積分定理の証明

証明

Step 1 (三方向正則領域への帰着)。まず $V$ が x, y, z の三方向すべてに正則 な場合、すなわち各座標方向についてその方向の上限・下限を 2 変数連続関数の組で書ける場合を扱う。z-正則を例示すると、$D \subset \mathbb{R}^2$ 上の連続関数 $z_1(x,y) \le z_2(x,y)$ をもち \begin{equation}V = \{(x,y,z) : (x,y) \in D,\ z_1(x,y) \le z \le z_2(x,y)\} \label{eq:D-1}\end{equation} と書ける場合である。x-正則・y-正則も同様に定義する。一般の有界閉領域は、有限個の三方向正則な小領域への分割で帰着できる (Step 6)。

Step 2 (Fubini による z 成分の処理)。$\partial A_z/\partial z$ の体積積分に Fubini の定理を適用する。

\begin{equation}\displaystyle\iiint_V \dfrac{\partial A_z}{\partial z}\,dV = \displaystyle\iint_D \left( \displaystyle\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} \dfrac{\partial A_z}{\partial z}\,dz \right) dA \label{eq:D-2}\end{equation}

内側積分に微積分学の基本定理を用いる。

\begin{equation}\displaystyle\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} \dfrac{\partial A_z}{\partial z}\,dz = A_z(x,y,z_2(x,y)) - A_z(x,y,z_1(x,y)) \label{eq:D-3}\end{equation}

Step 3 (上面・下面の表面積分への変換)。$\partial V$ を上面 $S_+$ ($z = z_2$)、下面 $S_-$ ($z = z_1$)、側面 $S_{\text{side}}$ に分ける。上面では外向き法線が上を向き、下面では下を向くので、面要素は

\begin{equation}\hat{\mathbf{n}} \cdot \hat{\mathbf{e}}_z\,dS = +dA \quad (\text{on } S_+),\qquad \hat{\mathbf{n}} \cdot \hat{\mathbf{e}}_z\,dS = -dA \quad (\text{on } S_-) \label{eq:D-4}\end{equation}

と表せる。$\eqref{eq:D-3}$ の右辺は

\begin{equation}\displaystyle\iint_{S_+} A_z\,(\hat{\mathbf{n}} \cdot \hat{\mathbf{e}}_z)\,dS + \displaystyle\iint_{S_-} A_z\,(\hat{\mathbf{n}} \cdot \hat{\mathbf{e}}_z)\,dS \label{eq:D-5}\end{equation}

に等しい。

Step 4 (側面の寄与は 0)。側面 $S_{\text{side}}$ では母線が $z$ 軸に平行であり、外向き法線は水平面内にあるので $\hat{\mathbf{n}} \cdot \hat{\mathbf{e}}_z = 0$ である。したがって側面は $A_z$ 成分の表面積分に寄与しない。

\begin{equation}\displaystyle\iiint_V \dfrac{\partial A_z}{\partial z}\,dV = \displaystyle\iint_{\partial V} A_z\,(\hat{\mathbf{n}} \cdot \hat{\mathbf{e}}_z)\,dS \label{eq:D-6}\end{equation}

Step 5 (x, y 成分への適用)。Step 1 で仮定した三方向正則性により $V$ は x-正則 ($x_1(y,z) \le x \le x_2(y,z)$) かつ y-正則でもあるので、Step 2-4 の議論を座標軸を入れ替えて $\partial A_x/\partial x$, $\partial A_y/\partial y$ にも同様に適用できる。

\begin{equation}\displaystyle\iiint_V \dfrac{\partial A_x}{\partial x}\,dV = \displaystyle\iint_{\partial V} A_x\,(\hat{\mathbf{n}} \cdot \hat{\mathbf{e}}_x)\,dS \label{eq:D-7}\end{equation}

\begin{equation}\displaystyle\iiint_V \dfrac{\partial A_y}{\partial y}\,dV = \displaystyle\iint_{\partial V} A_y\,(\hat{\mathbf{n}} \cdot \hat{\mathbf{e}}_y)\,dS \label{eq:D-8}\end{equation}

$\eqref{eq:D-6}$, $\eqref{eq:D-7}$, $\eqref{eq:D-8}$ を辺々加える。

\begin{equation}\displaystyle\iiint_V \left( \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \right) dV = \displaystyle\iint_{\partial V} (A_x n_x + A_y n_y + A_z n_z)\,dS \label{eq:D-9}\end{equation}

