Z変換 初級

性質と逆変換（大学1-2年レベル）

初級の概要

収束領域（ROC）の3つのパターン 因果信号、反因果信号、両側信号それぞれの収束領域と波形例をz平面上に図示した概念図 因果信号 Causal x[n] n 0 |z|=1 Re Im 極 ROC |z| > |極|（外側の領域） ✓ 安定（単位円を含む） 反因果信号 Anti-causal x[n] n 0 |z|=1 Re Im 極 ROC |z| < |極|（内側の領域） ✓ 安定（単位円を含む） 両側信号 Two-sided x[n] n 0 |z|=1 Re Im 極₁ 極₂ ROC |極₁| < |z| < |極₂|（リング領域） ✓ 安定（単位円を含む） 安定性の条件 BIBO安定 ⟺ ROC が単位円を含む（因果・反因果・両側のいずれでも成立） = 単位円（|z| = 1） ROC = Region of Convergence（収束領域）

初級では、Z変換の重要な性質と逆変換の技法を学ぶ。収束領域（ROC）の概念を理解し、Z変換と信号の一対一対応を把握する。

学習目標

  • Z変換の線形性、時間シフト性を活用できる
  • 収束領域（ROC）を理解する
  • 部分分数分解による逆Z変換ができる
  • 因果性・安定性とROCの関係を理解する
  • 初期値定理・最終値定理を応用できる

目次

  1. 第1章 Z変換の性質

    線形性、時間シフト、$z$領域での微分

  2. 第2章 収束領域（ROC）

    級数の収束、ROCの形状

  3. 第3章 ROCの性質

    因果信号、反因果信号、両側信号

  4. 第4章 逆Z変換

    部分分数分解、べき級数展開

  5. 第5章 たたみ込み定理

    離散たたみ込みとZ領域での乗算

  6. 第6章 初期値定理・最終値定理

    逆変換せずに初期値・定常値を求める

前提知識