第1章 確率とは何か

1.1 日常の「確率っぽい」話

私たちは日常的に「確率」という言葉を使っている。

• 「明日、雨が降る確率は60%らしい」
• 「このくじ、当たる確率どれくらい？」
• 「サイコロで6が出る確率は？」

これらはすべて、まだ起きていないこと、まだ結果が分からないことが、どれくらい起きそうかを表現しようとしている。

確率とは、不確実なことを数値で表す方法である。数学的には、事象（結果の集まり）に 0 以上 1 以下の数を対応させる規則として扱う（第3章で標本空間と確率の公理として学ぶ）。

1.2 確率の直感的な意味

サイコロを1回振ることを考えてみましょう。

出る目は1, 2, 3, 4, 5, 6のどれかである。どの目も同じくらい出やすいと仮定すると：

• 「1が出る」という結果は、6つの可能性のうち1つ
• だから「1が出る確率」は $\frac{1}{6}$

これが、結果が有限個で同様に確からしい場合の、確率の基本的な計算方法である。

1.3 なぜ 0〜1 の数になるのか

確率が常に0以上1以下の数になる理由を、結果が有限個で同様に確からしい場合で考えてみましょう。このとき

$$\text{確率} = \dfrac{\text{望む結果の数}}{\text{すべての結果の数}}$$

• 「望む結果の数」は0以上（負にはならない）
• 「望む結果の数」は「すべての結果の数」以下（超えることはない）

したがって：

• 確率の最小値は $\frac{0}{\text{全体}} = 0$（絶対に起きない）
• 確率の最大値は $\frac{\text{全体}}{\text{全体}} = 1$（必ず起きる）

同様に確からしくない場合（1.5節のいびつなサイコロなど）も、確率は 0 以上 1 以下の数として扱う。頻度的解釈（1.6節）で考えても、起きた回数の割合なので 0〜1 に収まる。

なお「確率 0 = 絶対に起きない」「確率 1 = 必ず起きる」は、この章のように結果が有限個の場合の話である。結果が無限にある場合、例えば 0 以上 1 以下の実数から 1 つを偏りなく選ぶと、ちょうど 0.5 が選ばれる確率は 0 だが、起こりえないわけではない。詳しくは第3章で扱う。

1.4 確率を表す記号

数学では、確率を次のように書く：

例

• $P(\text{サイコロで1が出る}) = \frac{1}{6}$
• $P(\text{コインで表が出る}) = \frac{1}{2}$

1.5 「同様に確からしい」とは

1.2節のサイコロの例で、重要な仮定をしていた。

どの目も同じくらい出やすい

なぜこう言えるのか？

• 理想化したサイコロは立方体で、どの面も同じ形・同じ大きさ
• 重心が中央にあり、偏りがない
• だから、どの面も出やすさが同じと仮定するのが自然である（実物のサイコロには、作りや投げ方によるわずかな偏りがありうる）

このように「物理的・構造的に対称だから、どの結果も等しく起こりやすい」と仮定できるとき、数学では「同様に確からしい」と言う。

この仮定が成り立たない場合、単純な数え上げでは確率を計算できない。例えば、いびつなサイコロ（重心が偏っている）では、ある目が出やすくなる。

入門編では、「同様に確からしい」場合を中心に学ぶ。

1.6 確率と割合

確率は「割合」と深い関係がある。

1000回サイコロを振ったとき、1が出る回数はおよそ何回でしょうか？

これは期待される回数で、実際に実験した回数はその周りでばらつく。例えば 1000 回なら、約 95% の確率で 144〜190 回の範囲に入る。

頻度的解釈では、確率は「長い目で見たときの割合」と捉える

これは確率の重要な解釈の一つである（頻度的解釈と呼ばれる）。なお、確率には「信念の度合い」として捉えるベイズ的解釈など、他の考え方もあるが、入門編では頻度的解釈を中心に学ぶ。

1.7 この章のまとめ

よくある質問

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