第16章 ロピタルの定理

ステップ1：不定形の確認

$x \to 0$ のとき、分子 $e^x - 1 \to e^0 - 1 = 0$、分母 $x \to 0$ なので $\dfrac{0}{0}$ 型の不定形。

ステップ2：ロピタルの定理の条件確認

分子と分母が微分可能か確認：

• 分子の導関数：$(e^x - 1)' = e^x$（すべての $x$ で微分可能）
• 分母の導関数：$(x)' = 1 \neq 0$（条件を満たす）

→ ロピタルの定理が適用できる。

ステップ3：ロピタルの定理を適用

分子と分母をそれぞれ微分して、新しい極限を計算：

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1)'}{(x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1}$$

ステップ4：新しい極限を計算

$e^x$ は $x=0$ で連続なので、直接代入できる：

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = \frac{e^0}{1} = \frac{1}{1} = 1$$

意味：$x \approx 0$ の近くで、$e^x - 1 \approx x$ という近似が成り立つ（指数関数の接線傾きが1）。

ステップ1：不定形の確認

$x \to 0$ のとき、分子 $1 - \cos x \to 1 - 1 = 0$、分母 $x^2 \to 0$ なので $\dfrac{0}{0}$ 型。

ステップ2：第1回のロピタル適用

分子と分母の導関数：

• 分子：$(1 - \cos x)' = 0 - (-\sin x) = \sin x$
• 分母：$(x^2)' = 2x$

新しい極限：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x}$$

ステップ3：新しい極限の形式判定

$x \to 0$ のとき、$\sin x \to 0$、$2x \to 0$ なので、またも $\dfrac{0}{0}$ 型。

→ ロピタルの定理をもう1回適用できる。

ステップ4：第2回のロピタル適用

分子と分母をもう一度微分：

• 分子：$(\sin x)' = \cos x$
• 分母：$(2x)' = 2$

新しい極限：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2}$$

ステップ5：最終的な極限を計算

$\cos x$ は $x=0$ で連続なので：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{\cos 0}{2} = \frac{1}{2}$$

意味：$x \approx 0$ の近くで、$1 - \cos x \approx \dfrac{x^2}{2}$ という近似が成り立つ（Taylor展開）。

ステップ1：不定形の確認

$x \to 0$ のとき、分子 $\sin x \to 0$、分母 $x \to 0$ なので $\dfrac{0}{0}$ 型。

ステップ2：ロピタルの定理を形式的に適用

分子と分母の導関数を計算：

• 分子：$(\sin x)' = \cos x$
• 分母：$(x)' = 1$

新しい極限：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}$$

ステップ3：新しい極限を計算

$\cos x$ は連続なので：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1$$

⚠️ 重要な警告：循環論法の危険性
$(\sin x)' = \cos x$ という事実の証明には、実はこの極限値 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を使う必要がある。

つまり、「この極限を求めるためにロピタルを使い、ロピタルを正当化するためにこの極限を使う」という循環論法に陥っている。

正しい方法：この極限は幾何学的な議論（挟み撃ちの原理、面積評価）で証明すべきである。詳しくは第9章を参照してください。

試験での使用：ただし、自分の求めた答えが合っているか「検算」するのにロピタルを使うのはOKである。

ステップ1：不定形の確認

$x \to \infty$ のとき、分子 $\ln x \to \infty$、分母 $x \to \infty$ なので $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型。

直感的には：「対数関数も無限大に向かうし、$x$ も無限大に向かう。どちらが速く無限大に向かうのか？」という競争の問題。

ステップ2：ロピタルの定理の条件確認

分子と分母の導関数：

• 分子：$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$（$x > 0$ で微分可能）
• 分母：$(x)' = 1 \neq 0$（条件を満たす）

→ ロピタルの定理が適用できる。

ステップ3：ロピタルの定理を適用

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(\ln x)'}{(x)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$$

ステップ4：新しい極限を計算

$x \to \infty$ のとき、$\dfrac{1}{x} \to 0$ なので：

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$$

意味：対数関数 $\ln x$ は無限大に向かいますが、一次関数 $x$ のほうがはるかに速く無限大に向かいます。つまり「$x$ が $\ln x$ より圧倒的に強い」ということ。

ステップ1：不定形の確認と戦略

$x \to \infty$ のとき、分子 $e^x \to \infty$、分母 $x^n \to \infty$ なので $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型。

