IEEE 754 浮動小数点数

1. 概要

IEEE 754（正式名称: IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic）は、浮動小数点演算の国際標準規格である。1985年に初版が策定され（IEEE 754-1985）、2008年に改訂（IEEE 754-2008）、2019年に最新版（IEEE 754-2019）が発行された。

現在のほぼすべてのプロセッサ（CPU、GPU）がこの規格に準拠しており、プログラミング言語の float（単精度）や double（倍精度）はこの規格に基づいている。

2. 特殊値の詳細

特殊値の基本（指数部と仮数部の組合せ）は第1章で解説した。ここでは実用上重要な詳細を補足する。

NaN の 2 種類

NaN には quiet NaN（qNaN: 伝播するが例外を発生しない）と signaling NaN（sNaN: 使用時に例外を発生する）の2種類がある。

NaN の検出にはプログラム上で「自分自身との比較が false」になる性質を利用できる:

x = 0.0 / 0.0  // NaN
x == x         // false（NaN の検出に使える）
x != x         // true

符号付きゼロ（$\pm 0$）の性質

$+0$ と $-0$ は比較では等しい（$+0 == -0$ は true）が、$1/(+0) = +\infty$, $1/(-0) = -\infty$ と区別される。

3. 段階的アンダーフロー

非正規化数（サブノーマル数）により、最小正規化数とゼロの間のギャップが埋められ、段階的アンダーフロー（gradual underflow）が実現される。

非正規化数は正規化数より有効桁数が少ないが、$x - y = 0 \Rightarrow x = y$ という重要な性質を保証する。非正規化数がなければ、異なる値 $x \neq y$ に対して $\text{fl}(x - y) = 0$（$\text{fl}$ は浮動小数点数への丸め）となるケースが発生し、アルゴリズムの正当性が損なわれる。

IEEE 754-2008 ではさらに半精度（16ビット）、四倍精度（128ビット）なども規定されている。

4. 正しい丸めの保証

IEEE 754 では、基本演算（$+, -, \times, \div, \sqrt{\phantom{x}}$）の結果が正しく丸められる（correctly rounded）ことが保証される。すなわち、結果は「無限精度で演算を行い、その結果を丸めた値」と一致する。

丸めモードの種類は第1章 §6で列挙している。デフォルトは最近接偶数丸め（round to nearest, ties to even）である。

この「正しい丸め」により、任意の浮動小数点演算 $\text{fl}(a \circ b)$ は

と表される。この性質は数値安定性の解析の基盤であり、誤差解析において繰り返し用いられる。

5. よくある質問

6. 参考資料

• Wikipedia「IEEE 754」（日本語版）
• Wikipedia「IEEE 754」（英語版）
• Wikipedia「Double-precision floating-point format」（英語版）
• D. Goldberg, "What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic," ACM Computing Surveys, vol. 23, no. 1, pp. 5--48, 1991.
• IEEE 754-2019, IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic, IEEE, 2019.
• M. L. Overton, Numerical Computing with IEEE Floating Point Arithmetic, SIAM, 2001.