第2章: 定積分

Definite Integral

定積分の定義と微分積分学の基本定理を学ぶ。面積との関係を理解する。

2.1 面積の問題

曲線$y = f(x)$と$x$軸、直線$x = a$, $x = b$で囲まれた領域の面積をどうやって求めるか？

区分求積法のアイデア x y y = f(x) a b
図1: 区分求積法のアイデア — 曲線の下の面積を長方形で近似

区分求積法

  1. 区間$[a, b]$を$n$等分する
  2. 各小区間で長方形の面積を計算する
  3. 長方形の面積の和を求める
  4. $n \to \infty$の極限を取る

区間$[a, b]$を$n$等分すると、分点は：

$$x_k = a + \frac{b-a}{n}k \quad (k = 0, 1, 2, \ldots, n)$$

小区間の幅は$\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$

各小区間$[x_{k-1}, x_k]$での長方形の面積の和（リーマン和）：

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \cdot \Delta x = \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \cdot \frac{b-a}{n}$$

2.2 定積分の定義

定義: 定積分

関数$f(x)$の区間$[a, b]$における定積分を次で定義する：

$$\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \cdot \frac{b-a}{n}$$

ただし、この極限が存在するとき$f(x)$は$[a, b]$で積分可能という。

記号の読み方：

  • $a$: 下端（lower limit）
  • $b$: 上端（upper limit）
  • $\displaystyle\int_a^b$: 「$a$から$b$まで積分する」と読む
定積分の幾何学的意味 a b
図2: 定積分の幾何学的意味 — 面積 = $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$

定積分と不定積分の違い

  • 不定積分$\displaystyle\int f(x)\,dx$: 関数（原始関数の族）
  • 定積分$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$: 数値

2.3 微分積分学の基本定理

定理: 微分積分学の基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）

$f(x)$が$[a, b]$で連続で、$F(x)$が$f(x)$の原始関数（$F'(x) = f(x)$）のとき：

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

証明→

記号: $F(b) - F(a)$を$[F(x)]_a^b$または$\left.F(x)\right|_a^b$と書く。

この定理により、定積分の計算は：

  1. $f(x)$の原始関数$F(x)$を一つ求める
  2. $F(b) - F(a)$を計算する

という手順に帰着する。リーマン和の極限を直接計算する必要がない。

例2.1

$\displaystyle\int_0^2 x^2 \, dx$を求める。

$x^2$の原始関数は$\dfrac{x^3}{3}$

$$\int_0^2 x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$$
x y 0 1 2 y = x²
図3: $y = x^2$ の 0 から 2 までの定積分（面積 = $\tfrac{8}{3}$）

定理: 微分積分学の基本定理（第2形式）

$f(x)$が連続のとき、関数$G(x) = \displaystyle\int_a^x f(t) \, dt$について：

$$G'(x) = f(x)$$

証明→

これは「定積分の上端を変数とみなして微分すると、被積分関数に戻る」ことを意味する。

2.4 定積分の性質

性質1: 線形性

$$\int_a^b \{cf(x) + dg(x)\} \, dx = c\int_a^b f(x) \, dx + d\int_a^b g(x) \, dx$$

証明→

性質2: 区間の分割

$a < c < b$のとき：

$$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx$$

証明→

性質3: 端点の交換

$$\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx$$

証明→

性質4: 同じ端点

$$\int_a^a f(x) \, dx = 0$$

証明→

性質5: 不等式

$[a, b]$で$f(x) \leq g(x)$ならば：

$$\int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx$$

証明→

性質6: 偶関数・奇関数

$f(x)$が偶関数（$f(-x) = f(x)$）のとき：

$$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2\int_0^a f(x) \, dx$$

$f(x)$が奇関数（$f(-x) = -f(x)$）のとき：

$$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$$

証明→

偶関数 同じ 同じ 奇関数 負 正 打ち消し合う
図4: 偶関数と奇関数の対称区間での定積分

2.5 計算例

例2.2

$\displaystyle\int_1^3 (2x + 1) \, dx$を求める。

$$\begin{align} \int_1^3 (2x + 1) \, dx &= \left[x^2 + x\right]_1^3 \\ &= (3^2 + 3) - (1^2 + 1) \\ &= 12 - 2 = 10 \end{align}$$

