線形代数 中級

1. 第1章 対角化

   対角化可能条件、手順、行列の冪乗、指数関数

2. 第2章 複素固有値

   複素固有値と回転、実行列の複素固有値、振動系

3. 第3章 多項式空間

   $\mathcal{P}_n$ の基底、微分作用素、線形写像としての多項式演算

4. 第4章 関数空間

   $C[a,b]$、$L^2$空間、無限次元ベクトル空間、内積

5. 第5章 行列式：なぜLeibniz公式か

   幾何学的動機から Leibniz 公式を導出

6. 第6章 行列式：線形変換の観点

   スケーリング因子、IOLA（Introduction to Linear Algebra）的アプローチ

7. 第7章 行列式：バーを積み上げる

   行ベクトルを1本ずつ追加する視点

8. 第8章 行列式の導出：行基本変形と上三角行列

   上三角行列への変形、計算アルゴリズム

9. 第9章 テンソル

   多次元配列、テンソル積、縮約、PyTorch での実装

10. 第10章 ノルム

    L1/L2/L∞ノルム、行列ノルム、正則化への応用

11. 第11章 内積

    公理的定義、射影、コサイン類似度、Attention 機構

12. 第12章 線形変換

    定義、行列表現、核・像、階数定理

13. 第13章 核と像

    部分空間の証明、基底構成、次元定理

14. 第14章 固有値と機械学習

    PCA、スペクトラルクラスタリング、PageRank

15. 第15章 行列分解の応用

    SVD/NMF/Tucker分解、推薦システム、潜在意味解析

16. 第16章 パウリ行列と量子ビット

    Pauli 行列、量子ゲート、Bloch 球

17. 第17章 テンソル積と多量子ビット系

    Kronecker 積、量子もつれ、多量子ビットゲート

18. 第18章 行列式：Leibniz公式と厳密な証明

    置換と符号、Leibniz公式による定義、多重線形性・交代性

19. 第19章 行列式：公理的定義と一意性

    公理から始めて行列式の存在と一意性を証明

20. 第20章 固有値の応用

    連立微分方程式、マルコフ連鎖、PCA、Google PageRank

コラム

• 行列式の計算史 ── 手計算から最先端アルゴリズムへ

  関孝和・Leibniz（1683年）から現代の高速行列乗算（ω → 2?）まで、340年の系譜を辿る

特殊行列・分解

• ヘッセンベルグ変換

  「ほぼ三角行列」への変換。QRアルゴリズムの前処理として固有値計算を高速化する

• 同伴行列（コンパニオン行列）

  多項式の根と行列の固有値を結びつける。フロベニウス標準形の構成要素

• 三重対角行列

  帯幅1の疎行列。Thomas アルゴリズムによる O(n) 直接解法と固有値計算の前処理

• Householder 変換（鏡映変換）

  超平面に関する鏡映による直交変換。QR分解・ヘッセンベルグ変換・三重対角化の基盤

• LU分解

  下三角×上三角への分解。存在条件・一意性の証明、PLU分解、行列式との関係

• コレスキー分解

  正定値対称行列の A = LL^T 分解。存在と一意性、LDL^T 分解、正定値性の判定

• 特異値分解（SVD）

  任意の行列の A = UΣV^T 分解。幾何学的意味、擬似逆行列、低ランク近似

• 二次形式

  Q(x) = x^TAx の分類。主軸定理、シルベスターの慣性法則、極値判定への応用

• 相似変換

  基底の取り替えによる行列の変換。相似不変量、対角化・ジョルダン標準形との関係

• 正規方程式

  最小二乗法の基礎。射影定理による導出、コレスキー分解・QR分解による数値解法

• 対称正定値行列

  二次形式、正定値・半正定値の定義、シルベスターの判定法、Cholesky分解との関係

• テンソル積（Tensor Product）

  双線形写像の普遍性、クロネッカー積、対称テンソルと交代テンソル、量子力学への応用

• 回転行列（Rotation Matrix）

  2次元・3次元回転行列、オイラー角、ロドリゲスの回転公式、SO(n)とリー代数、四元数表現

• アダマール行列（Hadamard Matrix）

