数値解析初級

基本的な数値アルゴリズム（大学1-2年レベル）

初級の概要

初級では、大学初年度で学ぶ数値解析の基礎を扱う。コンピュータが数を表現する仕組み（浮動小数点数）を理解し、方程式の求解、補間、数値積分の標準的なアルゴリズムを学ぶ。

学習目標

IEEE 754 浮動小数点数の仕組みを理解する
ニュートン法・割線法で方程式を解ける
ラグランジュ補間・ニュートン補間を使える
台形則・シンプソン則で数値積分を計算できる
アルゴリズムの収束次数を理解する

目次

誤差と数の表現

1. 浮動小数点数 — IEEE 754規格、正規化数の仕組み
2. IEEE 754 — 単精度・倍精度の詳細、特殊値（NaN, Inf）
3. 計算機イプシロン — $\varepsilon_{\mathrm{mach}}$ の定義と求め方
4. オーバーフローとアンダーフロー — 表現範囲を超える場合の対処
5. 有効数字と丸め誤差 — 有効桁数の数え方
6. 絶対誤差 — $|x - \hat{x}|$ の定義と性質
7. 相対誤差 — $|x - \hat{x}|/|x|$ の定義と応用
8. 丸め誤差 — 有限桁表現に起因する誤差
9. 打ち切り誤差 — 離散化・級数の打ち切りによる誤差

計算の落とし穴

10. 情報落ち — 大小の数の加算で小さい方が無視される
11. 桁落ち — 近い値の差で有効桁が消える現象
12. 数値安定性 — 前方安定・後方安定の概念

非線形方程式の求根法

13. 二分法 — 最も基本的な求根法、確実だが低速
14. はさみうち法（偽位法） — 二分法を線形補間で改良
15. 不動点反復法 — $x = g(x)$ の反復、縮小写像定理
16. ニュートン法 — $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$、2次収束
17. 割線法 — 導関数不要の超線形収束法

補間と近似

18. ホーナー法 — 多項式の効率的な評価アルゴリズム
27. 補間法（概要） — ラグランジュ補間、ニュートン差分商、補間誤差
28. ラグランジュ補間多項式 — 基底多項式による構成
29. 差分商 — 差分商の定義・性質・再帰的計算
30. ニュートンの差分商補間 — 差分商表による効率的な計算
31. スプライン補間 — 区分的多項式、3次スプライン

数値微分

32. 前進差分 — $f'(x) \approx (f(x+h) - f(x))/h$
33. 後退差分 — $f'(x) \approx (f(x) - f(x-h))/h$
34. 中心差分 — $f'(x) \approx (f(x+h) - f(x-h))/(2h)$、2次精度

数値積分

35. 数値積分（概要） — 台形則・シンプソン則・複合公式
36. 台形公式 — 最も基本的な数値積分、$O(h^2)$
37. シンプソンの公式 — 2次補間による $O(h^4)$ の精度
38. ニュートン＝コーツ公式 — 等間隔節点に基づく求積公式の一般論
39. ガウス求積法 — 最適な求積点と重みの選び方

連立一次方程式

21. ガウスの消去法 — 前進消去と後退代入、アニメーション付き計算例
22. ピボット選択 — 部分・完全・有理数ピボット
23. 前進代入 — 下三角行列の求解
24. 後退代入 — 上三角行列の求解
25. ガウス＝ジョルダン消去法 — 被約行階段形への変換
26. クラメルの公式 — 行列式による連立方程式の解法

ノルム

19. ベクトルノルム — 1-ノルム、2-ノルム、$\infty$-ノルム
20. 行列ノルム — フロベニウスノルム、スペクトルノルム

常微分方程式の数値解法

40. オイラー法 — 前進・後退・改良オイラー法、安定性解析

その他

41. アルゴリズムの計算量 — $O$ 記法、時間計算量と空間計算量

ニュートン法の可視化

ニュートン法は、接線を使って解に高速に近づく方法である。

ニュートン法の可視化 — 図 1: $f(x) = x^3 - 2x - 5$ に対するニュートン法。$x_0 = 3.5$ から接線を引き、x 軸との交点 $x_1, x_2, \ldots$ が根 $x^*$ に急速に収束する。

スプライン補間の可視化

スプライン補間の可視化 — 図 2: 6個のデータ点（赤丸）に対する3次スプライン補間（青実線）と線形補間（灰色破線）の比較。スプライン補間は各区間で3次多項式を接続し、滑らかな曲線を生成する。

前提知識

数値解析入門の内容
微分積分学の基礎
テイラー展開の知識