線形代数 初級

1. 第1章 ベクトル空間の基礎

   公理的定義、$\mathbb{R}^n$ を超えて、多項式・関数もベクトル

2. 第2章 線形独立と基底

   線形結合、線形独立、基底、次元

3. 第3章 行列式入門：クラメルの公式

   連立方程式から行列式を導く、歴史的アプローチ

4. 第4章 行列式：余因子展開

   余因子、小行列式、Laplace展開、逆行列

5. 第5章 行列式の視覚的理解

   せん断変換、平行四辺形、面積・体積の変化

6. 第6章 固有値と固有ベクトル

   定義、幾何学的意味、特性多項式、固有空間

7. 第7章 固有値の性質と応用

   トレースと行列式、三角行列、線形独立性、応用例

8. 第8章 線形方程式系の解の構造

   同次系・非同次系、解空間の構造定理、rank-nullity定理

9. 第9章 単位行列

   定義と基本性質、固有値、行列演算における単位元

10. 第10章 クロネッカーのデルタ

    δ_ij の定義、Einstein 記法、テンソル表記の基礎

11. 第11章 行列のランク

    ランクの定義、行基本変形によるピボット計算、階数退化次数の定理、フルランクの同値条件。付録: 行 = 列ランクの Strang 流証明

12. 第12章 置換行列

    定義、直交性、行列式、LU分解との関係、対称群、応用

関連トピック (基本的な特殊行列・概念)

• 随伴行列（Adjoint Matrix）

  余因子行列 adj(A)、A·adj(A) = det(A)·I、逆行列 A^{-1} = adj(A)/det(A)、エルミート随伴との区別

• 基底の変換（Change of Basis）

  基底変換行列、座標ベクトルの変換、線形写像の相似変換 A' = P^{-1}AP、対角化との関連

• 外積（Cross Product）

  R³ のベクトル積。行列式表示、法線ベクトル、平行四辺形の面積、三重積、外積代数への一般化

• 対角行列（Diagonal Matrix）

  diag(d_1,...,d_n) の演算の容易さ（乗算・逆行列・べき乗）、対角化 A=PDP^{-1} との関係

• 直和（Direct Sum）

  内部直和 V=W₁⊕W₂ の条件 W₁∩W₂={0}、外部直和、射影との関係、ジョルダン分解への応用

• グラム＝シュミットの正規直交化法

  古典的GS・修正GSのアルゴリズム、R³での計算例、QR分解との関連、数値安定性

• 直交行列（Orthogonal Matrix）

  定義 Q^TQ=I、性質、回転行列との関係、Gram-Schmidt直交化、応用

• 正規直交基底（Orthonormal Basis）

  ⟨e_i, e_j⟩ = δ_{ij}、フーリエ係数による座標表示、パーセバルの等式、QR分解との関連

• 階数・退化次数の定理（Rank-Nullity Theorem）

  dim V = rank T + nullity T の証明、行階数=列階数、線形写像の全射・単射条件

• 歪対称行列（Skew-Symmetric Matrix）

  A^T=-A、対角成分0、固有値は純虚数、外積との関係 [a]×

• 対称行列（Symmetric Matrix）

  A^T=A、スペクトル定理（実対称行列は直交行列で対角化可能）、固有値が全て実数、二次形式との関係

• 三角行列（Triangular Matrix）

  上三角・下三角の定義、行列式＝対角成分の積、固有値＝対角成分、LU分解との関係、前進代入・後退代入

• ユニタリ行列（Unitary Matrix）

  複素数版の直交行列 U*U=I、性質、固有値の絶対値1、量子計算への応用

• ヴァンデルモンド行列（Vandermonde Matrix）

  行列式の積公式、多項式補間、Reed-Solomon符号への応用