第3章 証明集: 置換積分の定理
本ページでは、置換積分法に関する3つの定理を厳密に証明する。 いずれも合成関数の微分法（連鎖律）が中心的な役割を果たす。
1. 不定積分の置換積分法
定理（不定積分の置換積分法）
$f(u)$ が連続関数で、$g(x)$ が微分可能な関数であるとする。 $f(u)$ の原始関数を $F(u)$（すなわち $F'(u) = f(u)$）とすると、
$$ \displaystyle\int f\bigl(g(x)\bigr)\, g'(x)\, dx = F\bigl(g(x)\bigr) + C $$あるいは $u = g(x)$ と置くと、形式的に $du = g'(x)\,dx$ であるから、
$$ \displaystyle\int f\bigl(g(x)\bigr)\, g'(x)\, dx = \displaystyle\int f(u)\, du $$と書ける。
証明
$F(u)$ を $f(u)$ の原始関数とする。すなわち、
$$ F'(u) = f(u) $$合成関数 $F\bigl(g(x)\bigr)$ を $x$ について微分する。 連鎖律（chain rule）により、
$$ \dfrac{d}{dx}\, F\bigl(g(x)\bigr) = F'\bigl(g(x)\bigr) \cdot g'(x) = f\bigl(g(x)\bigr) \cdot g'(x) $$これは $F\bigl(g(x)\bigr)$ が $f\bigl(g(x)\bigr)\, g'(x)$ の原始関数であることを意味する。 したがって、不定積分の定義から、
$$ \displaystyle\int f\bigl(g(x)\bigr)\, g'(x)\, dx = F\bigl(g(x)\bigr) + C $$ここで $\displaystyle\int f(u)\, du = F(u) + C$（$F$ は $f$ の原始関数）であるから、$u = g(x)$ として、
$$ \displaystyle\int f\bigl(g(x)\bigr)\, g'(x)\, dx = \displaystyle\int f(u)\, du \bigg|_{u=g(x)} $$が成り立つ。$\blacksquare$
2. 定積分の置換積分法
定理（定積分の置換積分法）
$f(u)$ が連続関数、$g(x)$ が閉区間 $[a,\, b]$ で $C^1$ 級（連続微分可能）であるとする。 このとき、
$$ \displaystyle\int_a^b f\bigl(g(x)\bigr)\, g'(x)\, dx = \displaystyle\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\, du $$証明
$f(u)$ は連続であるから、その原始関数 $F(u)$ が存在する。すなわち、
$$ F'(u) = f(u) $$左辺の評価.
前節の結果より、$F\bigl(g(x)\bigr)$ は $f\bigl(g(x)\bigr)\, g'(x)$ の原始関数である。 微積分学の基本定理（FTC）を適用すると、
$$ \displaystyle\int_a^b f\bigl(g(x)\bigr)\, g'(x)\, dx = F\bigl(g(x)\bigr) \Big|_a^b = F\bigl(g(b)\bigr) - F\bigl(g(a)\bigr) $$右辺の評価.
同様に、$F(u)$ は $f(u)$ の原始関数であるから、FTC により、
$$ \displaystyle\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\, du = F(u) \Big|_{g(a)}^{g(b)} = F\bigl(g(b)\bigr) - F\bigl(g(a)\bigr) $$結論.
左辺と右辺はともに $F\bigl(g(b)\bigr) - F\bigl(g(a)\bigr)$ に等しい。よって、
$$ \displaystyle\int_a^b f\bigl(g(x)\bigr)\, g'(x)\, dx = \displaystyle\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\, du $$が成り立つ。$\blacksquare$
注意: 積分区間の変換
定積分の置換積分では、$u = g(x)$ と変数変換すると積分区間も変わる点に注意する。 $x = a$ のとき $u = g(a)$、$x = b$ のとき $u = g(b)$ であるから、 積分区間は $[a,\, b]$ から $[g(a),\, g(b)]$ に変わる。 $g(a) > g(b)$ となる場合もあり得るが、公式はそのまま適用できる。
3. 1次式の合成公式
定理（1次式の合成公式）
$f(x)$ が連続関数で、その原始関数を $F(x)$（すなわち $F'(x) = f(x)$）とする。 $a \neq 0$ のとき、
$$ \displaystyle\int f(ax + b)\, dx = \dfrac{1}{a}\, F(ax + b) + C $$証明
$g(x) = ax + b$ とおく。$g'(x) = a$ である。
$\dfrac{1}{a}\, F(ax + b) = \dfrac{1}{a}\, F\bigl(g(x)\bigr)$ を $x$ で微分する。 連鎖律により、
$$ \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{1}{a}\, F\bigl(g(x)\bigr)\right] = \dfrac{1}{a}\, F'\bigl(g(x)\bigr) \cdot g'(x) = \dfrac{1}{a}\, f(ax + b) \cdot a = f(ax + b) $$したがって、$\dfrac{1}{a}\, F(ax + b)$ は $f(ax + b)$ の原始関数である。 不定積分の定義から、
$$ \displaystyle\int f(ax + b)\, dx = \dfrac{1}{a}\, F(ax + b) + C $$が成り立つ。$\blacksquare$
別証（置換積分法による導出）
置換積分法を直接適用しても同じ結果が得られる。 $u = ax + b$ とおくと、$du = a\, dx$ より $dx = \dfrac{1}{a}\, du$ である。 したがって、
$$ \displaystyle\int f(ax + b)\, dx = \displaystyle\int f(u) \cdot \dfrac{1}{a}\, du = \dfrac{1}{a} \displaystyle\int f(u)\, du = \dfrac{1}{a}\, F(u) + C = \dfrac{1}{a}\, F(ax + b) + C $$この別証は形式的な計算であるが、前述の証明で置換積分法の正当性は保証されているため、 論理的に正しい。
参考文献
- 高木貞治『解析概論』岩波書店
- 杉浦光夫『解析入門 I』東京大学出版会
よくある質問
置換積分（変数変換）の公式はどのように証明されるか
合成関数の微分法（連鎖律）が鍵である：$G(t)=F(g(t))$ とおくと $G'(t)=F'(g(t))g'(t)=f(g(t))g'(t)$。微積分学の基本定理より $\int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t)dt=G(\beta)-G(\alpha)=F(g(\beta))-F(g(\alpha))=\int_{g(\alpha)}^{g(\beta)}f(x)dx$。多変数では $g$ がヤコビアン $|\det J_g|$ を含む形に拡張される。
定積分の置換では、なぜ積分区間も変えるのか
変数を $u = g(x)$ に変えると、積分は $u$ について行うことになるため、積分範囲も $u$ の値に合わせる必要がある。$x = a$ のとき $u = g(a)$、$x = b$ のとき $u = g(b)$ となるので、区間は $[g(a),\, g(b)]$ に変わる。
三角関数の置換はどのような場合に有効か
$\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{a^2+x^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$ のような根号を含む積分で有効である。それぞれ $x = a\sin\theta$、$x = a\tan\theta$、$x = a/\cos\theta$ と置換すると、三角関数の恒等式によって根号が外れる。