Z変換 初級

性質と逆変換（大学1-2年レベル）

初級の概要

収束領域（ROC）の3つのパターン 因果信号、反因果信号、両側信号それぞれの収束領域と波形例をz平面上に図示した概念図 因果信号 Causal（n ≥ 0 で非零） x[n] n 0 |z|=1 Re Im 極 ROC |z| > |極|（外側の領域） ✓ 安定（単位円を含む） 反因果信号 Anti-causal（n ≤ −1 で非零） x[n] n 0 |z|=1 Re Im 極 ROC |z| < |極|（内側の領域） ✓ 安定（単位円を含む） 両側信号 Two-sided（全 n で非零） x[n] n 0 |z|=1 Re Im 極₁ 極₂ ROC |極₁| < |z| < |極₂|（リング領域） ✓ 安定（単位円を含む） 安定性の条件 BIBO安定 ⟺ ROC（$\Sigma x[n] z^{-n}$ が収束する領域）が単位円 |z|=1 を含む まとめ： 因果信号 → ROCは外側 反因果信号 → ROCは内側 両側信号 → ROCはリング領域 = 単位円（|z| = 1） ROC = Region of Convergence（収束領域） × = 極（実際には複数の極を持つ場合が多い）

入門では片側Z変換の定義と基本的な変換公式、伝達関数・極の概念を学んだ。初級では、Z変換の理論的な基盤をより深く理解する。複素変数 $z$ の意味、収束領域（ROC）の概念、両側Z変換と因果性・安定性の関係、逆変換の技法、そしてラプラス変換との対応を学ぶ。

学習目標

  • 複素変数 $z$ の極形式表現と DTFT との関係を理解する
  • Z変換の線形性、時間シフト性を活用できる
  • 収束領域（ROC）と両側Z変換を理解する
  • 部分分数分解による逆Z変換ができる
  • 因果性・安定性とROCの関係を理解する
  • 初期値定理・最終値定理を応用できる

目次

  1. 第1章 Z変換の性質

    複素変数 $z$ の意味、DTFT との関係、z領域微分、スケーリング、時間反転、共役、畳み込み

  2. 第2章 収束領域（ROC）

    級数の収束、ROCの形状、両側Z変換、因果・反因果信号の対比

  3. 第3章 畳み込み定理

    離散畳み込み定理、LTIシステム、伝達関数、直列・並列接続

  4. 第4章 逆Z変換

    部分分数分解、べき級数展開

  5. 第5章 初期値定理・最終値定理

    逆変換せずに初期値・定常値を求める

前提知識

  • Z変換 入門の内容（片側Z変換の定義、基本的な変換公式、伝達関数と極）
  • 複素数の演算（極形式 $z = re^{j\omega}$）
  • 部分分数分解