第1章 証明集: 不定積分の公式

証明

$F(x) = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ とおく。$n \neq -1$ より $n+1 \neq 0$ であるから、この式は well-defined である。微分すると

$$F'(x) = \frac{1}{n+1} \cdot (n+1)\,x^{(n+1)-1} = x^n$$

が成り立つ。したがって $F(x)$ は $x^n$ の原始関数であり、

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

である。$\square$

証明

$x \neq 0$ において場合分けを行う。

場合1: $x > 0$ のとき。

$|x| = x$ であるから $\ln|x| = \ln x$ である。自然対数の微分公式より

$$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$$

場合2: $x < 0$ のとき。

$|x| = -x$ であるから $\ln|x| = \ln(-x)$ である。合成関数の微分法により

$$\frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$$

いずれの場合も $(\ln|x|)' = 1/x$ が成り立つ。したがって

$$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$$

である。$\square$

証明

指数関数の微分公式より

$$\frac{d}{dx}e^x = e^x$$

が成り立つ。すなわち $e^x$ はそれ自身の原始関数である。したがって

$$\int e^x \, dx = e^x + C$$

である。$\square$

証明

$a^x = e^{x \ln a}$ と書き直す。$F(x) = \dfrac{a^x}{\ln a} = \dfrac{e^{x \ln a}}{\ln a}$ とおくと、合成関数の微分法により

$$F'(x) = \frac{1}{\ln a} \cdot e^{x \ln a} \cdot \ln a = e^{x \ln a} = a^x$$

が成り立つ。$a \neq 1$ の条件は $\ln a \neq 0$（分母が $0$ にならない）を保証するために必要である。したがって

$$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$$

である。$\square$

証明

右辺を微分する。

$$\frac{d}{dx}(-\cos x + C) = -(-\sin x) = \sin x$$

これは被積分関数に一致する。$\square$

証明

右辺を微分する。

$$\frac{d}{dx}(\sin x + C) = \cos x$$

これは被積分関数に一致する。$\square$

証明

$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ に商の微分法を適用する。

$$(\tan x)' = \frac{(\sin x)'\cos x - \sin x\,(\cos x)'}{\cos^2 x} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}$$ $$= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

したがって $\tan x$ は $\sec^2 x$ の原始関数であり、

$$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$$

である。$\square$

証明

$\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ に商の微分法を適用する。

$$(\cot x)' = \frac{(\cos x)'\sin x - \cos x\,(\sin x)'}{\sin^2 x} = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x}$$ $$= \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = \frac{-1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$$

したがって $(-\cot x)' = \csc^2 x$ であるから、

$$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$$

である。$\square$

証明

逆関数の微分法を用いて $(\arcsin x)'$ を求める。$y = \arcsin x$ とおくと $x = \sin y$（$-\pi/2 \le y \le \pi/2$）であり、

$$\frac{dx}{dy} = \cos y$$

逆関数の微分法により

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$$

ここで $-\pi/2 \le y \le \pi/2$ の範囲では $\cos y \ge 0$ であるから、$\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ より

$$\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$$

したがって

$$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$

これは被積分関数に一致する。よって公式が成り立つ。$\square$

証明

$y = \arccos x$ とおくと $x = \cos y$（$0 \le y \le \pi$）である。逆関数の微分法により

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{-\sin y}$$

$0 \le y \le \pi$ の範囲では $\sin y \ge 0$ であるから、$\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ より

$$\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$$

したがって

$$(\arccos x)' = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$$

これは被積分関数に一致する。$\square$

証明

$y = \arctan x$ とおくと $x = \tan y$（$-\pi/2 < y < \pi/2$）であり、

$$\frac{dx}{dy} = \sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + x^2$$

逆関数の微分法により

$$(\arctan x)' = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$$

これは被積分関数に一致する。よって公式が成り立つ。$\square$

証明

$y = \operatorname{arcsec} x$（$x > 1$）とおくと $x = \sec y$（$0 \le y < \pi/2$）である。$\sec x$ の微分は

$$(\sec y)' = \sec y \tan y$$

であるから、逆関数の微分法により

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec y \tan y}$$

ここで $\sec y = x$ であり、$\tan^2 y = \sec^2 y - 1 = x^2 - 1$ より $\tan y = \sqrt{x^2 - 1}$（$0 \le y < \pi/2$ では $\tan y \ge 0$）であるから

$$(\operatorname{arcsec} x)' = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} \quad (x > 1)$$

$x < -1$ の場合、$\operatorname{arcsec}$ の主値を $[0, \pi/2) \cup (\pi/2, \pi]$ にとると、$y = \operatorname{arcsec} x$ に対して $\sec y = x$, $\tan y < 0$ であるから

$$(\operatorname{arcsec} x)' = \frac{1}{\sec y \tan y} = \frac{1}{x \cdot (-\sqrt{x^2-1})} = \frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