例2.3

$\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x \, dx$を求める。

$$\begin{align} \int_0^{\pi} \sin x \, dx &= \left[-\cos x\right]_0^{\pi} \\ &= (-\cos \pi) - (-\cos 0) \\ &= -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2 \end{align}$$

例2.4: 偶関数の活用

$\displaystyle\int_{-2}^{2} x^4 \, dx$を求める。

$f(x) = x^4$は偶関数なので：

$$\int_{-2}^{2} x^4 \, dx = 2\int_0^2 x^4 \, dx = 2\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^2 = 2 \cdot \frac{32}{5} = \frac{64}{5}$$

例2.5: 奇関数の活用

$\displaystyle\int_{-1}^{1} x^3 \, dx$を求める。

$f(x) = x^3$は奇関数なので：

$$\int_{-1}^{1} x^3 \, dx = 0$$

検算:

$$\int_{-1}^{1} x^3 \, dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0 \quad \checkmark$$

例2.6: 区間の分割

$\displaystyle\int_0^2 |x - 1| \, dx$を求める。

$|x - 1|$の符号が$x = 1$で変わるので：

$$|x - 1| = \begin{cases} 1 - x & (0 \leq x < 1) \\ x - 1 & (1 \leq x \leq 2) \end{cases}$$

区間を分割して：

$$\begin{align} \int_0^2 |x - 1| \, dx &= \int_0^1 (1 - x) \, dx + \int_1^2 (x - 1) \, dx \\ &= \left[x - \frac{x^2}{2}\right]_0^1 + \left[\frac{x^2}{2} - x\right]_1^2 \\ &= \left(1 - \frac{1}{2}\right) - 0 + \left(2 - 2\right) - \left(\frac{1}{2} - 1\right) \\ &= \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 1 \end{align}$$

定積分計算のチェックポイント

確認事項 対処法
被積分関数に絶対値があるか 符号が変わる点で区間を分割
偶関数・奇関数か 対称な区間なら公式を活用
上端と下端の大小 $a > b$なら符号に注意

2.6 練習問題

問題1

次の定積分を求めよ。

  1. $\displaystyle\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) \, dx$
  2. $\displaystyle\int_1^4 \sqrt{x} \, dx$
  3. $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x \, dx$
  4. $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x} \, dx$
解答を見る
  1. $$\left[x^3 - x^2 + x\right]_0^1 = (1 - 1 + 1) - 0 = 1$$
  2. $$\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_1^4 = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3}$$
  3. $$\left[\sin x\right]_0^{\pi/2} = 1 - 0 = 1$$
  4. $$\left[\ln|x|\right]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$$

問題2

次の定積分を求めよ。

  1. $\displaystyle\int_{-3}^{3} x^5 \, dx$
  2. $\displaystyle\int_{-1}^{1} (x^2 + x^3) \, dx$
  3. $\displaystyle\int_0^3 |2x - 4| \, dx$
解答を見る

  1. $x^5$は奇関数なので $\displaystyle\int_{-3}^{3} x^5 \, dx = 0$

  2. $x^2$は偶関数、$x^3$は奇関数なので：

    $$\int_{-1}^{1} (x^2 + x^3) \, dx = \int_{-1}^{1} x^2 \, dx + 0 = 2\int_0^1 x^2 \, dx = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

  3. $2x - 4 = 0$より$x = 2$で符号が変わる：

    $$\begin{align} &= \int_0^2 (4 - 2x) \, dx + \int_2^3 (2x - 4) \, dx \\ &= \left[4x - x^2\right]_0^2 + \left[x^2 - 4x\right]_2^3 \\ &= (8 - 4) - 0 + (9 - 12) - (4 - 8) \\ &= 4 + (-3) - (-4) = 5 \end{align}$$

問題3

$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^x t^2 e^t \, dt$を求めよ。

解答を見る

微分積分学の基本定理（第2形式）より：

$$\frac{d}{dx}\int_0^x t^2 e^t \, dt = x^2 e^x$$