第2章 三角関数
Trigonometric Functions
この章について
第1章では $0° < \theta < 90°$ の範囲で三角比を定義した。この章では、角の範囲を任意の実数に拡張し、三角関数 として定義する。また、角度を表す新しい単位である 弧度法（ラジアン） を導入し、三角関数のグラフと周期性を学ぶ。
一般角
回転角としての角
これまで角は $0°$ から $360°$ の範囲で考えてきたが、「何回転したか」を含めた 一般角 を考える。
定義 2.1 (一般角)
半直線が原点を中心に反時計回りに回転した量を 正の角、時計回りに回転した量を 負の角 とする。1回転は $360°$ であり、$n$ 回転した角は $360n°$ である。
例えば：
- $390° = 360° + 30°$（1回転と $30°$）
- $-45°$（時計回りに $45°$）
- $720°$（2回転）
図1: 一般角の例
象限
座標平面を $x$ 軸と $y$ 軸で4つの領域に分ける。これを 象限 という。
図2: 座標平面の4つの象限
弧度法（ラジアン）
角度を表す単位として、度数法（°）以外に 弧度法（ラジアン） がある。
定義 2.2 (弧度法)
半径 $r$ の円において、弧の長さが $r$ となる中心角を $1$ ラジアン（$1$ rad） と定義する。
図3: 1ラジアンの定義
度数法と弧度法の関係
半径 $r$ の円の円周は $2\pi r$ である。よって、1周（$360°$）は $2\pi$ ラジアンに対応する。
定義 2.3 (度数法と弧度法の変換)
\begin{align} 360° &= 2\pi \text{ rad} \label{eq:360-2pi}\\ 180° &= \pi \text{ rad} \label{eq:180-pi}\\ 1° &= \frac{\pi}{180} \text{ rad} \label{eq:1deg-rad}\\ 1 \text{ rad} &= \frac{180°}{\pi} \approx 57.3° \label{eq:1rad-deg} \end{align}主な角度の対応
図4: 度数法と弧度法の対応
弧度法を用いる理由
数学や物理学では、度数法よりも弧度法の方が都合がよい。将来学ぶ微分（関数の変化率を求める操作）において、弧度法を用いると公式が簡潔になる。
$x$ をラジアンで表す弧度法では、次のような美しい公式が成り立つ：
$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$$一方、$x$ を度で表す度数法では、同じ公式に余計な係数が付いてしまう：
$$\frac{d}{dx}\sin x = \frac{\pi}{180}\cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\frac{\pi}{180}\sin x$$このように、弧度法を使えば数学の公式が最も自然で簡潔な形になる。これが、数学や物理学で弧度法が標準的に用いられる理由である。
単位円による三角関数の定義
一般角に対して三角関数を定義するために、単位円（半径1の円）を用いる。
定義 2.4 (単位円による三角関数)
座標平面上で原点を中心とする半径1の円（単位円）を考える。$x$ 軸の正の向きから反時計回りに角 $\theta$ 回転した半直線と単位円の交点を $P(\cos\theta, \sin\theta)$ とする。
\begin{align} \cos\theta &= P \text{ の } x \text{ 座標} \label{eq:cos-unit-circle}\\ \sin\theta &= P \text{ の } y \text{ 座標} \label{eq:sin-unit-circle}\\ \tan\theta &= \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \quad (\cos\theta \neq 0) \label{eq:tan-unit-circle} \end{align}図5: 単位円による三角関数の定義
この定義により、任意の角 $\theta$（負の角や $360°$ を超える角も含む）に対して三角関数が定義される。
三角関数のグラフ
y = sin x のグラフ
図6: y = sin x のグラフ
- 周期：$2\pi$
- 値域：$-1 \leq \sin x \leq 1$
- $x = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi$ で最大値 $1$
- $x = \dfrac{3\pi}{2} + 2n\pi$ で最小値 $-1$
- $x = n\pi$ で $0$
- 符号：第1・第2象限（$0 < x < \pi$）で正、第3・第4象限（$\pi < x < 2\pi$）で負
y = cos x のグラフ
図7: y = cos x のグラフ
- 周期：$2\pi$
- 値域：$-1 \leq \cos x \leq 1$
- $x = 2n\pi$ で最大値 $1$
- $x = \pi + 2n\pi$ で最小値 $-1$
- $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ で $0$
- 符号：第1・第4象限（$-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}$）で正、第2・第3象限（$\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{3\pi}{2}$）で負
y = tan x のグラフ
図8: y = tan x のグラフ
- 周期：$\pi$
- 値域：すべての実数
- $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ で定義されない（漸近線）
※ グラフが限りなく近づくが決して交わらない直線を漸近線（asymptote）という。図8の破線がこれにあたる。 - $x = n\pi$ で $0$
- 符号：第1・第3象限で正、第2・第4象限で負
三角関数の性質
周期性
単位円を1周すると元の位置に戻るため、三角関数は 周期関数 である。
定理 2.1 (周期性)
\begin{align} \sin(\theta + 2\pi) &= \sin\theta \label{eq:sin-period}\\ \cos(\theta + 2\pi) &= \cos\theta \label{eq:cos-period}\\ \tan(\theta + \pi) &= \tan\theta \label{eq:tan-period} \end{align}sin と cos の 周期 は $2\pi$、tan の周期は $\pi$ である。
偶関数・奇関数
定理 2.2 (偶奇性)
\begin{align} \sin(-\theta) &= -\sin\theta \quad \text{(奇関数)} \label{eq:sin-odd}\\ \cos(-\theta) &= \cos\theta \quad \text{(偶関数)} \label{eq:cos-even}\\ \tan(-\theta) &= -\tan\theta \quad \text{(奇関数)} \label{eq:tan-odd} \end{align}例題
例題 1: 弧度法と度数法の変換
次の角度を変換せよ。
(1) $135°$ をラジアンに変換せよ。
(2) $\dfrac{5\pi}{6}$ ラジアンを度数法に変換せよ。
解法
(1) $180° = \pi$ rad の関係を用いる。
