第1章: 不定積分

Indefinite Integral

微分の逆演算としての積分を学ぶ。原始関数の概念と基本公式を習得する。

1.1 原始関数の定義

定義: 原始関数

関数$f(x)$に対し、$F'(x) = f(x)$を満たす関数$F(x)$を$f(x)$の原始関数（primitive function）という。

微分と積分は逆の操作である。$F(x)$を微分して$f(x)$が得られるなら、$f(x)$を積分すると$F(x)$に戻る。

$f(x)$ $F(x)$ 微分 $d/dx$ 積分 $\int dx$
図1: 微分と積分の関係

定理: 原始関数の不定性

$F(x)$が$f(x)$の原始関数なら、任意の定数$C$に対して$F(x) + C$も$f(x)$の原始関数である。

証明

$F'(x) = f(x)$のとき、

$$\frac{d}{dx}(F(x) + C) = F'(x) + 0 = f(x)$$

したがって$F(x) + C$も$f(x)$の原始関数である。$\square$

例1.1

$f(x) = 2x$の原始関数を求める。

$(x^2)' = 2x$より、$F(x) = x^2$は$f(x) = 2x$の原始関数である。

また、$x^2 + 1$、$x^2 - 5$、$x^2 + \pi$などもすべて$2x$の原始関数である。

1.2 不定積分の定義

定義: 不定積分

$f(x)$の原始関数全体を$f(x)$の不定積分といい、次のように書く：

$$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$

記号の意味：

  • $\int$: 積分記号（integral sign）
  • $f(x)$: 被積分関数（integrand）
  • $dx$: 積分変数を表す
  • $F(x)$: $f(x)$の一つの原始関数（primitive function）
  • $C$: 積分定数（constant of integration）— 任意定数

注意: 不定積分の結果には必ず積分定数$C$を付ける。$C$を忘れると、原始関数の一つしか表していないことになる。

x y 要点 • 原始関数は「曲線の族」 • 各曲線は上下平行移動の関係 • C の値で曲線が決まる $y = F(x)$ $y = F(x)+1$ $y = F(x)+2$
図2: 不定積分の幾何学的意味 — 原始関数の族

1.3 基本公式一覧

微分の公式を逆に読むことで、積分の公式が得られる。各公式の詳しい導出は証明集を参照。

べき関数

被積分関数 不定積分 条件 導出
$x^n$ $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ $n \neq -1$（$n \notin \mathbb{Z}$ なら $x > 0$） 証明
$\dfrac{1}{x}$ $\ln|x| + C$ $x \neq 0$ 証明

指数・対数関数

被積分関数 不定積分 条件 導出
$e^x$ $e^x + C$ 証明
$a^x$ $\dfrac{a^x}{\ln a} + C$ $a > 0,\; a \neq 1$ 証明

三角関数

被積分関数 不定積分 条件 導出
$\sin x$ $-\cos x + C$ 証明
$\cos x$ $\sin x + C$ 証明
$\sec^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ $\tan x + C$ 証明
$\csc^2 x = \dfrac{1}{\sin^2 x}$ $-\cot x + C$ 証明

逆三角関数に関連する積分

被積分関数 不定積分 条件 導出
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $\arcsin x + C$ $|x| < 1$ 証明
$\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$ $\arccos x + C$ $|x| < 1$ 証明
$\dfrac{1}{1+x^2}$ $\arctan x + C$ 証明
$\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ $\operatorname{arcsec} x + C$ $|x| > 1$ 証明

双曲線関数

被積分関数 不定積分 条件 導出
$\sinh x$ $\cosh x + C$ 証明
$\cosh x$ $\sinh x + C$ 証明
$\operatorname{sech}^2 x$ $\tanh x + C$ 証明
$\operatorname{csch}^2 x$ $-\coth x + C$ 証明

逆双曲線関数に関連する積分

被積分関数 不定積分 条件 導出
$\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ $\operatorname{arcsinh} x + C = \ln\!\bigl(x + \sqrt{x^2+1}\bigr) + C$ 証明
$\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ $\operatorname{arccosh} x + C = \ln\!\bigl(x + \sqrt{x^2-1}\bigr) + C$ $x > 1$ 証明
$\dfrac{1}{1-x^2}$ $\operatorname{arctanh} x + C = \dfrac{1}{2}\ln\!\left|\dfrac{1+x}{1-x}\right| + C$ $|x| \neq 1$ 証明

