第2章 場合の数
確率を計算するには、「何通りあるか」を数える技術が必要である。この章では、場合の数を正確に数える方法を学ぶ。
2.1 積の法則
基本的な考え方
2つの選択を順番に行うとき、全体の場合の数は「掛け算」で求められる。
例：服の組み合わせ
シャツが3着、ズボンが2本あるとき、組み合わせは何通り？
積の法則（乗法原理）
選択Aが $m$ 通り、選択Bが $n$ 通りあるとき、AとBを順に行う方法は $m \times n$ 通り
3つ以上の場合
選択が3つ以上でも同じである。
例：3桁の数字
各桁に 1〜9 の数字を使うとき（0 は使わないものとする）、3桁の数字は何通り？
$$9 \times 9 \times 9 = 729 \text{ 通り}$$2.2 和の法則
基本的な考え方
互いに重ならない場合を合わせるとき、全体の場合の数は「足し算」で求められる。
例：デザート選び
デザートに、ケーキが3種類、アイスが2種類用意されている。この中から1つ選ぶとき、選び方は何通り？
和の法則（加法原理）
場合Aが $m$ 通り、場合Bが $n$ 通りあり、AとBが重ならないとき、AまたはBである方法は $m + n$ 通り
「重ならない」とは、両方のグループに同時に属するものが無いという意味である。例えばケーキであり同時にアイスでもあるデザートは存在しないので、$3 + 2$ で重複なく数えられる。もし重なりがあれば、その重複分を引く必要がある。
判断に迷ったら
- 「A をしてから B も行う」（A かつ B）→ 掛け算 ＝ 積の法則
- 「A または B のどちらかを選ぶ」（重複なし）→ 足し算 ＝ 和の法則
2.3 順列（並べ方）
順列とは
異なるものを順番に並べる方法の数を順列と呼ぶ。
例：3人を1列に並べる
A, B, Cの3人を1列に並べる方法は？
階乗
$n$ 個のものを全部並べる方法の数を $n!$（$n$の階乗）と書く。
$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$$| $n$ | $n!$ | 計算 |
|---|---|---|
| 0 | 1 | （特別な約束） |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 × 1 |
| 3 | 6 | 3 × 2 × 1 |
| 4 | 24 | 4 × 3 × 2 × 1 |
| 5 | 120 | 5 × 4 × 3 × 2 × 1 |
一部だけ並べる順列
$n$ 個から $r$ 個を選んで並べる方法の数を $_nP_r$ と書く。
$$_nP_r = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1) = \dfrac{n!}{(n-r)!}$$例：5人から3人を選んで並べる
$$_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60 \text{ 通り}$$2.4 組合せ（選び方）
組合せとは
異なるものから、順番を考えずにいくつか選ぶ方法の数を組合せと呼ぶ。
例：5人から3人を選ぶ
A, B, C, D, Eから3人選ぶ。
順列では ABC と ACB は別物だが、組合せでは「A, B, Cを選んだ」という同じ選び方である。
組合せの公式
$n$ 個から $r$ 個を選ぶ方法の数を $_nC_r$ または $\binom{n}{r}$ と書く。
$$_nC_r = \dfrac{_nP_r}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$$例：5人から3人を選ぶ
$$_5C_3 = \dfrac{5!}{3! \times 2!} = \dfrac{120}{6 \times 2} = 10 \text{ 通り}$$なぜ $r!$ で割るのか
順列 $_5P_3 = 60$ には、同じ3人の選び方が $3! = 6$ 回ずつ数えられている。
例：{A, B, C} という選び方は、ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA の6通りとして数えられている。
だから $60 \div 6 = 10$ 通り。
組合せの性質
$$_nC_r = {}_nC_{n-r}$$$n$ 個から $r$ 個選ぶことは、「選ばない $n-r$ 個を決める」ことと同じ。
例：$_5C_3 = {}_5C_2 = 10$
2.5 重要な公式と計算テクニック
パスカルの三角形
$$_nC_r = {}_{n-1}C_{r-1} + {}_{n-1}C_r$$この等式の意味は図を見るとよく分かる。パスカルの三角形では、各数はすぐ上の左右2つの数を足したものになっている。
よく使う値
| $_nC_r$ | r=0 | r=1 | r=2 | r=3 | r=4 | r=5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| n=5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
| n=6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 |
| n=7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 |
2.6 この章のまとめ
| 法則・公式 | 意味 | 式 |
|---|---|---|
| 積の法則 | 連続した選択は掛け算 | $m \times n$ |
| 和の法則 | 重ならない場合は足し算 | $m + n$ |
| 順列 $_nP_r$ | 並べ方の数 | $\dfrac{n!}{(n-r)!}$ |
| 組合せ $_nC_r$ | 選び方の数 | $\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$ |
順列と組合せの関係：$_nC_r = \dfrac{_nP_r}{r!}$
練習問題
問題1
4人を1列に並べる方法は何通り？
問題2
10人から委員長と副委員長を選ぶ方法は何通り？
問題3
10人から2人の委員を選ぶ方法は何通り？
問題4
A, B, C, D, Eの5文字から3文字を選んで並べる方法は何通り？
解答
問題1の解答
$4! = 24$ 通り（4人を1列に並べる＝順列）
問題2の解答
$_{10}P_2 = 10 \times 9 = 90$ 通り（委員長と副委員長は区別する）
問題3の解答
$_{10}C_2 = \dfrac{10 \times 9}{2} = 45$ 通り（委員は区別しない）
問題4の解答
$_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り（3人を順番に並べる＝順列）
よくある質問
積の法則と和の法則はどう使い分けるか
続けて行う選択（A をしてから B もする）は掛け算＝積の法則、どちらか一方を選ぶ（A または B で重複なし）は足し算＝和の法則を使う。「〜かつ〜」なら積、「〜または〜」なら和と考えると使い分けられる。
順列と組合せの違いは何か
順列 $P(n,r)$ は順番を区別して $r$ 個を並べる方法の数、組合せ $C(n,r)$ は順番を区別せず $r$ 個を選ぶ方法の数である。同じ選び方でも並び順を数えるかどうかで変わり、$C(n,r) = P(n,r)/r!$ の関係がある。
階乗 n! とは何か
$n!$ は $1$ から $n$ までの整数をすべて掛けた値で、$n$ 個のものを 1 列に並べる順列の総数を表す。例えば $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$。約束として $0! = 1$ と定める。