$$135° = 135 \times \frac{\pi}{180} = \frac{135\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$$(2) $1 \text{ rad} = \dfrac{180°}{\pi}$ の関係を用いる。
$$\frac{5\pi}{6} \text{ rad} = \frac{5\pi}{6} \times \frac{180°}{\pi} = \frac{5 \times 180°}{6} = 150°$$(1) $135° = \dfrac{3\pi}{4}$ rad (2) $\dfrac{5\pi}{6}$ rad $= 150°$
例題 2: 単位円上の点の座標と三角関数の値
$\theta = \dfrac{2\pi}{3}$（$= 120°$）のとき、$\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$ の値を求めよ。
解法
$\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ は第2象限の角である。$x$ 軸となす鋭角（参照角）は $\pi - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}$（$= 60°$）である。
$60°$ の三角比は第1章で学んだ通り $\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$、$\cos 60° = \dfrac{1}{2}$ である。
第2象限では $\sin > 0$、$\cos < 0$ であるから：
\begin{align} \sin\frac{2\pi}{3} &= \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos\frac{2\pi}{3} &= -\cos 60° = -\frac{1}{2} \\ \tan\frac{2\pi}{3} &= \frac{\sin\frac{2\pi}{3}}{\cos\frac{2\pi}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} \end{align}$\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$, $\tan\dfrac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$
例題 3: 三角関数のグラフの周期と振幅
関数 $y = 3\sin 2x$ の周期と振幅を求めよ。
解法
一般に $y = A\sin Bx$ の形の関数では：
- 振幅 $= |A|$
- 周期 $= \dfrac{2\pi}{|B|}$
$y = 3\sin 2x$ では $A = 3$、$B = 2$ であるから：
\begin{align} \text{振幅} &= |3| = 3 \\ \text{周期} &= \frac{2\pi}{|2|} = \pi \end{align}振幅 $3$、周期 $\pi$
練習問題
問題 1
次の角度をラジアンに変換せよ。
(1) $210°$ (2) $315°$ (3) $-60°$
ヒント
$180° = \pi$ rad の関係式を使う。度をラジアンに変換するには $\dfrac{\pi}{180}$ を掛ける。負の角度もそのまま計算すればよい。
解答例
(1) $210° = 210 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{6}$
(2) $315° = 315 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{4}$
(3) $-60° = -60 \times \dfrac{\pi}{180} = -\dfrac{\pi}{3}$
問題 2
$\theta = \dfrac{5\pi}{4}$ のとき、単位円上の点 $P$ の座標を求め、$\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$ の値を答えよ。
ヒント
$\dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4}$ であるから、第3象限の角で参照角は $\dfrac{\pi}{4}$（$= 45°$）である。第3象限では $\sin$、$\cos$ ともに負であることに注意する。
解答例
参照角は $\dfrac{\pi}{4}$（$45°$）で、$\sin 45° = \cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ である。
第3象限では $\sin < 0$、$\cos < 0$ であるから：
$P\!\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\; -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$\sin\dfrac{5\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\dfrac{5\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan\dfrac{5\pi}{4} = \dfrac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$
問題 3
$\sin\theta = -\dfrac{1}{2}$ を満たす $\theta$ を、$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲ですべて求めよ。
ヒント
$\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ となる角（$\dfrac{\pi}{6}$）を手がかりにする。$\sin$ が負になるのは第3象限と第4象限である。
解答例
$\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ であるから、参照角は $\dfrac{\pi}{6}$ である。
$\sin\theta < 0$ となるのは第3象限と第4象限であるから：
第3象限: $\theta = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6}$
第4象限: $\theta = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{6}$
よって $\theta = \dfrac{7\pi}{6},\; \dfrac{11\pi}{6}$
問題 4
関数 $y = 2\cos 3x$ の周期、振幅、最大値、最小値を求めよ。
ヒント
$y = A\cos Bx$ の振幅は $|A|$、周期は $\dfrac{2\pi}{|B|}$ である。$\cos$ の値域は $-1 \leq \cos 3x \leq 1$ であることを使う。
解答例
$A = 2$、$B = 3$ であるから：
振幅 $= |2| = 2$
周期 $= \dfrac{2\pi}{|3|} = \dfrac{2\pi}{3}$
$-1 \leq \cos 3x \leq 1$ の各辺に $2$ を掛けて $-2 \leq 2\cos 3x \leq 2$
最大値 $2$（$\cos 3x = 1$ すなわち $x = \dfrac{2n\pi}{3}$ のとき）
最小値 $-2$（$\cos 3x = -1$ すなわち $x = \dfrac{(2n+1)\pi}{3}$ のとき）