左辺は $\nabla \cdot \mathbf{A}$ の体積積分、右辺は $\mathbf{A} \cdot \hat{\mathbf{n}}$ の表面積分にほかならない。

Step 6 (一般領域への拡張)。一般の有界閉領域 $V$ は、三方向正則な小領域の有限和に分割できる (区分的滑らかさの仮定より)。隣接する小領域の共通境界では外向き法線が逆向きになるため表面積分は打ち消し合い、外側境界 $\partial V$ 上の積分のみが残る。よって

\begin{equation}\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{A})\,dV = \displaystyle\iint_{\partial V} \mathbf{A} \cdot \hat{\mathbf{n}}\,dS \label{eq:D-10}\end{equation}

が任意の有界閉領域 $V$ について成り立つ。$\square$

証明

Step 1 (パラメータ表示への帰着)。$S$ が一枚のパラメータ表示 \begin{equation}\mathbf{r} : D \to \mathbb{R}^3,\quad (u,v) \mapsto \mathbf{r}(u,v),\quad D \subset \mathbb{R}^2 \label{eq:S-1}\end{equation} で覆われる場合に帰着する。一般曲面は有限個のパラメータ片への分割と境界の打ち消しで処理する。

Step 2 (面要素の代入)。$S$ の向き付けと整合する面要素ベクトルは

\begin{equation}\hat{\mathbf{n}}\,dS = \left( \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right) du\,dv \label{eq:S-2}\end{equation} である。表面積分は

\begin{equation}\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot \hat{\mathbf{n}}\,dS = \displaystyle\iint_D (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot \left( \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right) du\,dv \label{eq:S-3}\end{equation} となる。スカラー三重積の循環性 $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a})$ を用い、$\mathbf{r}_u := \partial \mathbf{r}/\partial u$, $\mathbf{r}_v := \partial \mathbf{r}/\partial v$ とおく。

Step 3 (連鎖律と Schwarz の対称性)。$\mathbf{A}(\mathbf{r}(u,v))$ の偏導関数を連鎖律で書く。

\begin{equation}\dfrac{\partial}{\partial u}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{r}_v) = \left( (\mathbf{r}_u \cdot \nabla)\mathbf{A} \right) \cdot \mathbf{r}_v + \mathbf{A} \cdot \mathbf{r}_{vu} \label{eq:S-4}\end{equation}

\begin{equation}\dfrac{\partial}{\partial v}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{r}_u) = \left( (\mathbf{r}_v \cdot \nabla)\mathbf{A} \right) \cdot \mathbf{r}_u + \mathbf{A} \cdot \mathbf{r}_{uv} \label{eq:S-5}\end{equation}

$\mathbf{r}$ が $C^2$ ならば Schwarz の定理より $\mathbf{r}_{uv} = \mathbf{r}_{vu}$ なので、$\eqref{eq:S-4}$ から $\eqref{eq:S-5}$ を引くと

\begin{equation}\dfrac{\partial}{\partial u}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{r}_v) - \dfrac{\partial}{\partial v}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{r}_u) = \left( (\mathbf{r}_u \cdot \nabla)\mathbf{A} \right) \cdot \mathbf{r}_v - \left( (\mathbf{r}_v \cdot \nabla)\mathbf{A} \right) \cdot \mathbf{r}_u \label{eq:S-6}\end{equation}

右辺は成分計算 (Levi-Civita) により $(\nabla \times \mathbf{A}) \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)$ に等しい。実際、$i$ 成分のみ書き出すと

\begin{equation}\left[ (\mathbf{r}_u \cdot \nabla)\mathbf{A} \cdot \mathbf{r}_v - (\mathbf{r}_v \cdot \nabla)\mathbf{A} \cdot \mathbf{r}_u \right]_i = \varepsilon_{ijk}\,(\partial_j A_k)\,(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)_i \label{eq:S-7}\end{equation} の総和が $(\nabla \times \mathbf{A}) \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)$ となる。したがって

\begin{equation}(\nabla \times \mathbf{A}) \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v) = \dfrac{\partial}{\partial u}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{r}_v) - \dfrac{\partial}{\partial v}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{r}_u) \label{eq:S-8}\end{equation}

