第9章 三角関数の微分

証明の詳細

Step 1：$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、面積を比較する。

単位円上で：

• 三角形 OBP の面積 = $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin x = \frac{\sin x}{2}$
• 扇形 OAP の面積 = $\frac{x}{2\pi} \cdot \pi \cdot 1^2 = \frac{x}{2}$
• 三角形 OAQ の面積 = $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan x = \frac{\tan x}{2}$

Step 2：面積の大小関係より。

$$\frac{\sin x}{2} < \frac{x}{2} < \frac{\tan x}{2}$$

Step 3：$\sin x > 0$ で割る。

$$1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$$

Step 4：逆数をとる（不等号が逆転）。

$$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$$

Step 5：$x \to 0$ の極限をとる。

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ なので、はさみうちの原理より：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

半角の公式 $1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$ を使う：

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}$$ $$= \lim_{x \to 0} 2 \cdot \left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 \cdot \frac{1}{4}$$ $$= 2 \cdot 1^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

微分の定義から：

$$\frac{d}{dx}\sin x = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$$

Step 1：加法定理を使って展開する。

$\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$ より：

$$= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}$$

Step 2：項を整理する。

$$= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x (\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}$$

Step 3：和を分ける。

$$= \lim_{h \to 0} \left[ \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h} \right]$$

Step 4：各極限を計算する。

• $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$
• $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$

Step 5：結果をまとめる。

$$= \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$$

微分の定義から：

$$\frac{d}{dx}\cos x = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h}$$

Step 1：加法定理を使いる。

$\cos(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h$ より：

$$= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}$$

Step 2：項を整理する。

$$= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x(\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h}$$

Step 3：和を分ける。

$$= \lim_{h \to 0} \left[ \cos x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \cdot \frac{\sin h}{h} \right]$$

Step 4：各極限を計算する。

$$= \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 = -\sin x$$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、商の公式を使いる。

Step 1：商の公式を適用する。

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{d}{dx}\frac{\sin x}{\cos x}$$ $$= \frac{(\sin x)' \cos x - \sin x (\cos x)'}{\cos^2 x}$$

Step 2：微分を代入する。

$$= \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}$$

Step 3：分子を整理する。

$$= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$$

Step 4：三角関数の基本公式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より：

$$= \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

$\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$ より、$\dfrac{1}{g}$ の微分公式を使う：

$$\frac{d}{dx}\sec x = -\frac{(\cos x)'}{\cos^2 x} = -\frac{-\sin x}{\cos^2 x}$$ $$= \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sec x \tan x$$