第7章: 余角の公式
概要
本ページでは、三角関数の余角の公式
\begin{align*} \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) &= \cos\theta \\ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) &= \sin\theta \\ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) &= \cot\theta \\ \cot\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) &= \tan\theta \end{align*}を、三角関数の定義に基づいて丁寧に証明する。
三角関数の定義
証明に入る前に、直角三角形における三角関数の定義を確認する。
図1: 直角三角形（底辺 x、対辺 y、斜辺 r、角 θ）
図1のように、底辺の長さを $x$、対辺の高さを $y$、斜辺の長さを $r$、頂点 A での角を $\theta$ とした場合、三角関数は以下のように定義される。
三角関数の定義
$$ \sin\theta = \dfrac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \dfrac{y}{r} \tag{1}\label{def-sin} $$ $$ \cos\theta = \dfrac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \dfrac{x}{r} \tag{2}\label{def-cos} $$ $$ \tan\theta = \dfrac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \dfrac{y}{x} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} \tag{3}\label{def-tan} $$ $$ \cot\theta = \dfrac{\text{隣辺}}{\text{対辺}} = \dfrac{x}{y} = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{1}{\tan\theta} \tag{4}\label{def-cot} $$ここで重要なのは、$\tan\theta$ が「高さ÷底辺」、$\cot\theta$ が「底辺÷高さ」であることである。 つまり、$\tan$ と $\cot$ は分子と分母が入れ替わった関係にある。
$\sin, \cos$ の余角の公式
定理
$$ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta, \quad \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta $$証明. これは次節の $\tan$ の証明でも使う基本的な結果である。
Step 1: 2つの鋭角の関係
図2: 直角三角形の2つの鋭角 θ と π/2−θ
図2の直角三角形において、直角は $\angle C = \dfrac{\pi}{2}$ である。 三角形の内角の和は $\pi$ だから、
$$ \angle A + \angle B = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} $$よって $\angle A = \theta$ とすれば、$\angle B = \dfrac{\pi}{2} - \theta$ である。
Step 2: θ（∠A）から見た三角関数
角 $\theta$（∠A）から見ると、対辺は $y$、隣辺は $x$、斜辺は $r$ であるから、定義の式\eqref{def-sin}, \eqref{def-cos} がそのまま成り立つ。
$$ \sin\theta = \frac{y}{r} \quad \text{(式\eqref{def-sin} 再掲)} $$ $$ \cos\theta = \frac{x}{r} \quad \text{(式\eqref{def-cos} 再掲)} $$Step 3: π/2−θ（∠B）から見た三角関数
次に、角 $\dfrac{\pi}{2} - \theta$（∠B）から見た場合を考える。 図2の三角形を ∠B が左下に来るよう書き換えると図3のようになる。
図3: ∠B（π/2−θ）が左下にくるように図2を描き直すと…
斜辺は同じ $r$ だが、対辺が $x$、隣辺が $y$ に入れ替わっているので、∠B に関する $\sin, \cos$ は定義式 $\sin = \dfrac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}$, $\cos = \dfrac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}$ より次のようになる。
$$ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac{x}{r} \tag{5}\label{sincomp} $$ $$ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac{y}{r} \tag{6}\label{coscomp} $$Step 4: 比較
定義式 $\eqref{def-sin},\eqref{def-cos}$ と Step 3 の $\eqref{sincomp},\eqref{coscomp}$ を並べると、次のようになる。
| $\angle A\;(\theta)$ から見た定義 | $\angle B\;\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)$ から見た定義 | |
|---|---|---|
| $\sin$ | $\sin\theta = \dfrac{y}{r}$ \eqref{def-sin} | $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right) = \dfrac{x}{r}$ \eqref{sincomp} |
| $\cos$ | $\cos\theta = \dfrac{x}{r}$ \eqref{def-cos} | $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right) = \dfrac{y}{r}$ \eqref{coscomp} |
表を斜めに見比べると、
- 式\eqref{sincomp} は式\eqref{def-cos} と一致、つまり $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right) = \cos\theta$
- 式\eqref{coscomp} は式\eqref{def-sin} と一致、つまり $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right) = \sin\theta$
注目する角を取り替えると、対辺と隣辺が入れ替わるからである。
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$\tan, \cot$ の余角の公式
定理
$$ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot\theta $$証明.
Step 1: tan の定義を適用
$\tan$ の定義 $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$（式\eqref{def-tan}）を用いると、
$$ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)} \tag{7}\label{tancomp-expand} $$Step 2: $\sin, \cos$ の余角の公式を代入
前節で証明した $\sin, \cos$ の余角の公式
$$ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta, \quad \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta $$を式\eqref{tancomp-expand} に代入する。
Step 3: 整理
代入すると、
$$ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \tag{8}\label{tancomp-result} $$Step 4: cot の定義と比較
$\cot\theta$ の定義式\eqref{def-cot} は $\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ であり、式\eqref{tancomp-result} と一致している。
$\blacksquare$
定理
$$ \cot\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \tan\theta $$証明. $\cot$ の定義 式\eqref{def-cot} と $\sin, \cos$ の余角の公式より、
$$ \cot\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta $$$\blacksquare$