Step 4 (平面 Green の定理の適用)。$\eqref{eq:S-8}$ を $\eqref{eq:S-3}$ に代入すると

\begin{equation}\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot \hat{\mathbf{n}}\,dS = \displaystyle\iint_D \left[ \dfrac{\partial}{\partial u}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{r}_v) - \dfrac{\partial}{\partial v}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{r}_u) \right] du\,dv \label{eq:S-9}\end{equation} を得る。被積分関数は $P = \mathbf{A} \cdot \mathbf{r}_u$, $Q = \mathbf{A} \cdot \mathbf{r}_v$ とおいたときの $\partial Q/\partial u - \partial P/\partial v$ の形であり、平面 Green の定理 (G) が直ちに適用できる。

\begin{equation}\displaystyle\iint_D \left( \dfrac{\partial Q}{\partial u} - \dfrac{\partial P}{\partial v} \right) du\,dv = \displaystyle\oint_{\partial D} (P\,du + Q\,dv) \label{eq:S-10}\end{equation}

Step 5 (境界線積分の整合)。$\partial D$ が $D$ を反時計回りに囲むとき、その像 $\mathbf{r}(\partial D)$ は $\hat{\mathbf{n}} = (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)/|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|$ に対し右手の法則を満たす向きで $\partial S$ を一周する。境界上で $d\mathbf{r} = \mathbf{r}_u\,du + \mathbf{r}_v\,dv$ なので

\begin{equation}\mathbf{A} \cdot d\mathbf{r} = (\mathbf{A} \cdot \mathbf{r}_u)\,du + (\mathbf{A} \cdot \mathbf{r}_v)\,dv = P\,du + Q\,dv \label{eq:S-11}\end{equation}

したがって

\begin{equation}\displaystyle\oint_{\partial D} (P\,du + Q\,dv) = \displaystyle\oint_{\partial S} \mathbf{A} \cdot d\boldsymbol{\ell} \label{eq:S-12}\end{equation}

$\eqref{eq:S-9}$, $\eqref{eq:S-10}$, $\eqref{eq:S-12}$ をつなげて (S) が示される。$\square$

証明 (a) ストークスの定理からの導出

$\mathbf{A} := (P, Q, 0)$ を $xy$ 平面上のベクトル場とみなし、$S := D \times \{0\}$ ($z=0$ の平坦曲面)、$\hat{\mathbf{n}} := \hat{\mathbf{e}}_z$ とすれば

\begin{equation}\nabla \times \mathbf{A} = \left( -\dfrac{\partial Q}{\partial z},\ \dfrac{\partial P}{\partial z},\ \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) = \left( 0,\ 0,\ \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \label{eq:G-1}\end{equation} である ($P, Q$ は $z$ に依存しないため最初の二成分は 0)。よって $(\nabla \times \mathbf{A}) \cdot \hat{\mathbf{n}} = \partial Q/\partial x - \partial P/\partial y$。境界 $\partial S$ は $D$ を反時計回りに囲む $C$ そのものであり、$d\boldsymbol{\ell} = (dx, dy, 0)$ ゆえ $\mathbf{A} \cdot d\boldsymbol{\ell} = P\,dx + Q\,dy$。ストークスの定理 (S) を適用すれば (G) が直ちに得られる。$\square$

証明 (b) 直接証明

Step 1 (y-正則分解)。$D$ がまず y-正則、すなわち

\begin{equation}D = \{(x,y) : a \le x \le b,\ g_1(x) \le y \le g_2(x)\} \label{eq:G-2}\end{equation} と書ける場合を考え、$\partial P/\partial y$ の二重積分を Fubini で処理する。

\begin{equation}\displaystyle\iint_D \dfrac{\partial P}{\partial y}\,dA = \displaystyle\int_a^b \displaystyle\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \dfrac{\partial P}{\partial y}\,dy\,dx = \displaystyle\int_a^b \big[ P(x, g_2(x)) - P(x, g_1(x)) \big]\,dx \label{eq:G-3}\end{equation}

Step 2 (境界の線積分への変換)。$C = \partial D$ を反時計回りに分けると、下辺 $C_1: y=g_1(x)$, $a \to b$、右辺 $C_2: x=b$, $y$ 増加、上辺 $C_3: y=g_2(x)$, $b \to a$、左辺 $C_4: x=a$, $y$ 減少 となる。$C_2, C_4$ では $dx = 0$ なので

\begin{equation}\displaystyle\oint_C P\,dx = \displaystyle\int_a^b P(x, g_1(x))\,dx + \displaystyle\int_b^a P(x, g_2(x))\,dx = \displaystyle\int_a^b \big[ P(x, g_1(x)) - P(x, g_2(x)) \big]\,dx \label{eq:G-4}\end{equation}