  定義と性質、シルベスター構成法、ペイリー構成法、アダマール予想、CDMA・量子計算・実験計画法への応用

• 確率行列（Stochastic Matrix）

  右確率行列・左確率行列・二重確率行列、ペロン＝フロベニウスの定理、マルコフ連鎖、収束定理、PageRank・MCMC

• エルミート行列（Hermitian Matrix）

  定義と基本性質、スペクトル定理、正定値性、レイリー商、量子力学・統計学・信号処理への応用

• クロネッカー積（Kronecker Product）

  定義とブロック行列表現、基本性質、混合積性質、vec作用素との関係、固有値、テンソル積との関係、応用

• 特性多項式（Characteristic Polynomial）

  定義と基本性質、固有値との関係、ケーリー＝ハミルトンの定理、相似不変性、最小多項式との関係、逆行列計算・安定性解析への応用

• 最小多項式（Minimal Polynomial）

  定義・存在と一意性・特性多項式との関係・対角化可能条件・ジョルダン標準形との関係・冪零行列の具体例・応用

• 行列ノルム（Matrix Norm）

  行列ノルムの公理・作用素ノルム・フロベニウスノルム・条件数・等価性と不等式・応用

• フロベニウスノルム（Frobenius Norm）

  定義・トレースと特異値による表現・ユニタリ不変性・スペクトルノルムとの関係・低ランク近似と正則化への応用

• スペクトルノルム（Spectral Norm）

  定義・最大特異値との一致・単位円から楕円への写像・リプシッツ定数・スペクトル正規化への応用

• 対角優位行列（Diagonally Dominant Matrix）

  狭義・広義の定義・レヴィ＝デプランク定理による正則性・ゲルシュゴリンの定理・反復解法の収束への応用

• シャーマン＝モリソンの公式（Sherman-Morrison）

  ランク1更新された逆行列の効率計算・導出・計算量・カルマンフィルタや逐次最小二乗法への応用

• ウッドベリーの公式（Woodbury Matrix Identity）

  低ランク更新された逆行列の効率計算・シャーマン＝モリソンとの関係・ガウス過程やリッジ回帰への応用

• ハンケル行列（Hankel Matrix）

  反対角が一定の構造・トプリッツ行列との関係・対称性・信号処理のシステム同定やモデル次数推定への応用

• クロネッカー和（Kronecker Sum）

  A⊕B=A⊗I+I⊗B の定義・固有値が和になる性質・シルベスター方程式や可分PDEへの応用

• パーマネント（Permanent）

  行列式との違い（符号なし）・計算困難性（#P完全）とライザーの公式・完全マッチング数え上げへの応用

• カッツ行列（Kac Matrix）

  三重対角の構成・固有値が整数列になる性質・固有値計算のテスト行列・クラウチュク多項式との関係

• 極分解（Polar Decomposition）

  A=UP（回転×伸縮）・特異値分解による構成・最近接直交行列・直交プロクラステス問題

• ケイリー変換（Cayley Transform）

  歪対称→直交・エルミート→ユニタリ・複素版の上半平面と単位円板・双一次(Tustin)変換

• フーリエ行列（DFT行列）

  1の冪根による成分・対称ユニタリ性・巡回行列の対角化・DFTとFFTとの関係

• グラム行列式（Gram Determinant）

  平行体の体積の2乗・線形独立性の判定・最小二乗法やカーネル法への応用

• パスカル行列（Pascal Matrix）

  二項係数の成分・行列式1・整数の逆行列・二項変換・悪条件のテスト行列

• 直交射影（Orthogonal Projection）

  射影行列の条件 P²=P, Pᵀ=P、部分空間への射影公式、直交補空間、グラム＝シュミットとの関係、最小二乗法・QR分解への応用

• 疎行列（Sparse Matrix）

  定義・格納形式（COO・CSR・CSC）・疎行列演算・フィルインと並べ替え・反復解法（CG法・GMRES・前処理）・応用

• 行列分解

  LU分解・QR分解・固有値分解・特異値分解（SVD）の体系的整理。定義・アルゴリズム・応用

