第3章: 三角関数の基本恒等式
概要
三角関数の基本恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ は、三角関数において最も基本的かつ重要な関係式である。 この恒等式はピタゴラスの恒等式（Pythagorean identity）とも呼ばれる。
本ページでは、単位円による三角関数の定義を採用する。この定義から基本恒等式が直ちに導かれ、任意の実数 $\theta$ に対して成り立つことが明確になる。
単位円による定義と基本恒等式
三角関数の定義
図1: 単位円と三角関数の定義
定義：三角関数（単位円による）
単位円 $x^2 + y^2 = 1$ 上で、$x$ 軸の正の方向から反時計回りに角度 $\theta$ だけ回転した位置にある点を $P = (x, y)$ とする。このとき $\cos\theta, \ \sin\theta$ を次のように定義する：
$$\cos\theta \triangleq x, \quad \sin\theta \triangleq y$$この定義は任意の実数 $\theta$ に対して適用できる。
基本恒等式
点 $P = (\cos\theta, \sin\theta)$ は単位円 $x^2 + y^2 = 1$ 上にあるから、定義より直ちに：
三角関数の基本恒等式
$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$すべての実数 $\theta$ に対して成り立つ。
ポイント：単位円による定義を採用すると、基本恒等式は「証明」を必要としない。単位円の方程式 $x^2 + y^2 = 1$ そのものが、$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ を表しているからである。
直角三角形による解釈（鋭角の場合）
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$（鋭角）の場合、単位円による定義は直角三角形の辺の比として解釈できる。この見方は高校数学で馴染みがあり、幾何学的直感を与えてくれる。
図2: 直角三角形 ABC（∠B = 90°）
直角三角形との対応
直角三角形において、斜辺を $c$、角 $\theta$ の隣辺を $a$、対辺を $b$ とすると：
\begin{align} \sin\theta &= \frac{\color{#4CAF50}{b}}{\color{#E91E63}{c}} = \frac{\color{#4CAF50}{\text{対辺}}}{\color{#E91E63}{\text{斜辺}}} \\ \cos\theta &= \frac{\color{#FF9800}{a}}{\color{#E91E63}{c}} = \frac{\color{#FF9800}{\text{隣辺}}}{\color{#E91E63}{\text{斜辺}}} \end{align}これは単位円の定義と一致する。単位円上で考えると、半径（斜辺）が $1$ なので、$\cos\theta$ と $\sin\theta$ はそれぞれ隣辺と対辺の長さそのものになる。
ピタゴラスの定理からの導出
直角三角形に対するピタゴラスの定理 $a^2 + b^2 = c^2$ を用いると：
\begin{eqnarray*} \sin^2\theta + \cos^2\theta &=& \left(\frac{b}{c}\right)^2 + \left(\frac{a}{c}\right)^2 \\ &=& \frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1 \end{eqnarray*}これにより、基本恒等式が「ピタゴラスの恒等式」と呼ばれる理由が理解できる。
注意：直角三角形による解釈は鋭角 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ に直接適用できる。一般の角度では各象限における符号を考慮する必要があるが、$\sin^2\theta + \cos^2\theta$ では符号が消えるため、結果は同じである。
例題
例題1
問題
$\sin\theta = \dfrac{3}{5}$ で $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ のとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。
Step 1: cos θ を求める
基本恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ に $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$ を代入する：
$$\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2\theta = 1$$ $$\frac{9}{25} + \cos^2\theta = 1$$ $$\cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$$0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ より $\cos\theta > 0$ だから：
$$\cos\theta = \frac{4}{5}$$Step 2: tan θ を求める
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ より：
$$\tan\theta = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$$答え
$$\cos\theta = \frac{4}{5}, \quad \tan\theta = \frac{3}{4}$$例題2
問題
$\cos\theta = -\dfrac{5}{13}$ で $\pi < \theta < \dfrac{3\pi}{2}$（第3象限）のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。
Step 1: sin θ を求める
基本恒等式より：
$$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$第3象限では $\sin\theta < 0$ だから：
$$\sin\theta = -\frac{12}{13}$$Step 2: tan θ を求める
$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5}$$答え
$$\sin\theta = -\frac{12}{13}, \quad \tan\theta = \frac{12}{5}$$例題3
問題
$\sin^4\theta + \cos^4\theta$ を $\sin^2\theta\cos^2\theta$ を用いて表せ。
解法
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ の両辺を2乗する：
$$(\sin^2\theta + \cos^2\theta)^2 = 1^2$$ $$\sin^4\theta + 2\sin^2\theta\cos^2\theta + \cos^4\theta = 1$$したがって：
$$\sin^4\theta + \cos^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$$答え
$$\sin^4\theta + \cos^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$$練習問題
問題 1
$\sin\theta = \dfrac{5}{13}$ で $\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$（第2象限）のとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。
ヒント
基本恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を使って $\cos^2\theta$ を求める。第2象限では $\cos\theta$ の符号に注意する。
解答例
$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}$
第2象限では $\cos\theta < 0$ なので $\cos\theta = -\dfrac{12}{13}$
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{5/13}{-12/13} = -\dfrac{5}{12}$
問題 2
$\tan\theta = 2$ で $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ のとき、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値を求めよ。
ヒント
恒等式 $1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$ を使って $\cos^2\theta$ を求め、次に $\sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta$ で $\sin\theta$ を求める。
解答例
$1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$ に $\tan\theta = 2$ を代入：
$1 + 4 = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$ より $\cos^2\theta = \dfrac{1}{5}$
第1象限より $\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$
$\sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{5} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
問題 3
$\sin^6\theta + \cos^6\theta$ を $\sin^2\theta\cos^2\theta$ を用いて表せ。
ヒント
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ の因数分解を $a = \sin^2\theta$, $b = \cos^2\theta$ に適用する。例題3の結果も利用するとよい。
解答例
$a = \sin^2\theta$, $b = \cos^2\theta$ とおくと $a + b = 1$ であるから：
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = 1 \cdot (a^2 + b^2 - ab)$
ここで $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 1 - 2ab$ を代入すると：
$= (1 - 2ab) - ab = 1 - 3ab$
$= 1 - 3\sin^2\theta\cos^2\theta$
問題 4
$\dfrac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} + \dfrac{1 + \cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{2}{\sin\theta}$ を証明せよ（$\sin\theta \neq 0$, $\cos\theta \neq -1$）。
ヒント
左辺を通分して1つの分数にまとめる。分子を展開した後に基本恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を適用する。
解答例
左辺を通分する：
$\dfrac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} + \dfrac{1 + \cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{\sin^2\theta + (1 + \cos\theta)^2}{\sin\theta(1 + \cos\theta)}$
分子を展開：
$\sin^2\theta + 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta = (\sin^2\theta + \cos^2\theta) + 1 + 2\cos\theta = 2 + 2\cos\theta = 2(1 + \cos\theta)$
よって：
$\dfrac{2(1 + \cos\theta)}{\sin\theta(1 + \cos\theta)} = \dfrac{2}{\sin\theta}$（右辺に一致）