$\eqref{eq:G-3}$ と $\eqref{eq:G-4}$ を比較すると

\begin{equation}-\displaystyle\iint_D \dfrac{\partial P}{\partial y}\,dA = \displaystyle\oint_C P\,dx \label{eq:G-5}\end{equation}

Step 3 (x-正則分解で Q を処理)。$D$ が x-正則 $D = \{(x,y) : c \le y \le d,\ h_1(y) \le x \le h_2(y)\}$ でもあると仮定し、同様の計算を行う。

\begin{equation}\displaystyle\iint_D \dfrac{\partial Q}{\partial x}\,dA = \displaystyle\int_c^d \big[ Q(h_2(y), y) - Q(h_1(y), y) \big]\,dy = \displaystyle\oint_C Q\,dy \label{eq:G-6}\end{equation}

Step 4 (合算)。$\eqref{eq:G-5}$, $\eqref{eq:G-6}$ を加える。

\begin{equation}\displaystyle\oint_C (P\,dx + Q\,dy) = \displaystyle\iint_D \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) dA \label{eq:G-7}\end{equation}

一般の $D$ は y-正則と x-正則の両方に分割できる小領域の有限和として表せ、内部境界の線積分は隣接領域で逆向きに二度走るため打ち消し合う。よって (G) が示される。$\square$

(G1) 第一恒等式の証明

Step 1 (積のベクトル場に発散定理を適用)。$\mathbf{A} := f\,\nabla g$ に発散定理 (D) を適用する。

\begin{equation}\displaystyle\iiint_V \nabla \cdot (f\,\nabla g)\,dV = \displaystyle\iint_{\partial V} (f\,\nabla g) \cdot \hat{\mathbf{n}}\,dS \label{eq:GI-1}\end{equation}

Step 2 (発散の積展開)。スカラー場 $f$ とベクトル場 $\nabla g$ の積に対する発散の Leibniz 則 ($\nabla \cdot (f\mathbf{B}) = f\,\nabla \cdot \mathbf{B} + \nabla f \cdot \mathbf{B}$) を $\mathbf{B} = \nabla g$ に適用する。

\begin{equation}\nabla \cdot (f\,\nabla g) = f\,(\nabla \cdot \nabla g) + \nabla f \cdot \nabla g = f\,\nabla^2 g + \nabla f \cdot \nabla g \label{eq:GI-2}\end{equation} ここで $\nabla \cdot \nabla = \nabla^2$ (ラプラシアン) を用いた。

Step 3 (恒等式の整理)。$\eqref{eq:GI-2}$ を $\eqref{eq:GI-1}$ に代入する。

\begin{equation}\displaystyle\iiint_V (f\,\nabla^2 g + \nabla f \cdot \nabla g)\,dV = \displaystyle\iint_{\partial V} f\,(\nabla g \cdot \hat{\mathbf{n}})\,dS \label{eq:GI-3}\end{equation} これが第一恒等式 (G1) である。$\square$

(G2) 第二恒等式の証明

Step 1 ($f$ と $g$ の役割を入れ替える)。$\eqref{eq:GI-3}$ で $f$ と $g$ を入れ替えると

\begin{equation}\displaystyle\iiint_V (g\,\nabla^2 f + \nabla g \cdot \nabla f)\,dV = \displaystyle\iint_{\partial V} g\,(\nabla f \cdot \hat{\mathbf{n}})\,dS \label{eq:GI-4}\end{equation}

Step 2 (差をとる)。$\eqref{eq:GI-3}$ から $\eqref{eq:GI-4}$ を引く。$\nabla f \cdot \nabla g = \nabla g \cdot \nabla f$ なので体積積分の交差項は打ち消し合う。

\begin{equation}\displaystyle\iiint_V (f\,\nabla^2 g - g\,\nabla^2 f)\,dV = \displaystyle\iint_{\partial V} \big[ f\,(\nabla g \cdot \hat{\mathbf{n}}) - g\,(\nabla f \cdot \hat{\mathbf{n}}) \big]\,dS \label{eq:GI-5}\end{equation}