• QR分解

  直交行列と上三角行列への分解、Gram-Schmidt法、Householder法、Givens回転による構成

• グラム・シュミットの直交化法

  直交基底の構成アルゴリズム、QR分解への応用、数値安定性

• 特異値分解（詳細版）

  A=UΣV* の存在定理・幾何学的意味、エッカート＝ヤングの定理、低ランク近似、擬逆行列、画像圧縮・PCA・LSAへの応用

• 正規行列（Normal Matrix）

  定義 A*A=AA*、スペクトル定理、対称・エルミート・ユニタリ・直交・歪エルミート等の包含関係

• 冪等行列（Idempotent Matrix）

  定義 A²=A、射影との関係、固有値は0または1のみ、rank(A)=tr(A)、直交射影と斜交射影

• 対合行列（Involutory Matrix）

  定義 A²=I、固有値±1のみ、射影との関係 P=(I+A)/2、パウリ行列・反射行列・置換行列の具体例

• 冪零行列（Nilpotent Matrix）

  定義 A^k=O、固有値が全て0、ジョルダン標準形との関係、冪零指数と行列の構造

• 退化行列（Defective Matrix）

  幾何的重複度＜代数的重複度、対角化不可能性、ジョルダン標準形との関係、正規行列との対比

• 非負行列（Nonnegative Matrix）

  ペロン＝フロベニウスの定理、原始行列と周期、確率行列との関係、マルコフ連鎖・PageRankへの応用

• 射影行列（Projection Matrix）

  冪等行列としての射影、直交射影行列 P=A(A^TA)^{-1}A^T、最小二乗法、ハット行列（統計回帰分析）

• ブロック行列（Block Matrix）

  ブロック対角・ブロック三角・シューア補行列、有限要素法・制御理論・並列計算への応用

• 巡回行列（Circulant Matrix）

  DFT行列による対角化 C=F*ΛF、巡回畳み込みとの関係、信号処理・符号理論への応用

• テプリッツ行列（Toeplitz Matrix）

  定義、性質、Levinson 等の高速アルゴリズム、信号処理への応用

• ヒルベルト行列（Hilbert Matrix）

  H_{ij}=1/(i+j-1)、正定値性、コーシー行列式公式、悪条件行列の典型例、逆行列の明示公式

• グラム行列（Gram Matrix）

  G=V^TV、半正定値性、グラム行列式と線形独立性の判定、カーネル法、SVMへの応用

• アダマール積（Hadamard Product）

  要素ごとの積 (A∘B)_{ij}=a_{ij}b_{ij}、シューアの積定理、オッペンハイムの不等式、通常の行列積との関係

概念・定理・部分空間

• ケイリー・ハミルトンの定理

  特性多項式と行列の関係、2×2 および一般の場合の証明、逆行列公式・最小多項式との関係

• ゲルシュゴリンの円盤定理

  行列成分のみから固有値の存在領域を推定、定理の記述・証明・具体例・応用

• 固有空間（Eigenspace）

  E_λ = Ker(A - λI)、幾何的・代数的重複度、対角化可能条件、一般固有空間とジョルダン標準形、スペクトル分解

• 商空間（Quotient Space）

  V/W の構成、剰余類、次元公式 dim(V/W) = dim V - dim W、正準射影、第一同型定理

• 双一次形式（Bilinear Form）

  B(x,y) の定義・行列表現、対称双一次形式と二次形式、非退化性、内積・微分幾何・ミンコフスキー計量への応用

• 変換が手をつけない方向 ［読み物］

  空間を歪める変換にも、向きを変えずに伸び縮みだけする「動かない方向」がある。固有ベクトルと固有値が、なぜ複雑な変換の芯を映すのかを肩の力を抜いて語る。

• 垂直であることの美学 ［読み物］

  なぜ数学者はこうも「直交」にこだわるのか。互いに垂直なものは互いを邪魔しない――グラム・シュミットの直交化から最小二乗法まで、垂直であることの御利益を語る。

• 空間をどれだけ膨らませるか ［読み物］

  行列式とは結局なにを測っているのか。あの一つの数は「変換が空間の体積を何倍にするか」を表す――面積の倍率、向きを裏返す符号、潰れて逆行列が消えるゼロまでを絵で語る。