第17章 テイラー展開

17.1 テイラーの定理

関数を多項式で近似する強力な手法である。

テイラーの定理

$f(x)$ が点 $a$ の近傍で $n+1$ 回微分可能なとき：

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n(x)$$

ここで $R_n(x)$ は剰余項で：

$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

（$c$ は $a$ と $x$ の間のある点）

テイラー近似の改善 f(x) n=0 n=1 n=2 a 次数を上げるほど、元の関数に近づく a からの距離が小さいほど近似精度が高い
$n$ 次テイラー多項式
$$T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$ $$= f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

17.2 マクローリン展開

$a = 0$ の場合のテイラー展開をマクローリン展開といいる。

マクローリン展開
$$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$$
例1：$e^x$ のマクローリン展開

$f(x) = e^x$ とすると、$f^{(n)}(x) = e^x$ なので $f^{(n)}(0) = 1$

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$
例2：$\sin x$ のマクローリン展開

$f(x) = \sin x$ の各階微分：

  • $f(0) = 0$
  • $f'(0) = \cos 0 = 1$
  • $f''(0) = -\sin 0 = 0$
  • $f'''(0) = -\cos 0 = -1$
  • $f^{(4)}(0) = \sin 0 = 0$

奇数次の項だけが残る：

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
例3：$\cos x$ のマクローリン展開

偶数次の項だけが残る：

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$$

17.3 剰余項の評価

ラグランジュの剰余項
$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

ここで $c$ は $a$ と $x$ の間のある点。

例：$e^x$ の近似誤差

$e^x$ の $n$ 次マクローリン多項式での誤差：

$$|R_n(x)| = \left|\frac{e^c}{(n+1)!}x^{n+1}\right|$$

$0 \leq x \leq 1$ で $c \in [0, x]$ なので $e^c \leq e^1 < 3$

$$|R_n(x)| \leq \frac{3|x|^{n+1}}{(n+1)!}$$

$n \to \infty$ で剰余項は $0$ に収束。

17.4 重要な展開公式

基本的なマクローリン展開
関数 マクローリン展開 収束域
$e^x$ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ $|x| < \infty$
$\sin x$ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ $|x| < \infty$
$\cos x$ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ $|x| < \infty$
$\ln(1+x)$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}$ $-1 < x \leq 1$
$(1+x)^\alpha$ $\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n$ $|x| < 1$

練習問題

練習1

$\dfrac{1}{1-x}$ のマクローリン展開を求めよ。

練習2

$e^x$ の3次マクローリン多項式を使って $e^{0.1}$ の近似値を求め、誤差を評価せよ。

解答を見る

練習1の解答

$f(x) = (1-x)^{-1}$, $f^{(n)}(x) = n!(1-x)^{-(n+1)}$

$f^{(n)}(0) = n!$ より：

$\dfrac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$（$|x| < 1$）

練習2の解答

$T_3(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$

$T_3(0.1) = 1 + 0.1 + 0.005 + 0.000167 \approx 1.10517$

誤差：$|R_3| \leq \frac{e^{0.1}}{4!}(0.1)^4 \leq \frac{3 \times 0.0001}{24} \approx 0.0000125$

実際の値 $e^{0.1} \approx 1.10517...$