（$x < 0$ より $-1/x = 1/|x|$）。いずれの場合も

$$(\operatorname{arcsec} x)' = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \quad (|x| > 1)$$

が成り立つ。これは被積分関数に一致する。$\square$

証明

$\cosh x = (e^x + e^{-x})/2$ の定義から微分すると

$$(\cosh x)' = \frac{d}{dx}\frac{e^x + e^{-x}}{2} = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh x$$

したがって $\cosh x$ は $\sinh x$ の原始関数である。$\square$

証明

$\sinh x = (e^x - e^{-x})/2$ の定義から微分すると

$$(\sinh x)' = \frac{d}{dx}\frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$$

したがって $\sinh x$ は $\cosh x$ の原始関数である。$\square$

証明

$\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}$ に商の微分法を適用する。

$$(\tanh x)' = \frac{(\sinh x)'\cosh x - \sinh x\,(\cosh x)'}{\cosh^2 x} = \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x}$$

双曲線関数の恒等式 $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ より

$$(\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x$$

したがって $\tanh x$ は $\operatorname{sech}^2 x$ の原始関数であり、公式が成り立つ。$\square$

証明

$\coth x = \dfrac{\cosh x}{\sinh x}$ に商の微分法を適用する。

$$(\coth x)' = \frac{(\cosh x)'\sinh x - \cosh x\,(\sinh x)'}{\sinh^2 x} = \frac{\sinh^2 x - \cosh^2 x}{\sinh^2 x}$$ $$= \frac{-(\cosh^2 x - \sinh^2 x)}{\sinh^2 x} = \frac{-1}{\sinh^2 x} = -\operatorname{csch}^2 x$$

したがって $(-\coth x)' = \operatorname{csch}^2 x$ であるから、

$$\int \operatorname{csch}^2 x \, dx = -\coth x + C$$

である。$\square$

証明

方法1（検証）: $F(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$ を微分する。$u(x) = x + \sqrt{x^2+1}$ とおくと

$$u'(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{\sqrt{x^2+1} + x}{\sqrt{x^2+1}}$$

したがって

$$F'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{\dfrac{\sqrt{x^2+1} + x}{\sqrt{x^2+1}}}{x + \sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$

これは被積分関数に一致する。

方法2（導出）: $x = \sinh t$ と置換する。$dx = \cosh t\,dt$ であり、$\sqrt{x^2+1} = \sqrt{\sinh^2 t + 1} = \cosh t$ であるから

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,dx = \int \frac{\cosh t}{\cosh t}\,dt = \int dt = t + C = \operatorname{arcsinh} x + C$$

$\square$

証明

方法1（検証）: $F(x) = \ln(x + \sqrt{x^2-1})$ を微分する。$u(x) = x + \sqrt{x^2-1}$ とおくと

$$u'(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{\sqrt{x^2-1} + x}{\sqrt{x^2-1}}$$

したがって

$$F'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{\dfrac{\sqrt{x^2-1} + x}{\sqrt{x^2-1}}}{x + \sqrt{x^2-1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$$

これは被積分関数に一致する。

方法2（導出）: $x > 1$ において $x = \cosh t$（$t > 0$）と置換する。$dx = \sinh t\,dt$ であり、$\sqrt{x^2-1} = \sqrt{\cosh^2 t - 1} = \sinh t$（$t > 0$ より $\sinh t > 0$）であるから

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\,dx = \int \frac{\sinh t}{\sinh t}\,dt = \int dt = t + C = \operatorname{arccosh} x + C$$

$\square$

証明

方法1（検証）: $F(x) = \dfrac{1}{2}\ln\!\left|\dfrac{1+x}{1-x}\right| = \dfrac{1}{2}\bigl(\ln|1+x| - \ln|1-x|\bigr)$ を微分する。

$$F'(x) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+x} - \frac{-1}{1-x}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x}\right)$$

通分すると

$$F'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(1-x) + (1+x)}{(1+x)(1-x)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1-x^2} = \frac{1}{1-x^2}$$

これは被積分関数に一致する。

方法2（導出）: 部分分数分解を用いる。

$$\frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{(1+x)(1-x)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x}\right)$$

各項を積分すると

$$\int \frac{1}{1-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\bigl(\ln|1+x| - \ln|1-x|\bigr) + C = \frac{1}{2}\ln\!\left|\frac{1+x}{1-x}\right| + C$$

$|x| < 1$ のとき、これは $\operatorname{arctanh} x + C$ に等しい。$\square$