1.4 線形性

定理: 不定積分の線形性

$f(x)$, $g(x)$が積分可能で、$a$, $b$が定数のとき：

$$\int \{af(x) + bg(x)\} \, dx = a\int f(x) \, dx + b\int g(x) \, dx$$

証明

$F(x)$を$f(x)$の原始関数（すなわち $F'(x) = f(x)$）、$G(x)$を$g(x)$の原始関数（$G'(x) = g(x)$）とする。

このとき：

$$\frac{d}{dx}\{aF(x) + bG(x)\} = aF'(x) + bG'(x) = af(x) + bg(x)$$

よって$aF(x) + bG(x)$は$af(x) + bg(x)$の原始関数である。$\square$

特に：

  • $\displaystyle\int kf(x) \, dx = k\int f(x) \, dx$（定数倍）
  • $\displaystyle\int \{f(x) + g(x)\} \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$（和の積分）

例1.2

$\displaystyle\int (3x^2 + 2x + 1) \, dx$を求める。

$$\begin{align} \int (3x^2 + 2x + 1) \, dx &= 3\int x^2 \, dx + 2\int x \, dx + \int 1 \, dx \\ &= 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C \\ &= x^3 + x^2 + x + C \end{align}$$

1.5 計算例

例1.3: べき関数の積分

$\displaystyle\int x^5 \, dx$を求める。

$$\int x^5 \, dx = \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = \frac{x^6}{6} + C$$

検算: $\left(\dfrac{x^6}{6}\right)' = \dfrac{6x^5}{6} = x^5$ ✓

例1.4: 分数べきの積分

$\displaystyle\int \sqrt{x} \, dx$を求める。

$\sqrt{x} = x^{1/2}$と書き直すと：

$$\int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$$

別の書き方: $\dfrac{2}{3}x\sqrt{x} + C$

例1.5: 負のべきの積分

$\displaystyle\int \frac{1}{x^3} \, dx$を求める。

$\dfrac{1}{x^3} = x^{-3}$と書き直すと：

$$\int x^{-3} \, dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$$

例1.6: 三角関数の組み合わせ

$\displaystyle\int (2\sin x - 3\cos x) \, dx$を求める。

$$\begin{align} \int (2\sin x - 3\cos x) \, dx &= 2\int \sin x \, dx - 3\int \cos x \, dx \\ &= 2(-\cos x) - 3(\sin x) + C \\ &= -2\cos x - 3\sin x + C \end{align}$$

例1.7: 多項式の展開後に積分

$\displaystyle\int (x+1)^2 \, dx$を求める。

展開してから積分する：

$$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$$ $$\int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C$$

注: 後で学ぶ置換積分を使えば、展開せずに$\dfrac{(x+1)^3}{3} + C$と求めることもできる。

1.6 練習問題

問題1

次の不定積分を求めよ。

  1. $\displaystyle\int x^4 \, dx$
  2. $\displaystyle\int \frac{1}{x^2} \, dx$
  3. $\displaystyle\int \sqrt[3]{x} \, dx$
  4. $\displaystyle\int 3e^x \, dx$
解答を見る

  1. $\displaystyle\int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} + C$

  2. $\displaystyle\int \frac{1}{x^2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$

  3. $\displaystyle\int \sqrt[3]{x} \, dx = \int x^{1/3} \, dx = \frac{x^{4/3}}{4/3} + C = \frac{3}{4}x^{4/3} + C$

  4. $\displaystyle\int 3e^x \, dx = 3\int e^x \, dx = 3e^x + C$

問題2

次の不定積分を求めよ。

  1. $\displaystyle\int (x^3 - 4x + 2) \, dx$
  2. $\displaystyle\int \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 \, dx$
  3. $\displaystyle\int (2\sin x + \cos x) \, dx$
解答を見る

  1. $\displaystyle\int (x^3 - 4x + 2) \, dx = \frac{x^4}{4} - 2x^2 + 2x + C$

  2. まず展開する：$\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2}$

    $\displaystyle\int \left(x^2 + 2 + x^{-2}\right) \, dx = \frac{x^3}{3} + 2x - \frac{1}{x} + C$

  3. $\displaystyle\int (2\sin x + \cos x) \, dx = -2\cos x + \sin x + C$

問題3

$F'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2$かつ$F(0) = 3$を満たす関数$F(x)$を求めよ。

解答を見る

まず不定積分を求める：

$$F(x) = \int (4x^3 - 6x^2 + 2) \, dx = x^4 - 2x^3 + 2x + C$$

初期条件$F(0) = 3$より：

$$F(0) = 0 - 0 + 0 + C = C = 3$$

したがって：

$$F(x) = x^4 - 2x^3 + 2x + 3$$

参考文献