右辺は $(f\,\nabla g - g\,\nabla f) \cdot \hat{\mathbf{n}}$ にまとめられる。

\begin{equation}\displaystyle\iiint_V (f\,\nabla^2 g - g\,\nabla^2 f)\,dV = \displaystyle\iint_{\partial V} (f\,\nabla g - g\,\nabla f) \cdot \hat{\mathbf{n}}\,dS \label{eq:GI-6}\end{equation} これが第二恒等式 (G2) である。$\square$

証明

Step 1 (Newton ポテンシャル解の構成)。スカラーポテンシャル $\phi$ とベクトルポテンシャル $\mathbf{A}$ を Newton 核 (基本解 $-1/(4\pi |\mathbf{r}-\mathbf{r}'|)$) のたたみ込みで定義する。

\begin{equation}\phi(\mathbf{r}) := \dfrac{1}{4\pi}\,\displaystyle\iiint_{\mathbb{R}^3} \dfrac{\nabla' \cdot \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\,dV' \label{eq:H-1}\end{equation}

\begin{equation}\mathbf{A}(\mathbf{r}) := \dfrac{1}{4\pi}\,\displaystyle\iiint_{\mathbb{R}^3} \dfrac{\nabla' \times \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\,dV' \label{eq:H-2}\end{equation} ここで $\nabla'$ は $\mathbf{r}'$ に関する微分。減衰条件によりこれらの積分は絶対収束する。

Step 2 (基本解の Laplacian)。Newton 核の基本性質として

\begin{equation}\nabla^2 \left( \dfrac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \right) = -4\pi\,\delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}') \label{eq:H-3}\end{equation} が成り立つ ($\delta^3$ は 3 次元 Dirac デルタ、超関数として等式)。

Step 3 ($-\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A}$ の計算)。$\phi, \mathbf{A}$ それぞれにラプラシアンを作用させると

\begin{equation}\nabla^2 \phi(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4\pi}\,\displaystyle\iiint \nabla^2 \left( \dfrac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \right) (\nabla' \cdot \mathbf{F})\,dV' = -\,\nabla \cdot \mathbf{F}(\mathbf{r}) \label{eq:H-4}\end{equation}

\begin{equation}\nabla^2 \mathbf{A}(\mathbf{r}) = -\,\nabla \times \mathbf{F}(\mathbf{r}) \label{eq:H-5}\end{equation} が得られる。

Step 4 (ベクトル恒等式の適用)。任意のベクトル場 $\mathbf{X}$ に対し成り立つ恒等式

\begin{equation}\nabla \times (\nabla \times \mathbf{X}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{X}) - \nabla^2 \mathbf{X} \label{eq:H-6}\end{equation} を $\mathbf{X} = \mathbf{A}$ に用いる。$\nabla \cdot \mathbf{A}$ は $\eqref{eq:H-2}$ から部分積分で 0 を示せる (減衰条件と $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ より)。よって

\begin{equation}\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = -\,\nabla^2 \mathbf{A} = \nabla \times \mathbf{F} \label{eq:H-7}\end{equation}

同様に $\eqref{eq:H-4}$ から $-\nabla(\nabla^2 \phi /(\cdots))$ を介さずに直接 $-\nabla \phi$ の発散を計算する。実際、後で $-\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A}$ の発散と回転を取って $\mathbf{F}$ の発散・回転と一致することを示せばよい。

\begin{equation}\nabla \cdot (-\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A}) = -\nabla^2 \phi + 0 = \nabla \cdot \mathbf{F} \label{eq:H-8}\end{equation}

\begin{equation}\nabla \times (-\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A}) = 0 + \nabla \times \mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} \label{eq:H-9}\end{equation}

Step 5 (差は無限遠で消える調和場ゆえ 0)。$\mathbf{H} := \mathbf{F} - (-\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A})$ とおくと、$\eqref{eq:H-8}$, $\eqref{eq:H-9}$ より $\nabla \cdot \mathbf{H} = 0$ かつ $\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{0}$ である。$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{0}$ なので $\mathbf{H} = -\nabla \psi$ と表せ、$\nabla \cdot \mathbf{H} = 0$ より $\nabla^2 \psi = 0$ (Laplace 方程式)。$\mathbf{F}, \nabla \phi, \nabla \times \mathbf{A}$ の減衰により $\mathbf{H}$ も無限遠で 0 に減衰するため、$\nabla \psi$ も同様に減衰する。Liouville の定理 (有界調和関数は定数) より $\psi$ は定数、ゆえに

\begin{equation}\mathbf{H} = \mathbf{0},\qquad \mathbf{F} = -\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A} \label{eq:H-10}\end{equation}

