第2章 三角関数
Trigonometric Functions
この章について
第1章では $0° < \theta < 90°$ の範囲で三角比を定義した。この章では、角の範囲を任意の実数に拡張し、三角関数 として定義する。また、角度を表す新しい単位である 弧度法（ラジアン） を導入し、三角関数のグラフと周期性を学ぶ。
一般角
回転角としての角
これまで角は $0°$ から $360°$ の範囲で考えてきたが、「何回転したか」を含めた 一般角 を考える。
定義 2.1 (一般角)
半直線が原点を中心に反時計回りに回転した量を 正の角、時計回りに回転した量を 負の角 とする。1回転は $360°$ であり、$n$ 回転した角は $360n°$ である。
例えば：
- $390° = 360° + 30°$（1回転と $30°$）
- $-45°$（時計回りに $45°$）
- $720°$（2回転）
図1: 一般角の例
象限
座標平面を $x$ 軸と $y$ 軸で4つの領域に分ける。これを 象限 という。
図2: 座標平面の4つの象限
弧度法（ラジアン）
角度を表す単位として、度数法（°）以外に 弧度法（ラジアン） がある。
定義 2.2 (弧度法)
半径 $r$ の円において、弧の長さが $r$ となる中心角を $1$ ラジアン（$1$ rad） と定義する。
図3: 1ラジアンの定義
度数法と弧度法の関係
半径 $r$ の円の円周は $2\pi r$ である。よって、1周（$360°$）は $2\pi$ ラジアンに対応する。
定義 2.1 (度数法と弧度法の変換)
\begin{align} 360° &= 2\pi \text{ rad} \label{eq:360-2pi}\\ 180° &= \pi \text{ rad} \label{eq:180-pi}\\ 1° &= \frac{\pi}{180} \text{ rad} \label{eq:1deg-rad}\\ 1 \text{ rad} &= \frac{180°}{\pi} \approx 57.3° \label{eq:1rad-deg} \end{align}主な角度の対応
図4: 度数法と弧度法の対応
弧度法を用いる理由
数学や物理学では、度数法よりも弧度法の方が都合がよい。将来学ぶ微分（関数の変化率を求める操作）において、弧度法を用いると公式が簡潔になる。
$x$ をラジアンで表す弧度法では、次のような美しい公式が成り立つ：
$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$$一方、$x$ を度で表す度数法では、同じ公式に余計な係数が付いてしまう：
$$\frac{d}{dx}\sin x = \frac{\pi}{180}\cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\frac{\pi}{180}\sin x$$このように、弧度法を使えば数学の公式が最も自然で簡潔な形になる。これが、数学や物理学で弧度法が標準的に用いられる理由である。
単位円による三角関数の定義
一般角に対して三角関数を定義するために、単位円（半径1の円）を用いる。
定義 2.3 (単位円による三角関数)
座標平面上で原点を中心とする半径1の円（単位円）を考える。$x$ 軸の正の向きから反時計回りに角 $\theta$ 回転した半直線と単位円の交点を $P(\cos\theta, \sin\theta)$ とする。
\begin{align} \cos\theta &= P \text{ の } x \text{ 座標} \label{eq:cos-unit-circle}\\ \sin\theta &= P \text{ の } y \text{ 座標} \label{eq:sin-unit-circle}\\ \tan\theta &= \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \quad (\cos\theta \neq 0) \label{eq:tan-unit-circle} \end{align}図5: 単位円による三角関数の定義
この定義により、任意の角 $\theta$（負の角や $360°$ を超える角も含む）に対して三角関数が定義される。
三角関数のグラフ
y = sin x のグラフ
図6: y = sin x のグラフ
- 周期：$2\pi$
- 値域：$-1 \leq \sin x \leq 1$
- $x = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi$ で最大値 $1$
- $x = \dfrac{3\pi}{2} + 2n\pi$ で最小値 $-1$
- $x = n\pi$ で $0$
- 符号：第1・第2象限（$0 < x < \pi$）で正、第3・第4象限（$\pi < x < 2\pi$）で負
y = cos x のグラフ
図7: y = cos x のグラフ
- 周期：$2\pi$
- 値域：$-1 \leq \cos x \leq 1$
- $x = 2n\pi$ で最大値 $1$
- $x = \pi + 2n\pi$ で最小値 $-1$
- $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ で $0$
- 符号：第1・第4象限（$-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}$）で正、第2・第3象限（$\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{3\pi}{2}$）で負
y = tan x のグラフ
図8: y = tan x のグラフ
- 周期：$\pi$
- 値域：すべての実数
- $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ で定義されない（漸近線）
※ グラフが限りなく近づくが決して交わらない直線を漸近線（asymptote）という。図8の破線がこれにあたる。 - $x = n\pi$ で $0$
- 符号：第1・第3象限で正、第2・第4象限で負
三角関数の性質
周期性
単位円を1周すると元の位置に戻るため、三角関数は 周期関数 である。
定理 2.2 (周期性)
\begin{align} \sin(\theta + 2\pi) &= \sin\theta \label{eq:sin-period}\\ \cos(\theta + 2\pi) &= \cos\theta \label{eq:cos-period}\\ \tan(\theta + \pi) &= \tan\theta \label{eq:tan-period} \end{align}sin と cos の 周期 は $2\pi$、tan の周期は $\pi$ である。