin(t)+C に帰着する。

部分積分の公式は？

∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx である。2つの関数の積の積分を、別の積分に変換する手法で、対数関数・逆三角関数を含む積分などに有効である。

積分入門

入門（高校数学レベル）

不定積分と定積分

入門の概要

$f(x)$ $F(x)$ $a$ $b$ $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

入門では、高校数学で学ぶ積分の基礎を学ぶ。微分の逆演算としての不定積分、面積を求める定積分、そして置換積分・部分積分の計算技法を習得する。

学習目標

不定積分の概念と基本公式を理解する
定積分と面積の関係を理解する
置換積分・部分積分を使いこなす
積分の応用（面積・体積）を理解する

第1章　不定積分原始関数、積分定数、基本公式	証明集
第2章　定積分定積分の定義、面積、基本定理	証明集
第3章　置換積分置換積分法、三角関数の置換	証明集
第4章　部分積分部分積分法、応用例	証明集
第5章　面積の計算曲線で囲まれた面積、2曲線間の面積	証明集
第6章　体積の計算回転体の体積、断面積による体積	証明集

前提知識

微分の基礎（導関数の計算）
三角関数、指数・対数関数の基礎

基本公式

基本的な不定積分

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$ $$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$$ $$\int e^x \, dx = e^x + C$$ $$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x \, dx = \sin x + C$$

微分積分学の基本定理

$F'(x) = f(x)$のとき：

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) = [F(x)]_a^b$$

部分積分

$$\int f(x)g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx$$

入門の概要

学習目標

目次

前提知識

基本公式