直感的な問題：「指数関数と多項式、どちらが速く無限大に向かうのか？」

戦略：分子は何度微分しても $e^x$ のまま。分母は多項式なので、$n$ 回微分するとゼロに向かう定数になる。だから $n$ 回ロピタルを適用すれば決着がつく。

ステップ2：ロピタルを繰り返し適用

第1回の微分：

$$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n} = \lim_{x \to \infty} \frac{(e^x)'}{(x^n)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{nx^{n-1}}$$

これもまだ $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型なので、第2回の微分：

$$= \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{n(n-1)x^{n-2}}$$

さらに続ける...（毎回分母の次数が1つ下がる）

ステップ3：$n$ 回微分後の形

$n$ 回ロピタルを適用すると、分母の多項式がすべて消えて定数 $n! = n(n-1)(n-2)\cdots 2 \cdot 1$ になります：

$$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{n!}$$

ステップ4：最終的な極限を計算

分子 $e^x \to \infty$、分母 $n!$ は定数なので：

$$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{n!} = \infty$$

結論：指数関数 $e^x$ は、どんなべき関数 $x^n$ よりも速く無限大に向かいます。これは数学や物理で非常に重要な性質です。

ステップ1：不定形の確認

$x \to 0^+$ のとき：

• $x \to 0^+$（ゼロに向かう）
• $\ln x \to -\infty$（負の無限大に向かう）

よって $0 \cdot (-\infty)$ 型の不定形。

ステップ2：不定形を分数の形に変換

$x \ln x$ を分数にするには、一方を分子に、もう一方の逆数を分母に置きます。ここは $\ln x$ を分子、$1/x$ を分母にします：

$$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x}$$

ステップ3：新しい極限の型の確認

$x \to 0^+$ のとき：

• 分子：$\ln x \to -\infty$
• 分母：$\dfrac{1}{x} \to +\infty$

$\dfrac{-\infty}{+\infty}$ は形式的には $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型。→ ロピタルが使える！

ステップ4：ロピタルの定理を適用

分子と分母の導関数を計算：

• 分子：$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$
• 分母：$\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$

新しい極限：

$$= \lim_{x \to 0^+} \frac{(\ln x)'}{(1/x)'} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2}$$

ステップ5：分数を簡約

分子と分母に $x^2$ を掛けて整理：

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{-1} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{-x} = \lim_{x \to 0^+} (-x)$$

ステップ6：最終的な極限を計算

$x \to 0^+$ のとき、$-x \to 0$ なので：

$$\lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$$

意味：$0$ が $\infty$ より「強い」ので、最後には $0$ に収束します。直感的には、$x$ が非常に小さいとき、$x \ln x$ は $\ln x$ の負の大きさよりも $x$ の小ささが勝つということです。

ステップ1：不定形の確認

$x \to 0^+$ のとき：

• $\dfrac{1}{\sin x} \to +\infty$（正の無限大）
• $\dfrac{1}{x} \to +\infty$（正の無限大）

$\infty - \infty$ 型の不定形です。直感的には「どちらが速く無限大に向かうのか？」という問題。

ステップ2：通分して分数の形に統一

引き算を分数の形にするために、共通分母で通分します：

$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x - \sin x}{x \sin x}$$

ステップ3：新しい極限の型の確認

$x \to 0^+$ のとき：

• 分子：$x - \sin x \to 0 - 0 = 0$
• 分母：$x \sin x \to 0 \cdot 0 = 0$

$\dfrac{0}{0}$ 型に変換できました！→ ロピタルが使える。

ステップ4：ロピタルの定理を1回目適用

分子と分母の導関数を計算：

• 分子の導関数：$(x - \sin x)' = 1 - \cos x$
• 分母の導関数：$(x \sin x)' = \sin x + x \cos x$（積の微分）

新しい極限：

$$= \lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos x}{\sin x + x \cos x}$$

ステップ5：新しい極限の型を確認

$x \to 0^+$ のとき：

• 分子：$1 - \cos x \to 1 - 1 = 0$
• 分母：$\sin x + x \cos x \to 0 + 0 \cdot 1 = 0$

またも $\dfrac{0}{0}$ 型。→ ロピタルをもう1回適用できる。

ステップ6：ロピタルの定理を2回目適用

もう一度分子と分母を微分：

• 分子の導関数：$(1 - \cos x)' = \sin x$
• 分母の導関数：$(\sin x + x \cos x)' = \cos x + (\cos x - x\sin x) = 2\cos x - x\sin x$

