第15章 平均値の定理

Case 1：$f(x)$ が定数関数の場合

$f(x) = c$（定数）ならば、$f'(x) = 0$ がすべての点で成り立つ。

Case 2：$f(x)$ が定数でない場合

$f$ は $[a, b]$ で連続なので、閉区間で最大値と最小値を持つ（最大値・最小値の定理）。

Step 1：$f(a) = f(b)$ かつ $f$ が定数でないから、最大値または最小値（またはその両方）は開区間 $(a, b)$ 内の点 $c$ で達成される。

Step 2：$c$ で最大値が達成される場合を考える。

$h > 0$ が十分小さいとき、$f(c+h) \leq f(c)$ なので：

$$\frac{f(c+h) - f(c)}{h} \leq 0$$

$h \to 0^+$ の極限をとると：

$$f'(c) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \leq 0$$

Step 3：同様に $h < 0$ のとき、$f(c+h) \leq f(c)$ で $h < 0$ なので：

$$\frac{f(c+h) - f(c)}{h} \geq 0$$

$h \to 0^-$ の極限をとると：

$$f'(c) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \geq 0$$

Step 4：$f'(c) \leq 0$ かつ $f'(c) \geq 0$ より、$f'(c) = 0$。

補助関数を使ってロルの定理に帰着させる。

Step 1：補助関数を定義する。

$$g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$$

これは曲線 $y = f(x)$ と割線 $y = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) + f(a)$ の垂直方向の差を表する。

Step 2：$g(x)$ がロルの定理の条件を満たすことを確認する。

• $g$ は $[a, b]$ で連続（$f$ が連続、一次関数も連続）
• $g$ は $(a, b)$ で微分可能

Step 3：$g(a) = g(b)$ を確認する。

$$g(a) = f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(a - a) = f(a)$$ $$g(b) = f(b) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(b - a) = f(b) - (f(b) - f(a)) = f(a)$$

よって $g(a) = g(b) = f(a)$。

Step 4：ロルの定理より、ある $c \in (a, b)$ で $g'(c) = 0$。

$$g'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

$g'(c) = 0$ より：

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Step 1：補助関数を定義する。

$$h(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}(g(x) - g(a))$$

Step 2：$h(a) = h(b)$ を確認する。

$$h(a) = f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \cdot 0 = f(a)$$ $$h(b) = f(b) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}(g(b) - g(a)) = f(b) - (f(b) - f(a)) = f(a)$$

Step 3：ロルの定理より、ある $c \in (a, b)$ で $h'(c) = 0$。

$$h'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} g'(x)$$

$h'(c) = 0$ より：

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} g'(c)$$ $$\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$$

区間内の任意の2点 $x_1 < x_2$ をとる。

平均値の定理より、$c \in (x_1, x_2)$ が存在して：

$$f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) = 0 \cdot (x_2 - x_1) = 0$$

よって $f(x_1) = f(x_2)$。任意の2点で同じ値をとるので、$f$ は定数。

$x_1 < x_2$ とする。平均値の定理より：

$$f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1)$$

$f'(c) > 0$ かつ $x_2 - x_1 > 0$ なので：

$$f(x_2) - f(x_1) > 0 \Rightarrow f(x_2) > f(x_1)$$

平均値の定理より：

$$|f(x_2) - f(x_1)| = |f'(c)||x_2 - x_1| \leq M|x_2 - x_1|$$