確率論
Probability Theory
このシリーズについて
確率論は、サイコロの目やコイン投げのような不確実な現象を数学的に扱う分野である。「偶然」を厳密に定量化することで、予測や意思決定に科学的基盤を与える。
確率論は現代社会のあらゆる場面で使われている：統計学、機械学習、金融工学、物理学、生命科学など。本シリーズでは、高校数学レベルの入門から大学院レベルの確率過程まで、4段階で確率論を体系的に学ぶ。
レベル別学習
初級
大学1-2年レベル
- 確率空間の定義
- 条件付き確率と独立性
- ベイズの定理
- 確率変数と期待値
- 離散分布（二項・ポアソン）
中級
大学3-4年レベル
- 確率論の公理化
- σ加法族と測度
- 連続分布と密度関数
- ルベーグ積分と期待値
- 収束概念と大数の法則
上級
大学院レベル
- 確率過程入門
- マルコフ過程
- ブラウン運動
- 確率微分方程式
- 中心極限定理・情報理論
学習の流れ
主な学習内容
確率の基礎
確率の定義、加法定理、条件付き確率など、確率論の基本概念。
確率分布
二項分布、ポアソン分布、正規分布など、様々な確率分布の理解。
極限定理
大数の法則、中心極限定理など、確率論の根幹をなす定理。
確率過程
マルコフ過程、ブラウン運動、確率微分方程式など、時間発展する確率現象。
主要な公式
確率の公理（コルモゴロフ）
$$P(\Omega) = 1, \quad P(A) \geq 0$$
条件付き確率
$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
ベイズの定理
$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$
期待値と分散
$$E[X], \quad V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$$