Step 6 (一意性)。$\mathbf{F} = -\nabla \phi_1 + \nabla \times \mathbf{A}_1 = -\nabla \phi_2 + \nabla \times \mathbf{A}_2$ という二つの分解の差をとると、その差は調和場かつ無限遠で減衰、よって Step 5 と同じ議論で 0。$\nabla \phi_1 = \nabla \phi_2$ (定数差を除く)、$\nabla \times \mathbf{A}_1 = \nabla \times \mathbf{A}_2$ が分かる。$\square$

(D-grad) 勾配形式の証明

Step 1 (任意の定ベクトル $\mathbf{c}$ をかけて発散をとる)。任意の定ベクトル $\mathbf{c} \in \mathbb{R}^3$ に対し $\mathbf{B} := f\,\mathbf{c}$ の発散を計算する。$\mathbf{c}$ は定数ゆえ $\nabla \cdot \mathbf{c} = 0$ なので

\begin{equation}\nabla \cdot (f\,\mathbf{c}) = \mathbf{c} \cdot \nabla f + f\,(\nabla \cdot \mathbf{c}) = \mathbf{c} \cdot \nabla f \label{eq:DG-1}\end{equation}

Step 2 (発散定理を適用)。$\mathbf{B} = f\,\mathbf{c}$ に発散定理 (D) を用いる。

\begin{equation}\displaystyle\iiint_V \mathbf{c} \cdot \nabla f\,dV = \displaystyle\iint_{\partial V} f\,(\mathbf{c} \cdot \hat{\mathbf{n}})\,dS \label{eq:DG-2}\end{equation} $\mathbf{c}$ は定数で積分の外に出せる。

\begin{equation}\mathbf{c} \cdot \displaystyle\iiint_V \nabla f\,dV = \mathbf{c} \cdot \displaystyle\iint_{\partial V} f\,\hat{\mathbf{n}}\,dS \label{eq:DG-3}\end{equation}

Step 3 ($\mathbf{c}$ の任意性)。$\eqref{eq:DG-3}$ は任意の $\mathbf{c} \in \mathbb{R}^3$ で成り立つので、両辺のベクトルは等しい。

\begin{equation}\displaystyle\iiint_V \nabla f\,dV = \displaystyle\iint_{\partial V} f\,\hat{\mathbf{n}}\,dS \label{eq:DG-4}\end{equation} $\square$

(D-curl) 回転形式の証明

Step 1 ($\mathbf{A} \times \mathbf{c}$ の発散)。任意の定ベクトル $\mathbf{c}$ に対し外積の発散の公式 $\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{c}) = (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot \mathbf{c} - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{c})$ を用いる。$\nabla \times \mathbf{c} = \mathbf{0}$ なので

\begin{equation}\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{c}) = (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot \mathbf{c} = \mathbf{c} \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) \label{eq:DC-1}\end{equation}

Step 2 (発散定理とスカラー三重積)。$\mathbf{B} := \mathbf{A} \times \mathbf{c}$ に発散定理を適用し、表面積分にスカラー三重積の循環性 $(\mathbf{A} \times \mathbf{c}) \cdot \hat{\mathbf{n}} = \mathbf{c} \cdot (\hat{\mathbf{n}} \times \mathbf{A})$ を用いる。

\begin{equation}\displaystyle\iiint_V \mathbf{c} \cdot (\nabla \times \mathbf{A})\,dV = \displaystyle\iint_{\partial V} \mathbf{c} \cdot (\hat{\mathbf{n}} \times \mathbf{A})\,dS \label{eq:DC-2}\end{equation} 定ベクトル $\mathbf{c}$ を積分の外に出す。

\begin{equation}\mathbf{c} \cdot \displaystyle\iiint_V (\nabla \times \mathbf{A})\,dV = \mathbf{c} \cdot \displaystyle\iint_{\partial V} (\hat{\mathbf{n}} \times \mathbf{A})\,dS \label{eq:DC-3}\end{equation}

Step 3 ($\mathbf{c}$ の任意性)。$\eqref{eq:DC-3}$ は任意の $\mathbf{c}$ で成り立つので

\begin{equation}\displaystyle\iiint_V \nabla \times \mathbf{A}\,dV = \displaystyle\iint_{\partial V} \hat{\mathbf{n}} \times \mathbf{A}\,dS \label{eq:DC-4}\end{equation} $\square$