新しい極限：

$$= \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{2\cos x - x\sin x}$$

ステップ7：最終的な極限を計算

$x \to 0^+$ のとき、分子と分母が両方とも確定値に向かいます：

• 分子：$\sin x \to 0$
• 分母：$2\cos x - x\sin x \to 2 \cdot 1 - 0 = 2$

したがって：

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{2\cos x - x\sin x} = \frac{0}{2} = 0$$

意味：$x \approx 0$ の近くで、$\dfrac{1}{\sin x}$ と $\dfrac{1}{x}$ は非常に近い値ですが、わずかに $\dfrac{1}{\sin x}$ のほうが大きいため、引き算の結果は $0$ に収束します。

ステップ1：不定形の確認

$x \to 0^+$ のとき、$x^x$ は「底が $0$ に向かい、指数も $0$ に向かう」という $0^0$ 型。

直感的には「0の0乗って、何になるのか？」という問題。

ステップ2：対数をとって指数を下ろす

$y = x^x$ とおいて、両辺の自然対数をとります：

$$\ln y = \ln(x^x) = x \ln x$$

ステップ3：$\ln y$ の極限を求める

今度は $x \ln x$ の極限を求めればよいです。これは例6で既に計算しました：

$$\lim_{x \to 0^+} \ln y = \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$$

ステップ4：元の $y$ の極限を求める

$\lim_{x \to 0^+} \ln y = 0$ ならば、元の $y$ の極限は：

$$\lim_{x \to 0^+} y = e^{\lim_{x \to 0^+} \ln y} = e^0 = 1$$

結論：$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^x = 1$。つまり、$0^0$ は極限の意味では $1$ に定義します。

ステップ1：不定形の確認

$x \to \infty$ のとき：

• 底：$1 + \dfrac{1}{x} \to 1 + 0 = 1$（1に向かう）
• 指数：$x \to \infty$（無限大に向かう）

$1^\infty$ 型の不定形。直感的には「1のほぼ正確な無限乗って何になるのか？」という問題。

ステップ2：対数をとって指数を下ろす

$y = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x$ とおいて、自然対数をとります：

$$\ln y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$$

ステップ3：$\ln y$ の型を認識

$x \to \infty$ のとき：

• $x \to \infty$（無限大）
• $\ln\left(1 + \dfrac{1}{x}\right) \to \ln 1 = 0$（ゼロ）

$\infty \cdot 0$ 型の不定形。これは $0 \cdot \infty$ と同じです。

ステップ4：置換して $\dfrac{0}{0}$ 型に変換

$t = \dfrac{1}{x}$ と置くと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0^+$ です。

また、$x = \dfrac{1}{t}$ なので：

$$\lim_{x \to \infty} x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{t} \ln(1+t) = \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(1+t)}{t}$$

これで $\dfrac{0}{0}$ 型に帰着しました。

ステップ5：ロピタルの定理を適用

分子と分母の導関数を計算：

• 分子：$(\ln(1+t))' = \dfrac{1}{1+t}$
• 分母：$(t)' = 1$

新しい極限：

$$\lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{1/(1+t)}{1} = \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{1+t}$$

ステップ6：最終的な極限を計算

$t \to 0^+$ のとき：

$$\lim_{t \to 0^+} \frac{1}{1+t} = \frac{1}{1+0} = 1$$

ステップ7：元の $y$ の極限を求める

$\lim_{x \to \infty} \ln y = 1$ ならば：

$$\lim_{x \to \infty} y = e^1 = e$$

結論：$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$。これは自然対数の底 $e \approx 2.71828...$ の定義です！

❌ ロピタルが使えない理由

$x \to 0$ で見かけ上 $\dfrac{0}{0}$ 型に見えるが…

分子を微分すると：

$$(x^2 \sin(1/x))' = 2x \sin(1/x) - \cos(1/x)$$

分母の微分：$(x)' = 1$

$x \to 0$ のとき、$2x\sin(1/x) \to 0$ ですが、$\cos(1/x)$ は $-1$ と $1$ の間を永遠に振動し続けるため、$\displaystyle\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ は存在しません。

⟹ ロピタルの定理の適用条件を満たしていないので使えない！

✓ 正しい解法：別の方法を使う

挟み撃ちの原理を使う。$\left|\sin(1/x)\right| \leq 1$ より：

$$\left|\frac{x^2 \sin(1/x)}{x}\right| = |x \sin(1/x)| \leq |x| \to 0 \quad (x \to 0)$$

したがって $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{x} = 0$